Cosinussats

Cosinussatsen är en sats av euklidisk geometri som generaliserar Pythagoras sats till godtyckliga plana trianglar.

Formulering

För en platt triangel med sidor och en vinkel på motsatt sida är förhållandet sant: $a,b,c$ $\alfa$ $a$

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha

Kvadraten på en sida i en triangel är lika med summan av kvadraterna på de andra två sidorna minus två gånger produkten av dessa sidor och cosinus för vinkeln mellan dem [1]

Bevis

Klassiskt bevis

Betrakta triangel ABC . Från vertex C till sida AB sänks höjden CD . Från triangeln ADC följer:

AD=b\cos \alpha

var

DB=cb\cos \alpha

Låt oss skriva Pythagoras sats för två räta trianglar ADC och BDC :

h^{2}=b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad \qquad (1)

h^{2}=a^{2}-(cb\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad (2)

Vi sätter likhetstecken mellan de rätta delarna av ekvationerna (1) och (2) och:

b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}=a^{2}-(cb\cos \alpha )^{2}

eller

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha

Fallet när en av vinklarna vid basen är trubbig (och höjden faller på fortsättningen av basen) är helt analogt med det som betraktas.

Uttryck för sidorna b och c:

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma

. Bevis via koordinater

Ett av bevisen är beviset på det i koordinatplanet.

Vi introducerar en godtycklig triangel ABC i koordinatplanet så att punkten A sammanfaller med origo för koordinater, och linjen AB ligger på linjen OX . Låt oss introducera beteckningen AB = c , AC = b , CB = a , en vinkel CAB = α (för nu antar vi att α ≠ 90°).
Då har punkt A koordinater (0;0), punkt B (c;0). Genom funktionen sin och cos , såväl som sidan AC \ u003d b , härleder vi koordinaterna för punkten C. C (b x cosa; b x sina). Koordinaterna för punkten C förblir oförändrade för trubbig och spetsig vinkel α .
Genom att känna till koordinaterna C och B , och även veta att CB = a , efter att ha hittat längden på segmentet, kan vi göra en likhet: Eftersom (den trigonometriska huvudidentiteten), då är satsen bevisad. För en rät vinkel α fungerar satsen även cos90° = 0 och a²=b²+c² - den välkända Pythagoras sats. Men eftersom koordinatmetoden är baserad på Pythagoras sats är dess bevis genom cosinussatsen inte helt korrekt.
$a^{2}=(b\cos {a}-c)^{2}+b^{2}\sin ^{2}{a}$
$a^{2}=b^{2}\cos ^{2}{a}-2bc\cos {a}+c^{2}+b^{2}\sin ^{2}{a}$
$a^{2}=b^{2}(\cos ^{2}{a}+\sin ^{2}{a})+c^{2}-2bc\cos {a}$

$\cos ^{2}{a}+\sin ^{2}{a}=1$
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {a}$

Bevis via vektorer

Nedan menar vi operationer på vektorer, inte längder av segment $AC=AB+BC=>BC=AC-AB=>BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2\cdot AC\cdot AB$

Eftersom skalärprodukten av vektorer är lika med produkten av deras moduler (längder) och cosinus för vinkeln mellan dem, kan det sista uttrycket skrivas om: där a, b, c är längden på motsvarande vektorer
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha$

Konsekvenser

Cosinussatsen kan användas för att hitta cosinus för vinkeln i en triangel $\cos {\alpha }={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

Särskilt,

Om , vinkeln α är spetsig $b^{2}+c^{2}-a^{2}>0$
Om , vinkel α är rak (om vinkel α är rak , då blir cosinussatsen Pythagoras sats ) $b^{2}+c^{2}-a^{2}=0$
Om , vinkeln α är trubbig $b^{2}+c^{2}-a^{2}<0$

Cosinussatsen kan också skrivas i följande form [2] :

a^{2}=(b+c)^{2}-4\cdot b\cdot c\cdot \cos ^{2}(\alpha /2)

a^{2}=(bc)^{2}+4\cdot b\cdot c\cdot \sin ^{2}(\alpha /2)

