Lösa trianglar

Den historiska termen "lösning av trianglar" ( lat. solutio triangulorum ) betecknar lösningen av följande trigonometriska problem: hitta de återstående sidorna och/eller vinklarna i en triangel från redan kända [1] . Det finns också generaliseringar av detta problem till fallet när andra element i triangeln ges (till exempel medianer , bisektrar , höjder , area , etc.), såväl som till fallet när triangeln inte är belägen på det euklidiska planet , men på en sfär ( sfärisk triangel ) , på ett hyperboliskt plan ( hyperbolisk triangel ) etc. Detta problem finns ofta i trigonometriska tillämpningar - till exempel inom geodesi , astronomi , konstruktion , navigering .

Lösa plana trianglar

En allmän triangel har 6 grundelement: 3 linjära (sidolängder ) och 3 kantiga ( ). Sidan mittemot hörnet överst betecknas traditionellt med samma bokstav som denna topp, men inte versal, utan gemener (se figur). I det klassiska problemet med plan trigonometri ges 3 av dessa 6 egenskaper, och de andra 3 måste bestämmas. Uppenbarligen, om bara 2 eller 3 vinklar är kända, kommer en unik lösning inte att fungera, eftersom varje triangel som liknar denna också kommer att vara en lösning, så det antas vidare att åtminstone en av de kända storheterna är linjär [2] . $a,b,c$ $\alfa ,\beta ,\gamma$

Algoritmen för att lösa problemet beror på vilka egenskaper hos triangeln som anses vara kända. Eftersom alternativet "tre vinklar är givna" är uteslutet från övervägande, återstår 5 olika alternativ [3] :

tre sidor;
två sidor och vinkeln mellan dem;
två sidor och en vinkel motsatt en av dem;
en sida och två angränsande vinklar;
sida, motsatt hörn och en av de intilliggande.

Grundsatser

Standardmetoden för att lösa problemet är att använda flera grundläggande relationer som gäller för alla platta trianglar [4] :

Cosinussats

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma

Sinussats

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}

Summan av vinklarna i en triangel

\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }

Andra universella relationer som ibland är användbara i praktiken inkluderar tangentsatsen , cotangenssatsen , projektionssatsen och Molweides formler .

Anteckningar

För att hitta en okänd vinkel är det mer tillförlitligt att använda teoremet om cosinus, inte sinus, eftersom värdet på sinus för vinkeln vid triangelns spets inte unikt bestämmer själva vinkeln, eftersom intilliggande vinklar har samma sinus [5] . Till exempel, om då vinkeln kan vara både , och , eftersom sinusen för dessa vinklar är desamma. Ett undantag är fallet när det är känt i förväg att det inte kan finnas trubbiga vinklar i en given triangel - till exempel om triangeln är rätvinklig . Med cosinus uppstår inte sådana problem: i intervallet från till bestämmer värdet på cosinus unikt vinkeln. $\sin \beta =0{,}5,$ $\beta$ $30^{\cirkel }$ $150^{\cirkel }$ $0^{\cirkel }$ $180^{\cirkel }$
När man konstruerar trianglar är det viktigt att komma ihåg att den konstruerade triangelns spegelreflektion också kommer att vara en lösning på problemet. Till exempel, tre sidor definierar unikt en triangel fram till reflektion.
Alla trianglar antas vara icke- degenererade , det vill säga sidlängden kan inte vara noll och vinkelvärdet är ett positivt tal mindre än . $180^{\cirkel }$

Tre sidor

Låt längden på alla tre sidorna anges . Villkoret för problemets lösbarhet är uppfyllandet av triangelolikheten , det vill säga varje längd måste vara mindre än summan av de andra två längderna: $a,b,c$

a<b+c,\quad b<a+c,\quad c<a+b.

För att hitta vinklarna måste du använda cosinussatsen [6] : $\alfa ,\beta$

\alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc)),\quad \beta =\arccos {\frac {a^{2 }+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.

Den tredje vinkeln hittas omedelbart från regeln att summan av alla tre vinklarna måste vara lika med $180^{\circ }\colon$

\gamma =180^{\circ }-(\alpha +\beta ).

Det rekommenderas inte att hitta den andra vinkeln med hjälp av sinussatsen , eftersom det, som anges i Anmärkning 1 , finns en fara att förväxla en trubbig vinkel med en spetsig. Denna fara uppstår inte om vi först bestämmer, med cosinussatsen, den största vinkeln (den ligger mittemot den största av sidorna) - de andra två vinklarna är exakt spetsiga, och det är säkert att tillämpa sinussatsen på dem.

