Fano plan
Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från
versionen som granskades den 7 maj 2022; kontroller kräver
2 redigeringar .
Fano-planet är ett ändligt projektivt plan av ordning 2, med minsta möjliga antal punkter och linjer (7 punkter och 7 linjer), med tre punkter på varje linje och med tre linjer som går genom varje punkt. Uppkallad efter den italienske matematikern Gino Fano .
Homogena koordinater
Fano-planet kan konstrueras med linjär algebra som ett projektivt plan över ett ändligt fält med två element. Man kan konstruera projektiva plan över vilket annat ändligt fält som helst på samma sätt, men Fano-planet kommer att vara det minsta.
Genom att använda standardkonstruktionen av projektiva utrymmen med homogena koordinater kan de sju punkterna i Fano-planet märkas med de sju trippel som inte är noll av binära siffror 001, 010, 011, 100, 101, 110 och 111. För vilket par av punkterna p och q , den tredje punkten på linjen pq är märkt, erhållen från etiketterna p och q genom addition modulo 2; till exempel 110+011=101. Med andra ord, punkterna i Fano-planet motsvarar punkter som inte är noll i ett ändligt vektorrum av dimension 3 över ett ändligt fält av ordning 2.
Enligt denna konstruktion anses Fano-planet vara Desarguesian, även om planet är för litet för att innehålla en icke-degenererad Desargues-konfiguration (kräver 10 punkter och 10 linjer).
Linjerna i Fano-planet kan också tilldelas homogena koordinater, återigen med hjälp av icke-noll-tripletter av binära siffror. I detta system faller en punkt mot en linje om punktens koordinater och linjens koordinater har ett jämnt antal positioner där båda koordinaterna är bitar som inte är noll. Till exempel hör punkt 101 till linje 111 eftersom både linje och punkt har bitar som inte är noll i två gemensamma positioner. I linjära algebratermer hör en punkt till en linje om punktprodukten av vektorerna som representerar punkten och linjen är noll.
Raka linjer kan delas in i tre typer.
- På tre raka linjer har de binära koderna för punkter 0 i konstant position. Så på rad 100 (som innehåller punkterna 001, 010 och 011) har alla punkter 0 i första positionen. Raka linjerna 010 och 001 har samma egenskap.
- På tre raka linjer har den binära koden för punkter samma värde i två positioner. Således, på linje 110 (innehållande punkterna 001, 110 och 111), är värdena för punkternas första och andra positioner (koordinater) alltid desamma. De raka linjerna 101 och 011 har en liknande egenskap.
- På den återstående raden 111 (innehållande punkterna 011, 101 och 110) har varje kod exakt två bitar som inte är noll.
Symmetrier
Permutationer av de sju punkterna i Fano-planet som bevarar förekomsten av punkter (av en linje), det vill säga när en punkt som ligger på en linje råkar vara på samma linje, kallas en "kollinering", " automorfism ", eller " symmetri " hos planet. En komplett kollineringsgrupp (eller automorfismgrupp , eller symmetrigrupp ) är den projektiva linjära gruppen PGL(3,2) [1] , som i detta fall är isomorf till den projektiva speciella linjära gruppen PSL(2,7) = PSL(3 ,2) och fullständig linjär grupp GL(3,2) (som är lika med PGL(3,2) eftersom fältet bara har ett element som inte är noll). Gruppen består av 168 olika permutationer.
Automorfismgruppen består av 6 konjugationsklasser .
Alla cykliska strukturer , förutom en cykel av längd 7, definierar unikt en konjugationsklass:
- Den identiska permutationen.
- 21 permutation av två 2-cykler .
- 42 permutationer av 4-cykler och 2-cykler.
- 56 permutationer av 3-cykler.
48 permutationer med en hel cykel av längd 7 bildar två konjugationsklasser med 24 element vardera:
- A går till B , B till C , C till D. I detta fall ligger D på samma linje som A och B .
- A går till B , B till C , C till D. I det här fallet ligger D på samma linje som A och C.
På grund av Redfield-Polyi-satsen är antalet icke-ekvivalenta färger på Fano-planet i n färger:
Konfigurationer
Fano-planet innehåller följande olika konfigurationer av punkter och linjer. För varje typ av konfiguration är antalet kopior av konfigurationen, multiplicerat med antalet plansymmetrier vid vilka konfigurationen bevaras, 168, storleken på hela gruppen av symmetrier.
- Det finns 7 punkter och 24 symmetrier som bevarar dessa punkter.
- Det finns 7 linjer och 24 symmetrier som bevarar dessa linjer.
- Det finns 7 alternativ för att välja en fyrhörning från fyra (oordnade) punkter, varav inte tre ligger på samma linje, och 24 symmetrier som bevarar en sådan fyrhörning. Dessa fyra punkter bildar komplementet till linjen, som är diagonalen på fyrhörningen.
- Det finns 21 oordnade par av punkter, som var och en kan översättas genom symmetri till vilket annat oordnat par som helst. För varje oordnat par finns det 8 symmetrier som bevarar det.