. Bevis

De två sista formlerna följer omedelbart från huvudformeln för cosinussatsen (se rutan ovan), om vi i dess högra del använder formlerna för att expandera kvadraten på summan (för den andra formeln, kvadraten på skillnaden) av två termer till ett kvadratiskt trinomium, vilket är en perfekt kvadrat. För att få det slutliga resultatet (de två formlerna ovan) på höger sida måste du också använda de välkända trigonometriska formlerna:

1+\cos \alpha =2\cdot \cos ^{2}(\alpha /2)

1-\cos \alpha =2\cdot \sin ^{2}(\alpha /2)

Den andra formeln innehåller förresten inte formellt cosinus, men den kallas ändå för cosinussatsen.

Genom att explicit hitta från de två sista formlerna och , får vi de välkända geometriformlerna [2] : $\cos(\alpha /2)$ $\sin(\alpha /2)$ ${\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {p(pa)}{bc))))$ , , , där p är halvperimetern av . ${\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(pb)(pc)}{bc))))$ $\operatörsnamn {tg} {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(pb)(pc)}{p(pa)))}$
Slutligen, med hjälp av den högra sidan av formlerna för och och den välkända formeln för arean av en triangel: , liksom den välkända formeln för sinus av en dubbel vinkel, efter små transformationer, vi få den välkända Heron-formeln för arean av en triangel: , där p är halvperimetern . $\cos(\alpha /2)$ $\sin(\alpha /2)$ $S_{\triangel ABC}={\frac {1}{2}}bc\sin \alfa$ $\sin \alpha =2\sin(\alpha /2)\cos(\alpha /2)$ $S_{\triangle ABC}={\sqrt {p(pa)(pb)(st)))$

För andra vinklar

Cosinussatsen för de två andra vinklarna är:

c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma

b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta

Från dessa och från huvudformeln kan vinklarna uttryckas:

\alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)

\beta =\arccos \left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\right)

\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)

Historik

Påståenden som generaliserar Pythagoras sats och motsvarar cosinussatsen formulerades separat för fallen av spetsiga och trubbiga vinklar i 12 och 13 meningar i bok II av Euklids element .

Påståenden som är likvärdiga med cosinussatsen för en sfärisk triangel har tillämpats i al-Battanis skrifter . [3] :105 Cosinussatsen för en sfärisk triangel i dess vanliga form formulerades av Regiomontanus , som kallade den "Albategnius-satsen" efter al-Battani.

I Europa populariserades cosinussatsen av François Viet på 1500-talet. I början av 1800-talet började det skrivas i den algebraiska notation som är accepterad än i dag.

Variationer och generaliseringar

Cosinussatser (sfärisk geometri) eller Cosinussats för en trihedrisk vinkel .
Cosinussatser (Lobachevsky-geometri)
Parallelogram identitet . Summan av kvadraterna på diagonalerna i ett parallellogram är lika med summan av kvadraterna på dess sidor (se även Ptolemaios sats ): $AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}.$

För euklidiska normerade utrymmen

Låt normen förknippad med den skalära produkten ges i det euklidiska rummet , dvs. Sedan formuleras cosinussatsen så här: $E$ $\left\Vert {\vec {a}}\right\Vert ={\sqrt {({\vec {a}},{\vec {a}}))))$

Teorem .
$\left\Vert {\vec {a}}-{\vec {b}}\right\Vert ^{2}=\left\Vert {\vec {a}}\right\Vert ^{2}+\left \Vert {\vec {b}}\right\Vert ^{2}-2({\vec {a}},{\vec {b}})$

För fyrhörningar

Genom att kvadrera identiteten kan du få påståendet, ibland kallat cosinussatsen för fyrhörningar : ${\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {CD}}$

d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos \angle B-2ac\cos \omega -2bc\cos \angle C

, var är vinkeln mellan linjerna AB och CD .