En annan metod för att beräkna vinklar från kända sidor är att använda cotangenssatsen .

Två sidor och en vinkel mellan dem

Låt för tydlighetens skull längden på sidorna och vinkeln mellan dem vara kända. Denna version av problemet har alltid en unik lösning. För att bestämma längden på sidan används cosinussatsen [7] : $a,b$ $\gamma$ $c$

c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma )).

Faktum är att problemet reduceras till det tidigare fallet . Därefter tillämpas cosinussatsen igen för att hitta den andra vinkeln:

\alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}=\arccos {\frac {ba\cos \gamma }{\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}}.

Den tredje vinkeln hittas från satsen om summan av vinklarna i en triangel: . $\beta =180^{\circ }-\alpha -\gamma$

Två sidor och en vinkel motsatt en av dem

I det här fallet kan det finnas två lösningar, en eller ingen. Låt två sidor och en vinkel vara kända . Sedan hittas ekvationen för vinkeln från sinussatsen [8] : $före Kristus$ $\beta$ $\gamma$

\sin \gamma ={\frac {c}{b))\sin \beta .

För korthetens skull betecknar vi (höger sida av ekvationen). Denna siffra är alltid positiv. Vid lösning av ekvationen är 4 fall möjliga, till stor del beroende på D [9] [10] . $D={\frac {c}{b}}\sin \beta$

Problemet har ingen lösning (sidan "når inte" linjen ) i två fall: om eller om vinkeln och samtidigt $b$ $före Kristus$ $D>1$ $\beta \geqslant 90^{\circ }$ $b\leqslant c.$
Om det finns en unik lösning och triangeln är rätvinklig: $D=1,$ $\gamma =\arcsin D=90^{\circ }.$

I så fall finns det 2 alternativ . $D<1,$
1. Om , då har vinkeln två möjliga värden: en spetsig vinkel och en trubbig vinkel . I figuren till höger motsvarar det första värdet punkt , sida och vinkel , och det andra värdet motsvarar punkt , sida och vinkel . $b<c$ $\gamma$ $\gamma =\arcsin D$ $\gamma '=180^{\circ }-\gamma$ $C$ $b$ $\gamma$ $C'$ $b'=b$ $\gamma '$
2. Om , då (den större sidan av triangeln motsvarar den större motsatta vinkeln). Eftersom en triangel inte kan ha två trubbiga vinklar utesluts en trubbig vinkel för och lösningen är unik. $b\geqslant c$ $\beta \geqslant \gamma$ $\gamma$ $\gamma =\arcsin D$

Den tredje vinkeln bestäms av formeln . Den tredje sidan kan hittas med sinussatsen: $\alpha =180^{\circ }-\beta -\gamma$

a=b\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta ))

Sida och två hörn

Låt en sida och två vinklar ges. Detta problem har en unik lösning om summan av de två vinklarna är mindre än . Annars har problemet ingen lösning. $c$ $180^{\cirkel }$

Först bestäms den tredje vinkeln. Till exempel, om angivna vinklar , då . Vidare hittas båda okända sidor av sinussatsen [11] : $\alfa ,\beta$ $\gamma =180^{\circ }-\alpha -\beta$

a=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma )),\quad b=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma )).

Lösning av rätvinkliga trianglar

I det här fallet är en av vinklarna känd - den är lika med 90 °. Det är nödvändigt att känna till ytterligare två element, varav åtminstone ett är en sida. Följande fall är möjliga:

två ben;
ben och hypotenusa;
ben och intilliggande spetsig vinkel;
ben och motsatt spetsig vinkel;
hypotenusa och spetsig vinkel.

Spetsen i en rät vinkel betecknas traditionellt med bokstaven och hypotenusan med . Benen betecknas och , och värdena för de motsatta vinklarna - resp . $C$ $c$ $a$ $b$ $\alfa$ $\beta$

Beräkningsformlerna är mycket förenklade, eftersom du istället för sinus- och cosinussatserna kan använda enklare samband - Pythagoras sats :

c^{2}=a^{2}+b^{2}

och definitioner av grundläggande trigonometriska funktioner :

\sin \alpha =\cos \beta ={\frac {a}{c)),\quad \cos \alpha =\sin \beta ={\frac {b}{c)),

\operatörsnamn {tg} \alpha =\operatörsnamn {ctg} \beta ={\frac {a}{b)),\quad \operatörsnamn {ctg} \alpha =\operatörsnamn {tg} \beta ={\ frac {b}{a}}.

