En Desargues- konfiguration är en konfiguration av tio punkter och tio linjer, där varje linje innehåller tre punkter i konfigurationen, och tre linjer passerar genom vilken punkt som helst. Konfigurationen är uppkallad efter Gerard Desargues och är nära besläktad med Desargues' teorem , som bevisar förekomsten av sådana konfigurationer.
Två trianglar ABC och abc sägs vara i centralperspektiv om linjerna Aa , Bb och Cc skär varandra i en punkt (det så kallade perspektivcentrum). De är i axiellt perspektiv om skärningspunkterna för linjerna som går genom motsvarande sidor av trianglarna X = AB • ab , Y = AC • ac och Z = BC • bc ligger på samma räta linje, på perspektivaxeln. Desargues teorem säger att dessa två villkor är likvärdiga - om två trianglar är i centralt perspektiv måste de vara i axiellt perspektiv, och vice versa. I det här fallet, de tio punkterna och tio linjerna i dessa två perspektiv (trianglarnas sex hörn, de tre skärningspunkterna på perspektivaxeln och perspektivcentrum, de sex sidorna av trianglarna, de tre linjerna genom perspektivcentrumet och perspektivaxeln) bildar tillsammans Desargues-konfigurationen.
Även om konfigurationen kan bäddas in i ett plan, har den en mycket enkel konstruktion i tredimensionellt rymden - vilka fem plan som helst som är i allmän position i det euklidiska rymden har tio skärningspunkter mellan tre plan och tio skärningslinjer för två plan och bilda en Desargues-konfiguration [1] . Denna konstruktion är nära besläktad med egenskapen att varje projektivt plan som kan bäddas in i ett projektivt utrymme lyder Desargues sats. En sådan tredimensionell representation av Desargues-konfigurationen kallas också en komplett pentaeder [1] .
En femcellig eller pentaeder (en vanlig simplex i fyrdimensionell rymd) har fem hörn, tio kanter, tio triangulära tvådimensionella ytor och fem tetraedriska ytor. Kanter och 2D-ytor skär varandra på exakt samma sätt som punkter med linjer i Desargues-konfigurationen. Låt oss fortsätta kanterna på femcellen med raka linjer och varje triangel till planet. Betrakta skärningspunkten mellan dessa linjer och plan med ett tredimensionellt hyperplan som inte innehåller dessa linjer och plan och som inte heller är parallellt med dem. Varje linje skär hyperplanet vid en punkt, och varje plan skär hyperplanet i en rak linje. Dessa tio pekar och linjer bildar Desargues-konfigurationen [1] .
Även om punkter och linjer spelar olika roller i Desargues sats, är Desargues konfiguration mer symmetrisk – vilken som helst av de tio punkterna kan väljas som perspektivcentrum, och detta val avgör vilka sex punkter som är trianglarnas hörn och vilken linje som är perspektivaxeln. Desargues-konfigurationen har en symmetrigrupp av ordningen 120. Det finns alltså 120 olika sätt att permutera punkter och linjer i en konfiguration som bevarar förekomsten av en punkt och en linje. Den tredimensionella representationen av Desargues-konfigurationen gör dessa symmetrier mer explicita - om konfigurationen erhålls från fem plan i tredimensionellt rum i en gemensam konfiguration, så motsvarar var och en av de 120 olika permutationerna av dessa fem plan symmetrin i Desargues-konfiguration [1] .
Desargues-konfigurationen är självdual, vilket innebär att man kan matcha punkterna i den första konfigurationen med linjerna i den andra konfigurationen och linjerna i den första med punkterna i den andra på ett sådant sätt att alla förekomster bevaras [2 ] .
Levi -grafen för en Desargues-konfiguration som har en vertex för varje punkt och en vertex för varje linje i konfigurationen är känd som Desargues-grafen . Med tanke på symmetrierna och självdualiteten i Desargues-konfigurationen är Desargues-grafen en symmetrisk graf .
Kempe föreslog en annan graf för denna konfiguration, med tio hörn som motsvarar linjer, och kanter som förbinder två hörn om skärningspunkten för två linjer inte hör till konfigurationen. Du kan tolka denna graf på ett annat sätt - grafens hörn motsvarar punkterna i Desargues-konfigurationen, och kanterna i detta fall motsvarar linjer om linjen som går genom dessa punkter inte tillhör konfigurationen. Denna publikation är den första kända källan i den matematiska litteraturen som innehåller en Petersen-graf , 12 år innan Julius Petersen använde samma graf som ett motexempel i ett problem med kantfärgning .
Som en projektiv konfiguration har Desargues-konfigurationen notationen (10 3 10 3 ), vilket betyder att var och en av dess 10 punkter faller in mot tre linjer och var och en av dess 10 linjer faller in mot tre punkter. Dess tio punkter kan på ett unikt sätt betraktas som två ömsesidigt inskrivna femhörningar eller som en dekagon inskriven i sig själv [3] . Desargues-grafen , en tvådelad symmetrisk kubisk graf med 20 vertex , kallas med detta namn eftersom den kan representeras som en Levi - graf av Desargues-konfigurationen, med en vertex för varje punkt och för varje linje, och en kant för varje punkt- linjeincident.
Det finns åtta andra (10 3 10 3 ) konfigurationer (det vill säga uppsättningar av punkter och linjer i det euklidiska planet där vilken punkt som helst ligger på tre linjer och vilken linje som helst innehåller tre punkter) som inte är isomorfa med avseende på incidensrelationen för Desargues-konfigurationen, och en av dessa konfigurationer visas i bilden till höger. I alla dessa konfigurationer, för varje vald punkt, finns det alltid tre andra som inte ligger på samma linje med den, och dessa punkter ligger inte på samma linje. I Desargues-konfigurationen ligger dessa tre punkter alltid på samma räta linje. Så om vi väljer perspektivets centrum, så ligger dessa tre punkter på perspektivaxeln. I exemplet till höger bildar sådana punkter en triangel. Som i fallet med Desargues-konfigurationen kan andra konfigurationer representeras som ett par ömsesidigt inskrivna femhörningar.