\omega

Eller annars:

d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos \angle B+2ac\cos(\angle A+\angle D)-2bc\cos \angle C

Formeln är också giltig för en tetraeder, vilket betyder vinkeln mellan korsande kanter.

w

Med hjälp av det kan du hitta cosinus för vinkeln mellan korsande kanter och känna till alla kanter på tetraedern:

a

c

\cos w=(b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2})/2ac

Var och , och är par av korsande kanter av tetraedern.

b

d

e

f

En indirekt analog för en fyrhörning

Bretschneider-relationen är en relation i en fyrhörning , en indirekt analog till cosinussatsen:

Mellan sidorna a, b, c, d och de motsatta vinklarna och diagonalerna e, f på en enkel (icke-självskärande) fyrhörning gäller förhållandet: $\alpha ,\gamma$

e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )

Om en fyrkant urartar till en triangel, och en vertex faller på en sida, erhålls Stewarts teorem .
Cosinussatsen för en triangel är ett specialfall av Bretschneider-relationen om centrum för triangelns omskrivna cirkel väljs som fjärde vertex.

Simplexes

S_{i}S_{j}\cos \angle A={\frac {(-1)^{(n-1+i+j))){2^{n-1}((n- 1)!)^{2))}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&\dots &1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&\dots &d_{1(n+1)} ^{2}\\1&d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&\dots &d_{2(n+1)}^{2}\\1&d_{31}^{2}&d_{ 32}^{2}&0&\dots &d_{3(n+1)}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&d_{(n+1) 1}^{2}&d_{(n+1)2}^{2}&d_{(n+1)3}^{2}&\dots &0\\\end{vmatrix}}

samtidigt måste vi stryka över linjen och kolumnen där eller finns . $d_{ij}$ $d_{ji}$

A är vinkeln mellan ytorna och , är ytan mittemot vertex i, är avståndet mellan hörnen i och j . $Si}$ $S_{j}$ $Si}$ $d_{ij}$

Se även

Anteckningar

↑ L. S. Atanasyan , V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev och andra. Geometry 7-9: lärobok. för allmänbildning institutioner - 15:e uppl. — M.: Upplysningen, 2005. — S. 257. — 384 s.: ill. — ISBN 5-09-014398-6
↑ 1 2 Korn G. A., Korn T. M. Handbok i matematik för vetenskapsmän och ingenjörer . - M . : " Nauka ", 1974. - S. 51. - 832 sid.
↑ Florian Cajori. A History of Mathematics - 5:e upplagan 1991

Litteratur

Ponarin Ya. P. Elementär geometri. I 2 volymer - M. : MTSNMO , 2004. - S. 84-85. — ISBN 5-94057-170-0 .

Triangel
Typer av trianglar	Rektangulär Likbent Liksidig Likbent rektangulär
Underbara linjer i en triangel	Median Höjd Bisektris Mittvinkelrät mittlinje Omskrivna och inskrivna cirklar Simsons raka linje Euler linje Simediana Cheviana
Anmärkningsvärda punkter i triangeln	Ortocenter Centroid I mitten Brocard punkt Vecten punkt Peka Gergonne Lemoine punkt Miquel pekar Nagel poäng Napoleon pekar Torricellis punkter Niopunkts cirkelcentrum Spieker Center Encyclopedia of Triangle Centers
Grundläggande satser	triangelojämlikhet Tecken på likhet av trianglar Lösa trianglar Triangelns yttre vinkelsats Triangelsummans sats Pythagoras sats Cosinussats Sinussats Projektionssatsen Herons formel
Ytterligare satser	Van Obels teorem Menelaos sats Reuschles (Terkema) sats Stewarts teorem Tangentsats Cotangenssats Cevas sats Mollweide formler
Generaliseringar	sfärisk triangel hyperbolisk triangel Simplex

Trigonometri
Allmän	Trigonometri översikt Berättelse Användande Funktioner Omvänd Sällan använd Generaliserad trigonometri
Katalog	Identiteter Exakta konstanter tabeller enhetscirkel
Lagar och satser	Sinussats Pythagoras sats Cosinussats Tangentsats Cotangenssats Lösa trianglar
Matematisk analys	Trigonometrisk substitution Integraler ( omvända funktioner ) Derivat