Det är också tydligt att vinklarna och är spetsiga , eftersom deras summa är lika med . Därför bestäms vilken som helst av de okända vinklarna unikt av någon av dess trigonometriska funktioner (sinus, cosinus, tangent, etc.) genom att beräkna den motsvarande inversa trigonometriska funktionen . $\alfa$ $\beta$ $90^{\cirkel }$

Med en korrekt formulering av problemet (om hypotenusan och benet är givna, då måste benet vara mindre än hypotenusan; om en av de två icke-räta vinklarna anges, då måste den vara spetsig), finns alltid lösningen och är unik.

Två ben

Hypotenusan hittas med hjälp av Pythagoras sats:

c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.

Vinklar kan hittas med hjälp av bågtangensfunktionen :

\alpha =\operatörsnamn {arctg} {\frac {a}{b)),\quad \beta =\operatörsnamn {arctg} {\frac {b}{a))

eller på den nyss hittade hypotenusan:

\alpha =\arcsin {\frac {a}{c}}=\arccos {\frac {b}{c)),\quad \beta =\arcsin {\frac {b}{c}}=\arccos { \frac {a}{c}}.

Ben och hypotenusa

Låt benet och hypotenusan vara kända - då hittas benet från Pythagoras sats: $b$ $c$ $a$

a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}.

Därefter bestäms vinklarna på samma sätt som i föregående fall.

Ben och angränsande spetsig vinkel

Låt benet och vinkeln intill det vara känt . $b$ $\alfa$

Hypotenusan hittas från relationen $c$

c={\frac {b}{\cos \alpha }}.

Benet kan hittas antingen av Pythagoras sats, i likhet med föregående fall, eller från relationen $a$

a=b\ \mathrm {tg} \,\alpha .

En spetsig vinkel kan hittas som $\beta$

\beta =90^{\circ }-\alpha .

Ben och motsatt spetsig vinkel

Låt benet och dess motsatta vinkel vara känt . $b$ $\beta$

Hypotenusan hittas från relationen $c$

c={\frac {b}{\sin \beta }}).

Benet och den andra spetsiga vinkeln kan hittas på samma sätt som det tidigare fallet. $a$ $\alfa$

Hypotenus och spetsig vinkel

Låt hypotenusan och den spetsiga vinkeln vara kända . $c$ $\beta$

En spetsig vinkel kan hittas som $\alfa$

\alpha =90^{\circ }-\beta .

Benen bestäms av relationerna

a=c\sin \alpha =c\cos \beta ,

b=c\sin \beta =c\cos \alpha .

Lösning av sfäriska trianglar

En allmän sfärisk triangel definieras helt av tre av dess sex egenskaper (3 sidor och 3 vinklar). Det är vanligt att mäta sidorna av en sfärisk triangel inte i linjära enheter, utan med värdet av de centrala vinklarna baserat på dem . $a,b,c$

Lösningen av trianglar i sfärisk geometri har ett antal skillnader från planfallet . Till exempel beror summan av tre vinklar på en triangel; dessutom finns det inga ojämna liknande trianglar på sfären , och därför har problemet med att konstruera en triangel från tre vinklar en unik lösning. Men huvudrelationerna: två sfäriska cosinussatser och den sfäriska sinussatsen , som används för att lösa problemet, liknar planfallet. $\alfa +\beta +\gamma$

Av de andra relationerna kan Napiers analogiformler [12] och halvsideformeln [13] vara användbara .

Tre sidor

Om sidorna är givna (i vinkelenheter) bestäms triangelns vinklar från cosinussatsen [14] : $a,b,c$

\alpha =\arccos \left({\frac {\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c}}\right)

\beta =\arccos \left({\frac {\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}}\right)

\gamma =\arccos \left({\frac {\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b))\right)

Två sidor och en vinkel mellan dem

Låt sidorna och vinkeln mellan dem anges. Sidan hittas av cosinussatsen [14] : $a,b$ $\gamma$ $c$

c=\arccos \left(\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \right)

Vinklarna kan hittas på samma sätt som i föregående fall , man kan också använda Napiers analogiformler : $\alfa ,\beta$

\alpha =\operatörsnamn {arctg} \ {\frac {2\sin a}{\operatörsnamn {tg} ({\frac {\gamma }{2)))\sin(b+a)+\operatörsnamn {ctg} ({\frac {\gamma }{2)))\sin(ba))),

\beta =\operatörsnamn {arctg} \ {\frac {2\sin b}{\operatörsnamn {tg} ({\frac {\gamma }{2)))\sin(a+b)+\operatörsnamn {ctg} ({\frac {\gamma }{2)))\sin(ab))).

