Fano plan

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 maj 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

Fano-planet  är ett ändligt projektivt plan av ordning 2, med minsta möjliga antal punkter och linjer (7 punkter och 7 linjer), med tre punkter på varje linje och med tre linjer som går genom varje punkt. Uppkallad efter den italienske matematikern Gino Fano .

Homogena koordinater

Fano-planet kan konstrueras med linjär algebra som ett projektivt plan över ett ändligt fält med två element. Man kan konstruera projektiva plan över vilket annat ändligt fält som helst på samma sätt, men Fano-planet kommer att vara det minsta.

Genom att använda standardkonstruktionen av projektiva utrymmen med homogena koordinater kan de sju punkterna i Fano-planet märkas med de sju trippel som inte är noll av binära siffror 001, 010, 011, 100, 101, 110 och 111. För vilket par av punkterna p och q , den tredje punkten på linjen pq är märkt, erhållen från etiketterna p och q genom addition modulo 2; till exempel 110+011=101. Med andra ord, punkterna i Fano-planet motsvarar punkter som inte är noll i ett ändligt vektorrum av dimension 3 över ett ändligt fält av ordning 2.

Enligt denna konstruktion anses Fano-planet vara Desarguesian, även om planet är för litet för att innehålla en icke-degenererad Desargues-konfiguration (kräver 10 punkter och 10 linjer).

Linjerna i Fano-planet kan också tilldelas homogena koordinater, återigen med hjälp av icke-noll-tripletter av binära siffror. I detta system faller en punkt mot en linje om punktens koordinater och linjens koordinater har ett jämnt antal positioner där båda koordinaterna är bitar som inte är noll. Till exempel hör punkt 101 till linje 111 eftersom både linje och punkt har bitar som inte är noll i två gemensamma positioner. I linjära algebratermer hör en punkt till en linje om punktprodukten av vektorerna som representerar punkten och linjen är noll.

Raka linjer kan delas in i tre typer.

Symmetrier

Permutationer av de sju punkterna i Fano-planet som bevarar förekomsten av punkter (av en linje), det vill säga när en punkt som ligger på en linje råkar vara på samma linje, kallas en "kollinering", " automorfism ", eller " symmetri " hos planet. En komplett kollineringsgrupp (eller automorfismgrupp , eller symmetrigrupp ) är den projektiva linjära gruppen PGL(3,2) [1] , som i detta fall är isomorf till den projektiva speciella linjära gruppen PSL(2,7) = PSL(3 ,2) och fullständig linjär grupp GL(3,2) (som är lika med PGL(3,2) eftersom fältet bara har ett element som inte är noll). Gruppen består av 168 olika permutationer.

Automorfismgruppen består av 6 konjugationsklasser .
Alla cykliska strukturer , förutom en cykel av längd 7, definierar unikt en konjugationsklass:

48 permutationer med en hel cykel av längd 7 bildar två konjugationsklasser med 24 element vardera:

På grund av Redfield-Polyi-satsen är antalet icke-ekvivalenta färger på Fano-planet i n färger:

Konfigurationer

Fano-planet innehåller följande olika konfigurationer av punkter och linjer. För varje typ av konfiguration är antalet kopior av konfigurationen, multiplicerat med antalet plansymmetrier vid vilka konfigurationen bevaras, 168, storleken på hela gruppen av symmetrier.

Gruppteoretiska konstruktioner

7 punkter i planet motsvarar 7 icke-identitetselement i gruppen ( Z 2 ) 3 = Z 2  ×  Z 2  ×  Z 2 . De raka planen motsvarar undergrupper av ordning 4 som är isomorfa till Z 2  ×  Z 2 . Automorfismgruppen GL (3,2) i gruppen ( Z 2 ) 3 är Fano-planets isomorfismgrupp och har ordningen 168.

Flödesscheman

Fano-planet är ett litet symmetriskt blockdiagram , nämligen ett 2-(7,3,1)-diagram. Kretspunkter är plana punkter och kretsblock är plana linjer. Således är Fano-planet ett viktigt exempel på flödesschemateori.

Matroid teori

Fano-planet är ett viktigt exempel inom matroidteorin . Uteslutningen av Fano-planet som en matroid minor är nödvändig för att beskriva några viktiga klasser av matroider, såsom vanliga , graphic , och cographic matroids.

Om en linje delas upp i tre tvåpunktslinjer får vi en "icke-Fan-konfiguration" som kan bäddas in i det verkliga planet. Detta är ytterligare ett viktigt exempel från matroidteorin som bör elimineras för att ett stort antal satser ska hålla.

Steiners system

Fano-planet, som är ett blockschema, är ett system av Steiner-trippel . Och i det här fallet kan det ges strukturen av en kvasigrupp . Denna kvasigrupp sammanfaller med den multiplikativa strukturen definierad av enheter av oktonioner e 1 , e 2 , …, e 7 (utan 1) om tecknen på produkten av oktonioner ignoreras [3] .

3D roligt utrymme

Fano-planet kan förlängas till 3D-fallet för att bilda det minsta 3D-projektiva utrymmet, och detta betecknas PG(3,2). Den har 15 punkter, 35 linjer och 15 plan.

Se även

Anteckningar

  1. ↑ I själva verket är detta gruppen PΓL(3,2), men ett ändligt ordningsfält 2 har inte en icke-identisk automorfism, gruppen förvandlas till PGL(3,2).
  2. ↑ Manivel, 2006 , sid. 457–486.
  3. ↑ Baez, 2002 , sid. 145–205.

Litteratur

Länkar