- Det finns 21 flaggor , bestående av en linje och en punkt på den. Varje flagga motsvarar ett oordnat par andra punkter på samma linje. För varje flagga finns det 8 olika symmetrier som bevarar den.
- Det finns 28 trianglar som motsvarar en-till-en med 28 dubbla tangentkvartal [2] . För varje triangel finns det sex symmetrier som bevarar den, en för varje permutation av punkter inom triangeln.
- Det finns 28 sätt att välja en punkt och en linje som inte faller mot varandra ( anti-flagga ), och sex sätt att omorganisera Fano-planet som bevarar anti-flaggan. För alla par av icke-infallande punkter och en linje ( p , l ), bildar tre punkter som inte är lika med p och som inte tillhör l en triangel, och för varje triangel finns det ett unikt sätt att gruppera de återstående fyra punkterna i en antiflagga .
- Det finns 28 sätt att konstruera en hexagon där inga tre på varandra följande hörn ligger på samma linje, och sex symmetrier som bevarar en sådan hexagon.
- Det finns 42 ordnade par av punkter, och återigen kan var och en översättas genom symmetri till vilket annat ordnat par som helst. För beställda par finns det 4 symmetrier som bevarar det.
- Det finns 42 sätt att välja en fyrhörning från fyra cykliskt ordnade punkter, varav inte tre ligger på samma linje, och fyra symmetrier som bevarar en sådan ordnad fyrhörning. För varje oriktad fyrdubbling finns det två cykliska ordningar.
- Det finns 84 sätt att välja en triangel med en punkt på den triangeln, och för varje val finns det två symmetrier som bevarar det valet.
- Det finns 84 sätt att välja en femhörning , så att inga tre på varandra följande hörn ligger på samma linje, och två symmetrier som bevarar någon femhörning.
- Det finns 168 olika sätt att välja en triangel med ordningen på dess tre hörn, och endast en identitetssymmetri som bevarar denna konfiguration.
Gruppteoretiska konstruktioner
7 punkter i planet motsvarar 7 icke-identitetselement i gruppen ( Z 2 ) 3 = Z 2 × Z 2 × Z 2 . De raka planen motsvarar undergrupper av ordning 4 som är isomorfa till Z 2 × Z 2 . Automorfismgruppen GL (3,2) i gruppen ( Z 2 ) 3 är Fano-planets isomorfismgrupp och har ordningen 168.
Flödesscheman
Fano-planet är ett litet symmetriskt blockdiagram , nämligen ett 2-(7,3,1)-diagram. Kretspunkter är plana punkter och kretsblock är plana linjer. Således är Fano-planet ett viktigt exempel på flödesschemateori.
Matroid teori
Fano-planet är ett viktigt exempel inom matroidteorin . Uteslutningen av Fano-planet som en matroid minor är nödvändig för att beskriva några viktiga klasser av matroider, såsom vanliga , graphic , och cographic matroids.
Om en linje delas upp i tre tvåpunktslinjer får vi en "icke-Fan-konfiguration" som kan bäddas in i det verkliga planet. Detta är ytterligare ett viktigt exempel från matroidteorin som bör elimineras för att ett stort antal satser ska hålla.
Steiners system
Fano-planet, som är ett blockschema, är ett system av Steiner-trippel . Och i det här fallet kan det ges strukturen av en kvasigrupp . Denna kvasigrupp sammanfaller med den multiplikativa strukturen definierad av enheter av oktonioner e 1 , e 2 , …, e 7 (utan 1) om tecknen på produkten av oktonioner ignoreras [3] .
3D roligt utrymme
Fano-planet kan förlängas till 3D-fallet för att bilda det minsta 3D-projektiva utrymmet, och detta betecknas PG(3,2). Den har 15 punkter, 35 linjer och 15 plan.
- Varje plan innehåller 7 punkter och 7 linjer.
- Varje rad innehåller 3 punkter.
- Planen är isomorfa till Fano-planet.
- Varje punkt tillhör 7 linjer.
- Varje par av distinkta punkter tillhör exakt en linje.
- Vilket par av distinkta plan som helst skär varandra i exakt en rät linje.
Se även
Anteckningar
- ↑ I själva verket är detta gruppen PΓL(3,2), men ett ändligt ordningsfält 2 har inte en icke-identisk automorfism, gruppen förvandlas till PGL(3,2).
- ↑ Manivel, 2006 , sid. 457–486.
- ↑ Baez, 2002 , sid. 145–205.
Litteratur
- John Baez. Oktonionerna. - Tjur. amer. Matematik. Soc.. - 2002. - T. 39. - doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X . ( Online HTML-version Arkiverad 9 oktober 2008 på Wayback Machine )
- JH van Lint, RM Wilson. En kurs i kombinatorik . - Cambridge University Press, 1992. - S. 197 .
- L. Manivel. Konfigurationer av linjer och modeller av Lie-algebra // Journal of Algebra. - 2006. - T. 304 , nr. 1 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.04.029 .
- Burkard Polster (1998) A Geometrical Picture Book , Kapitel 1: "Introduktion via Fano Plane", även sid 21, 23, 27, 29, 71, 73, 77, 112, 115, 116, 132, 174, Springer ISBN 0 -387-98437-2 .
Länkar