Två sidor och ingen vinkel mellan dem

Låt sidor och vinkel ges . För att en lösning ska finnas måste följande villkor vara uppfyllt: $före Kristus$ $\beta$

b>\arcsin(\sin c\,\sin \beta ).

Vinkeln erhålls från sinussatsen : $\gamma$

\gamma =\arcsin \left({\frac {\sin c\,\sin \beta}{\sin b))\right).

Här, i likhet med planfallet, vid , erhålls två lösningar: och . $b<c$ $\gamma$ $180^{\circ }-\gamma$

De återstående kvantiteterna kan hittas från Napiers analogiformler [15] :

a=2\operatörsnamn {arctg} \left\{\operatörsnamn {tg} \left({\frac {1}{2}}(bc)\right){\frac {\sin \left({\frac {1 }{2}}(\beta +\gamma )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right)))\right\}

\alpha =2\operatörsnamn {arcctg} \left\{\operatörsnamn {tg} \left({\frac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right){\frac {\sin \left( {\frac {1}{2}}(b+c)\höger)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(bc)\höger)))\höger\}

Sidovinklar och angränsande vinklar

I det här alternativet anges sidan och vinklarna . Vinkeln bestäms av cosinussatsen [16] : $c$ $\alfa ,\beta$ $\gamma$

\gamma =\arccos(\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta ).

De två okända sidorna erhålls från Napiers analogiformler:

a=\operatörsnamn {arctg} \left\{{\frac {2\sin \alpha }{\operatörsnamn {ctg} (c/2)\sin(\beta +\alpha )+\operatörsnamn {tg} (c/ 2)\sin(\beta -\alpha )}}\right\}

b=\operatörsnamn {arctg} \left\{{\frac {2\sin \beta }{\operatörsnamn {ctg} (c/2)\sin(\alpha +\beta )+\operatörsnamn {tg} (c/ 2)\sin(\alpha -\beta )}}\right\}

eller, om du använder den beräknade vinkeln , enligt cosinuslagen: $\gamma$

a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right),

b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }}\right).

Två hörn och ingen sida mellan dem

Till skillnad från den platta analogen kan detta problem ha flera lösningar.

Låt sida och vinklar ges . Sidan bestäms av sinussatsen [17] : $a$ $\alfa ,\beta$ $b$

b=\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right).

Om vinkeln för sidan är spetsig och , finns det en andra lösning: $a$ $\alfa >\beta$

b=\pi -\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right).

De återstående kvantiteterna bestäms från Napiers analogiformler:

c=2\operatörsnamn {arctg} \left\{\operatörsnamn {tg} \left({\frac {1}{2))(ab)\right){\frac {\sin \left({\ frac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)))\right\ }.

\gamma =2\operatörsnamn {arcctg} \left\{\operatörsnamn {tg} \left({\frac {1}{2))(\alpha -\beta )\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(a+b)\höger)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(ab)\höger)))\höger\} .

Three Corners

Givet tre vinklar hittas sidorna med hjälp av cosinuslagen:

a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right)

b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }}\right)

c=\arccos \left({\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}\right)

Ett annat alternativ är att använda halvvinkelformeln [18] .

Lösning av rätvinkliga sfäriska trianglar

De presenterade algoritmerna förenklas avsevärt om det är känt att en av triangelns vinklar (till exempel vinkel ) är rät. En rätvinklig sfärisk triangel bestäms helt av två element, de andra tre hittas med hjälp av Napiers mnemoniska regel eller från följande relationer [19] : $C$

\sin a=\sin c\cdot \sin \alpha =\operatörsnamn {tg} b\cdot \operatörsnamn {ctg} \beta ,

\sin b=\sin c\cdot \sin \beta =\operatörsnamn {tg} a\cdot \operatörsnamn {ctg} \alpha ,

\cos c=\cos a\cdot \cos b=\operatörsnamn {ctg} \alpha \cdot \operatörsnamn {ctg} \beta ,

\operatörsnamn {tg} a=\sin b\cdot \operatörsnamn {tg} \alpha ,

\operatörsnamn {tg} b=\operatörsnamn {tg} c\cdot \cos \alpha ,

\cos \alpha =\cos a\cdot \sin \beta =\operatörsnamn {tg} b\cdot \operatörsnamn {ctg} c,

\cos \beta =\cos b\cdot \sin \alpha =\operatörsnamn {tg} a\cdot \operatörsnamn {ctg} c.

Variationer och generaliseringar

I många praktiskt viktiga uppgifter, istället för sidorna av en triangel, ställs dess andra egenskaper in - till exempel längden på medianen , höjden , bisektaren , radien av en inskriven eller omskriven cirkel, etc. På samma sätt, istället för vinklar vid hörn i en triangel, kan andra vinklar förekomma i problemet. Algoritmer för att lösa sådana problem kombineras oftast från de ovan diskuterade trigonometrisatserna.

