Enhetscirkel

Enhetscirkeln är en cirkel med radie 1 centrerad vid origo [1] . Detta koncept används ofta för att definiera och studera trigonometriska funktioner .

Egenskaper och relaterade begrepp

Det inre av enhetscirkeln kallas enhetscirkeln .

För koordinaterna för alla punkter på enhetscirkeln, enligt Pythagoras sats , gäller likheten . Denna likhet kan ses som ekvationen för enhetscirkeln. $x^2 + y^2 = 1$

Trigonometriska funktioner

Med hjälp av enhetscirkeln kan trigonometriska funktioner tydligt beskrivas (i sammanhanget av en sådan beskrivning kallas enhetscirkeln ibland för " trigonometrisk cirkel ", vilket inte är särskilt framgångsrikt, eftersom det är cirkeln som betraktas, och inte cirkeln ).

Sinus och cosinus kan beskrivas på följande sätt: om man kopplar någon punkt på enhetscirkeln med origo får man ett segment som är i vinkel relativt abskissans positiva halvaxel. Då får vi [2] : $(x, y)$ $(0, 0)$ $\alfa$

\cos\alpha = x

\sin\alpha = y

Genom att ersätta dessa värden i cirkelekvationen får vi : $x^2 + y^2 = 1$

\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1

(Följande vanliga notation används: .) $\cos^2x = (\cos x)^2$

Periodiciteten för trigonometriska funktioner beskrivs också tydligt, eftersom positionen för segmentet som motsvarar vinkeln inte beror på antalet "fulla varv":

\sin(x + 2\pi k) = \sin(x)

\cos(x + 2\pik) = \cos(x)

för alla heltal , det vill säga för . $k$ $k\in \mathbb Z$

Komplext plan

I det komplexa planet är enhetscirkeln mängden komplexa tal vars modul är 1:

{\displaystyle G=\{z:|z|=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leqslant \phi <2\pi \))

Varje komplext tal som inte är noll kan unikt skrivas som där talet har modul 1 och därför tillhör enhetscirkeln, $z$ $z=|z|u,$ $u$

Mängden är en undergrupp av gruppen av komplexa tal genom multiplikation. Innehåller i sin tur ändliga grupper av rötter av den -th graden av enhet , viktiga i algebra, som bildar hörn av en regelbunden -gon längs enhetscirkeln. $G$ $G$ $n$ $n$

Radianmått

Radianmåttet för en vinkel kan definieras som längden på den båge som en given vinkel skär ut ur en enhetscirkel (cirkelns centrum sammanfaller med vinkelns spets) [3] .

Variationer och generaliseringar

Begreppet enhetscirkel är generaliserat till -dimensionellt rymd ( ), i vilket fall man talar om en " enhetssfär ". $n$ $n>2$

Anteckningar

↑ Mathworld .
↑ Gelfand et al., 2002 , sid. 24-27.
↑ Gelfand et al., 2002 , sid. 7-8.

Litteratur

Gelfand I.M. , Lvovsky S.M., Toom A.L. Trigonometry . - M. : MTSNMO, 2002. - 199 sid. — ISBN 5-94057-050-X .

Länkar

Weisstein, Eric W. Unit Circle (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Trigonometri
Allmän	Trigonometri översikt Berättelse Användande Funktioner Omvänd Sällan använd Generaliserad trigonometri
Katalog	Identiteter Exakta konstanter tabeller enhetscirkel
Lagar och satser	Sinussats Pythagoras sats Cosinussats Tangentsats Cotangenssats Lösa trianglar
Matematisk analys	Trigonometrisk substitution Integraler ( omvända funktioner ) Derivat