Triedrisk vinkel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 19 oktober 2020; kontroller kräver 9 redigeringar .

En trihedrisk vinkel är en del av rymden som begränsas av tre plana vinklar med en gemensam vertex och parvis gemensamma sidor som inte ligger i samma plan. Den gemensamma vertex O för dessa vinklar kallas spetsen för den triedriska vinkeln. Hörnens sidor kallas kanter, de platta hörnen vid spetsen av en trihedrisk vinkel kallas dess ytor. Vart och ett av de tre paren av ytor i en trihedrisk vinkel bildar en dihedrisk vinkel (avgränsad av en tredje yta som inte ingår i paret; vid behov tas denna begränsning naturligt bort, vilket resulterar i de nödvändiga halvplanen som bildar hela dihedralen vinkel utan begränsning). Om vi placerar spetsen för en trihedrisk vinkel i mitten av en sfär, bildas en sfärisk triangel som begränsas av den på dess yta , vars sidor är lika med de plana vinklarna för den trihedriska vinkeln, och vinklarna är lika med dess dihedriska vinklar.

Triangelolikheten för en trihedrisk vinkel

Varje plan vinkel i en trihedrisk vinkel är mindre än summan av dess andra två plana vinklar. [ett]

Summan av planvinklarna för en trihedrisk vinkel

Summan av de plana vinklarna för en trihedrisk vinkel är mindre än 360 grader.

Bevis

Låt OABC vara en given trihedrisk vinkel (se fig. 1). Betrakta en triedrisk vinkel med vertex A bildad av ytorna ABO, ACO och vinkeln BAC. Låt oss skriva ojämlikheten:

\vinkel BAC<\vinkel BAO+\vinkel CAO

På liknande sätt, för de återstående trihedriska vinklarna med hörn B och C:

\angle ABC<\angle ABO+\angle CBO

\angle ACB<\angle ACO+\angle BCO

Om vi adderar dessa olikheter och tar med i beräkningen att summan av vinklarna i triangeln ABC är 180°, får vi

180<\vinkel BAO+\vinkel CAO+\vinkel ABO+\vinkel CBO+\vinkel BCO+\vinkel ACO=180-\vinkel AOB+180-\vinkel BOC+180-\vinkel AOC

Följaktligen: $\angle AOB+\angle BOC+\angle AOC<360$

Cosinussatsen för en trihedrisk vinkel

Låt en trihedrisk vinkel ges (se fig. 2), α, β, γ - dess plana vinklar, A, B, C - dihedriska vinklar sammansatta av vinklarna β och γ, α och γ, α och β.

Det första cosinussatsen för en trihedrisk vinkel:

\cos {\alpha }=\cos {\beta }\cos {\gamma }+\sin {\beta }\sin {\gamma }\cos {A}

Det andra cosinussatsen för en trihedrisk vinkel:

\cos {A}=-\cos {B}\cos {C}+\sin {B}\sin {C}\cos {\alpha }

Bevis

Låt OABC vara en given trihedrisk vinkel. Låt oss släppa perpendicularerna från den inre punkten av den trihedriska vinkeln till dess ytor och erhålla en ny polär trihedrisk vinkel (dubbel till den givna). De platta vinklarna för en trihedrisk vinkel kompletterar de dihedriska vinklarna för en annan, och de dihedriska vinklarna för en vinkel kompletterar de plana vinklarna i en annan upp till 180 grader. Det vill säga, de plana vinklarna för den polära vinkeln är respektive lika: 180 - A; 180 - B; 180 - C och dihedral - 180 - a; 180-p; 180-y

Låt oss skriva det första cosinussatsen för det

\cos({\pi -A})=\cos({\pi -\alpha })\sin({\pi -B})\sin({\pi -C})+

+\cos({\pi -B})\cos({\pi -C)}

och efter förenklingar får vi:

\cos {A}=\cos {\alpha }\sin {B}\sin {C}-\cos {B}\cos {C}

Sinussatsen för en triedrisk vinkel

${\sin {\alpha } \over \sin A}={\sin \beta \over \sin B}={\sin \gamma \over \sin C}$ där α, β, y är de plana vinklarna för den trihedriska vinkeln; A, B, C - motsatta dihedriska vinklar (se fig. 2).

Se även

Gedigen vinkel

Anteckningar

↑ Geometri enligt Kiselyov Arkiverad 1 mars 2021 på Wayback Machine , §324 .