Exempel:

Uppgiften för Regiomontanus är att bygga en triangel, om en av dess sidor, längden på höjden sänkt till den och den motsatta vinkeln är kända [20] .
Snell-Potenot-problemet .
Thomas Finkes problem [21] : hitta vinklarna i en triangel om summan av två vinklar och förhållandet mellan motsatta sidor är kända . $\alfa +\beta$ $a:b$
Newtons problem : Lös en triangel om en sida, den motsatta vinkeln och summan av de andra två sidorna är kända.

Applikationsexempel

Triangulering

För att bestämma avståndet från kusten till en otillgänglig punkt - till exempel till ett avlägset fartyg - måste man markera två punkter på kusten, vars avstånd är känt, och mäta vinklarna mellan linjen som förbinder dessa punkter och riktningen till skeppet. Från formlerna för alternativet "sida och två vinklar" kan du hitta längden på triangelns höjd [22] : $d$ $l$ $\alfa$ $\beta$

d={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )))\,l={\frac {\operatörsnamn {tg} \alpha \,\operatörsnamn {tg } \beta }{\operatörsnamn {tg} \alpha +\operatörsnamn {tg} \beta }}\,l

Denna metod används inom kustsjöfarten . I detta fall uppskattas vinklarna genom observationer från fartyget av kända landmärken på marken. Ett liknande schema används inom astronomi för att bestämma avståndet till en närliggande stjärna: betraktningsvinklarna för denna stjärna mäts från motsatta punkter i jordens omloppsbana (det vill säga med ett intervall på sex månader) och det erforderliga avståndet beräknas från deras skillnad ( parallax ) [22] . $\alfa ,\beta$

Ett annat exempel: du vill mäta höjden på ett berg eller en hög byggnad. Betraktningsvinklarna för spetsen från två punkter på avstånd är kända . Från formlerna i samma version som ovan visar det sig [23] : $h$ $\alfa ,\beta$ $l$

h={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\beta -\alpha )))\,l={\frac {\operatörsnamn {tg} \alpha \,\operatörsnamn {tg } \beta }{\operatörsnamn {tg} \beta -\operatörsnamn {tg} \alpha }}\,l

Avståndet mellan två punkter på jordklotet

Det är nödvändigt att beräkna avståndet mellan två punkter på jordklotet [24] :

Punkt : latitud longitud

A

\lambda _{\mathrm {A} },

L_{\mathrm {A} },

Punkt : latitud longitud

B

\lambda _{\mathrm {B} },

L_{\mathrm {B} },

För en sfärisk triangel , var är nordpolen, är följande kvantiteter kända: $ABC$ $C$

a=90^{\mathrm {o} }-\lambda _{\mathrm {B} }

b=90^{\mathrm {o} }-\lambda _{\mathrm {A} }

\gamma =L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }

Detta är fallet med "två sidor och en vinkel mellan dem". Från formlerna ovan får du:

\mathrm {AB} =R\arccos \left\{\sin \lambda _{\mathrm {A} }\,\sin \lambda _{\mathrm {B} }+\cos \lambda _{\mathrm {A } }\,\cos \lambda _{\mathrm {B} }\,\cos \left(L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }\right)\right\}

var är jordens radie . $R$

Historik

Början av trigonometrisk kunskap kan hittas i de matematiska manuskripten från det antika Egypten , Babylon och det forntida Kina . Den huvudsakliga bedriften av denna period var förhållandet, som senare fick namnet på Pythagoras sats ; Van der Waerden tror att babylonierna upptäckte det mellan 2000 och 1786 f.Kr. e. [25]

Den allmänna formuleringen av problemet med att lösa trianglar (både platta och sfäriska) dök upp i antik grekisk geometri [26] . I den andra boken av Euklids Principia är sats 12 en verbal analog till cosinussatsen för trubbiga trianglar [27] :

I trubbiga trianglar är kvadraten på den sida som täcker den trubbiga vinkeln större än [summan] av kvadraterna på sidorna som innehåller den trubbiga vinkeln av den dubbeltagna rektangeln som är omsluten mellan en av sidorna i en trubbig vinkel, på vilken vinkelrät faller, och segmentet avskuret av denna vinkelrät från utsidan vid ett trubbigt hörn.

