Euler linje
Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 20 september 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .Eulerlinjen är en rät linje som går genom centrum av den omskrivna cirkeln och triangelns ortocentrum .
Egenskaper
- Euler-linjen går igenom:
- Triangel Centroid
- Triangel ortocenter
- Skärningspunkten mellan mittperpendicularerna till triangelns sidor (mitten av den omskrivna cirkeln)
- Niopunkts cirkelcentrum
- Exeter Point X(22)
- Eulers teorem. Skärningspunkten för medianerna M ligger på Eulerlinjen och delar segmentet mellan centrum av den omskrivna cirkeln O och ortocentrum H i förhållandet 1:2 ( ).
- Linjen som går genom de två punkterna i Vecten och skär Eulerlinjen i mitten av triangelns nio punkter .
- Eulerlinjeekvationen i trilinjära koordinater är
- Skärningspunkterna mellan linjerna som innehåller sidorna av ortotriangeln och linjerna som innehåller triangelns sidor ligger också på samma linje . Denna linje kallas den ortocentriska axeln och är vinkelrät mot Eulerlinjen.
- Schifflers teorem säger följande: Om vi betraktar tre trianglar BCI , CAI och ABI i en triangel ABC med mitten av den inskrivna cirkeln I , då deras tre ( första ) Eulerlinjer, samt ( första ) Eulerlinjen i triangeln ABC (alla fyra linjerna) skär varandra vid en punkt — vid Schifflerpunkten Sp (se bilden till höger).
Andra Euler-raden (Euler-Nagel-raden)
Ovanstående Euler-linje kallas ibland den (första) generaliserade Euler-linjen [1] . Det finns 4 punkter på denna linje:
- tyngdpunkten för den givna triangeln _ _ _
- ortocentrum för en given triangel ABC
- centrum för den omskrivna cirkeln för den givna triangeln ABC (det är också centrum för Eulercirkeln för den antikomplementära triangeln A"B"C" )
- mitten av Eulercirkeln för den givna triangeln ABC
- Vissa författare (se bilden på faculty.evansville.edu ) lägger till ytterligare en Longchamp-punkt L - en reflektionspunkt för triangelns ABCs ortocentrum i förhållande till dess centrum av den omskrivna cirkeln (L= de Longchamps-punkten = översättning inte enligt reglerna ), introducerad av den franske matematikern Gaston Albert Gohierre. Denna punkt är ortocentrum för den antikomplementära triangeln [2] [3] .
Den andra Euler-linjen eller Euler-Nagel-linjen definieras av följande Huzels sats .
- Husels sats förfinad (Housel). Tyngdpunkten ( G ) för en given triangel ABC ( tyngdpunkten ), centrum av incirkeln ( I ), dess Nagelpunkt ( M ) och mitten ( S ) av cirkeln inskriven i den komplementära triangeln A'B "C" (eller Spiekers centrum ) ligger på en rak linje . Dessutom [4] ,
Linjen som anges kallas ibland den andra Euler-linjen eller Euler-Nagel-linjen . Det finns 4 punkter på denna linje:
- tyngdpunkten ( G ) för den givna triangeln (det är också tyngdpunkten för den komplementära triangeln , och det är också tyngdpunkten för den antikomplementära triangeln ).
- Nagelpunkt ( M ) för den givna triangeln ABC (den är också mitten av cirkeln inskriven i den antikomplementära triangeln A"B"C" )
- incirkel mitten ( I ) av given triangel ABC
- mitten ( S ) av en cirkel inskriven i den komplementära triangeln A'B'C' , även kallad Spiekers centrum .
- Alla generaliserade Euler-linjer passerar nödvändigtvis genom tyngdpunkten för den givna triangeln, som är både tyngdpunkten för den komplementära triangeln och den antikomplementära triangeln .
Gossards perspektiv och Eulers linjer
Om vi tar ett par sidor från triangeln ABC , och tar den första Euler-linjen i triangeln ABC som den tredje sidan , då kan tre trianglar byggas genom uppräkning av tre alternativ. Deras första Euler-linjer bildar en triangel AgBgCg kongruent med triangeln ABC (lika med den men roterad med någon vinkel). Tre par av segment som förbinder liknande hörn av dessa två kongruenta trianglar kommer att skära varandra vid en punkt Pg, kallad Gossardperspektivet .
Länk
Gossard Perspector http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/gosspersp.html
Historik
Eulers teorem bevisades 1765 av L. Euler . Sedan upptäckte han också det faktum att mittpunkterna på sidorna i en triangel och baserna för dess höjder ligger på samma cirkel - Eulercirkeln .
Se även
Anteckningar
- ↑ Zetel, 1962 , sid. 153.
- ↑ archive.lib.msu.edu . Datum för åtkomst: 4 september 2015. Arkiverad från originalet 2 juni 2013.
- ↑ faculty.evansville.edu . Hämtad 4 september 2015. Arkiverad från originalet 10 februari 2007.
- ↑ A. Bogomolny Nagel Line från Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles . Hämtad 8 april 2019. Arkiverad från originalet 10 maj 2012.
Litteratur
- Leonhard Euler . Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum // Novi Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae. 1767, v. 11. - S. 103-123. Återtryckt i Opera Omnia, ser. I, vol. XXVI, sid. 139-157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Lausanne, 1953, MR0061061.
- Dm. Efremov. Ny triangelgeometri . - 1902.
- Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nya möten med geometri. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Library of the Mathematical Circle).
- Valbar kurs i matematik. 7-9 / Jämf. I. L. Nikolskaya. - M . : Education , 1991. - S. 96-97. — 383 sid. — ISBN 5-09-001287-3 . .
- Zetel S.I. Ny triangelgeometri. En guide för lärare. 2:a upplagan .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - 153 sid.
| Triangel | |
|---|---|
| Typer av trianglar | |
| Underbara linjer i en triangel | |
| Anmärkningsvärda punkter i triangeln | |
| Grundläggande satser | |
| Ytterligare satser | |
| Generaliseringar | |