Sats 13 efter det är en variant av cosinussatsen för spetsiga trianglar . Grekerna hade ingen analog till sinussatsen , denna viktigaste upptäckt gjordes mycket senare [28] : det äldsta beviset för sinussatsen på planet som har kommit ner till oss beskrivs i boken av Nasir ad-Din At-Tusi "Treatise on the complete quadrilateral", skriven på 1200-talet [29] .

De första trigonometriska tabellerna sammanställdes troligen av Hipparchus i mitten av 200-talet f.Kr. e. för astronomiska beräkningar. Senare, 2: a århundradet astronomen Claudius Ptolemaios , i Almagest , kompletterade resultaten av Hipparchus. Den första boken i Almagest är det mest betydelsefulla trigonometriska verket under hela antiken. Speciellt innehåller Almagest omfattande trigonometriska ackordtabeller för spetsiga och trubbiga vinklar, i steg om 30 minuters båge . I tabellerna anger Ptolemaios värdet av ackordens längder med en noggrannhet av tre sexagesimala siffror [30] . Sådan noggrannhet motsvarar ungefär en femsiffrig decimaltabell med sinus i steg om 15 minuters båge [1] .

Ptolemaios anger inte uttryckligen sinus- och cosinussatsen för trianglar. Ändå hanterar han alltid problemet med att lösa trianglar genom att dela triangeln i två rätvinkliga [31] .

Parallellt med utvecklingen av plan trigonometri, avancerade grekerna, under inflytande av astronomi, sfärisk trigonometri långt [32] . Det avgörande skedet i utvecklingen av teorin var monografin " Sfär " i tre böcker, som skrevs av Menelaos av Alexandria (cirka 100 e.Kr.). I den första boken beskrev han satser om sfäriska trianglar , liknande Euklids satser om plana trianglar (se bok I av början). Enligt Pappus var Menelaos den första som introducerade begreppet en sfärisk triangel som en figur som bildas av segment av storcirklar [33] . Några decennier senare ger Claudius Ptolemaios i sin Geography, Analemma och Planisferium en detaljerad beskrivning av trigonometriska tillämpningar för kartografi, astronomi och mekanik.

Under IV-talet, efter nedgången av antik vetenskap, flyttade centrum för utveckling av matematik till Indien. Indiska matematikers ( siddhantas ) skrifter visar att deras författare var väl förtrogna med grekiska astronomers och geometrars verk [34] . Indianerna var lite intresserade av ren geometri, men deras bidrag till tillämpad astronomi och beräkningsaspekterna av trigonometri är mycket betydande. I synnerhet var indianerna de första som introducerade användningen av cosinus [35] . Dessutom kände indianerna formlerna för flera vinklar , för . I Surya-siddhanta och i verk av Brahmagupta, när man löser problem, används faktiskt den sfäriska versionen av sinussatsen , men den allmänna formuleringen av denna sats har inte förekommit i Indien [36] . $\sin n\varphi$ $\cos n\varphi$ $n=2,3,4,5$

På 800-talet bekantade sig forskare från länderna i Nära och Mellanöstern med verk av antika grekiska och indiska matematiker och astronomer. Deras astronomiska avhandlingar, liknande de indiska Siddhantas, kallades " zijis "; en typisk zij var en samling av astronomiska och trigonometriska tabeller, försedda med en guide till deras användning och (inte alltid) en sammanfattning av den allmänna teorin [37] . Jämförelse av zijs från perioden 8-13-talen visar den snabba utvecklingen av trigonometrisk kunskap. De tidigaste bevarade verken tillhör al-Khwarizmi och al-Marvazi (IX-talet), som ansåg, tillsammans med sinus och cosinus kända för indianerna, nya trigonometriska funktioner : tangent , cotangens , sekant och cosekant [35] .

Thabit ibn Qurra (800-talet) och al-Battani (900-talet) var de första som upptäckte den grundläggande sinussatsen för specialfallet med en rätvinklig sfärisk triangel . För en godtycklig sfärisk triangel hittades beviset (på olika sätt och förmodligen oberoende av varandra) av Abu-l-Vafa , al-Khujandi och ibn Irak i slutet av 900-talet [28] . I en annan avhandling formulerade och bevisade ibn Irak sinussatsen för en platt triangel [38] . Den sfäriska cosinussatsen formulerades inte allmänt i islams länder, men i verk av Sabit ibn Kurra, al-Battani och andra astronomer finns det uttalanden som motsvarar det [39] .

Den grundläggande presentationen av trigonometri som en oberoende vetenskap (både platt och sfärisk) gavs av den persiske matematikern och astronomen Nasir ad-Din at-Tusi 1260 [40] . Hans "Treatise on the complete quadrilateral" innehåller praktiska metoder för att lösa typiska problem, inklusive de svåraste, lösta av at-Tusi själv - till exempel att bygga sidorna av en sfärisk triangel i givna tre vinklar [41] . Sålunda, i slutet av 1200-talet, upptäcktes de grundläggande satser som behövs för att lösa trianglar effektivt.

I Europa blev utvecklingen av trigonometrisk teori extremt viktig i modern tid, främst för artilleri , optik och navigering på långväga havsresor. År 1551 dök 15-siffriga trigonometriska tabeller av Rheticus , en elev av Copernicus, upp med ett steg på 10 " [42] . Behovet av komplexa trigonometriska beräkningar orsakade upptäckten av logaritmer i början av 1600-talet , och den första logaritmiska John Napiers tabeller innehöll endast logaritmerna för trigonometriska funktioner. Bland andra upptäckter är Napiers en effektiv algoritm för att lösa sfäriska trianglar, kallad " Napiers analogiformler " [43] .Algebraiseringen av trigonometri, påbörjad av François Vieta , fullbordades av Leonhard Euler på 1700-talet, varefter algoritmer för att lösa trianglar fick en modern form.

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Vygodsky M. Ya., 1978 , sid. 266-268.
↑ Elementär matematik, 1976 , sid. 487.
↑ Lösa trianglar . Matematik är kul. Hämtad 23 juli 2022. Arkiverad från originalet 30 juni 2019. (obestämd)
↑ Elementär matematik, 1976 , sid. 488.
↑ Stepanov N. N., 1948 , sid. 133.
↑ Lösa SSS-trianglar . Matematik är kul. Hämtad 23 juli 2022. Arkiverad från originalet 30 september 2012. (obestämd)
↑ Lösa S.A.S.-trianglar . Matematik är kul. Hämtad 24 juli 2022. Arkiverad från originalet 30 september 2012. (obestämd)
↑ Lösa S.S.A.-trianglar . Matematik är kul. Hämtad 24 juli 2012). Arkiverad från originalet den 30 september 2012. (obestämd)
↑ Vygodsky M. Ya., 1978 , sid. 294.
↑ Elementär matematik, 1976 , sid. 493-496.
↑ Lösa A.S.A.-trianglar . Matematik är kul. Hämtad 24 juli 2022. Arkiverad från originalet 30 september 2012. (obestämd)
↑ Stepanov N. N., 1948 , sid. 87-90.
↑ Stepanov N. N., 1948 , sid. 102-104.
↑ 1 2 Encyclopedia of elementary mathematics, 1963 , sid. 545.
↑ Stepanov N. N., 1948 , sid. 121-128.
↑ Stepanov N. N., 1948 , sid. 115-121.
↑ Stepanov N. N., 1948 , sid. 128-133.
↑ Stepanov N. N., 1948 , sid. 104-108.
↑ Fysikens grundläggande formler, 1957 , sid. 14-15.
↑ Zeiten G. G., 1932 , sid. 223-224.
↑ Zeiten G. G., 1938 , sid. 126-127.
↑ 1 2 Geometri: årskurs 7-9, 2009 , sid. 260-261.
↑ Geometri: årskurs 7-9, 2009 , sid. 260.
↑ Stepanov N. N., 1948 , sid. 136-137.
↑ van der Waerden, Bartel Leendert. Geometri och algebra i antika civilisationer . - Springer, 1983. - ISBN 3-540-12159-5 .
↑ Glazer G.I., 1982 , sid. 77.
↑ Glazer G.I., 1982 , sid. 94-95.
↑ 1 2 Matvievskaya G.P., 2012 , sid. 92-96.
↑ Berggren, J. Lennart. Matematik i medeltida islam // Matematik i Egypten, Mesopotamien, Kina, Indien och Islam: En källbok . - Princeton University Press , 2007. - S. 518 . — ISBN 9780691114859 .
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 143.
↑ Van der Waerden . Uppvaknande vetenskap. Matematik i det antika Egypten, Babylon och Grekland . - M. : Nauka, 1959. - S. 366. - 456 sid.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , sid. 25-27.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , sid. 33-36.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , sid. 40-44.
↑ 1 2 Sirazhdinov S. Kh., Matvievskaya G. P., 1978 , sid. 79.
↑ Yushkevich A.P. Matematikens historia under medeltiden. - M. : GIFML, 1961. - S. 160. - 448 sid.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , sid. 51-55.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , sid. 111.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , sid. 96-98.
↑ Tusi Nasiruddin . En avhandling om den fullständiga fyrhörningen. Baku, Ed. AN AzSSR, 1952.
↑ Rybnikov K. A., 1960 , sid. 105.
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 320.
↑ Stepanov N. N. § 42. Napiers analogiformler // Sfärisk trigonometri. - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 87-90. — 154 sid.

Litteratur

Teori och algoritmer

Atanasyan L. S. , Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Poznyak E. G. , Yudina I. I. Geometri: betyg 7-9. Lärobok för läroanstalter. - 19:e upplagan. - M . : Education , 2009. - 384 sid. - ISBN 978-5-09-021136-9 .
Vygodsky M. Ya. Handbok i elementär matematik. — M .: Nauka, 1978.
Gelfand I. M. , Lvovsky S. M., Toom A. L. Trigonometry, lärobok för årskurs 10. - M. : MTsNMO, 2002. - ISBN 5-94057-050-X .
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementär matematik. Upprepa kursen. – Tredje upplagan, stereotypt. — M .: Nauka, 1976. — 591 sid.
Menzel D. (red.). Fysikens grundläggande formler. Kapitel 1. Grundläggande matematiska formler. - M. : Ed. utländsk litteratur, 1957. - 658 sid.
Grundläggande begrepp för sfärisk geometri och trigonometri // Encyclopedia of elementary mathematics (i 5 volymer) . - M. : Fizmatgiz, 1963. - T. 4. - S. 518-557. — 568 sid.
Stepanov N. N. Sfärisk trigonometri. - M. - L .: OGIZ, 1948.

Berättelse

Glazer G.I. Matematikens historia i skolan. VII-VIII klasser. En guide för lärare. - M . : Utbildning, 1982. - S. 76-95. — 240 s.
Glazer G.I. Matematikens historia i skolan. IX-X klasser. En guide för lärare. - M . : Utbildning, 1983. - 352 sid.
Matematikens historia, redigerad av A. P. Yushkevich i tre volymer, M .: Nauka.
- Matematikens historia. Från antiken till början av den nya tiden // Mathematics historia / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
- 1600-talets matematik // Matematikens historia / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M . : Nauka, 1970. - T. II.
- 1700-talets matematik // Matematikens historia / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Matvievskaya G.P. Essäer om trigonometrins historia: antikens Grekland. Medeltida öst. Sen medeltid. - Ed. 2:a. - M. : Librokom, 2012. - 160 sid. - (Fysisk-matematiskt arv: matematik (matematikens historia)). — ISBN 978-5-397-02777-9 .
Rybnikov K. A. Matematikens historia i två volymer. - M. : Ed. Moscow State University, 1960. - T. I.
Sirazhdinov S. Kh., Matvievskaya G. P. Abu Raykhan Beruni och hans matematiska verk. Studiehjälp. - M . : Utbildning, 1978. - 95 sid. — (Vetenskapsmänniskor).
Zeiten GG Matematikens historia under antiken och medeltiden. - M. - L. : GTTI, 1932. - 230 sid.
Zeiten G. G. Matematikens historia under 1500- och 1600-talen. - M. - L. : ONTI, 1938. - 456 sid.

Triangel
Typer av trianglar	Rektangulär Likbent Liksidig Likbent rektangulär
Underbara linjer i en triangel	Median Höjd Bisektris Mittvinkelrät mittlinje Omskrivna och inskrivna cirklar Simsons raka linje Euler linje Simediana Cheviana
Anmärkningsvärda punkter i triangeln	Ortocenter Centroid I mitten Brocard punkt Vecten punkt Peka Gergonne Lemoine punkt Miquel pekar Nagel poäng Napoleon pekar Torricellis punkter Niopunkts cirkelcentrum Spieker Center Encyclopedia of Triangle Centers
Grundläggande satser	triangelojämlikhet Tecken på likhet av trianglar Lösa trianglar Triangelns yttre vinkelsats Triangelsummans sats Pythagoras sats Cosinussats Sinussats Projektionssatsen Herons formel
Ytterligare satser	Van Obels teorem Menelaos sats Reuschles (Terkema) sats Stewarts teorem Tangentsats Cotangenssats Cevas sats Mollweide formler
Generaliseringar	sfärisk triangel hyperbolisk triangel Simplex

Sfärisk trigonometri
Grundläggande koncept	sfärisk triangel polär triangel Överskott Bigon
Formler och förhållanden	Cosinussatser Sinussats Fem element formel Formel på halva sidan Napiers mnemoniska regel Pythagoras sfäriska sats Delambre formler Napiers analogiformler Legendres sats Lösa trianglar
Relaterade ämnen	Sfäriskt koordinatsystem sfärisk geometri triedrisk vinkel

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska