Ortotriangel

En ortotriangel ( ortocentrisk triangel ) är en triangel Δ abc vars hörn är basen för triangelns höjder ∆ ABC . För en ortotriangel (för en ortocentrisk triangel) Δ abc , är själva triangeln ∆ ABC en triangel med tre yttre bisektrar . Det vill säga segmenten AB , BC och CA är de tre yttre halvledarna i triangeln Δ abc .

Egenskaper

Fagnanoproblem : Den ortocentriska triangeln i en spetsig triangel ABC har den minsta omkretsen av alla inskrivna trianglar.
Höjden på en spetvinklad triangel är halveringslinjen för vinklarna för dess ortotriangel (därav är ortocentrum för en spetvinklad triangel mitten av cirkeln inskriven i dess ortotriangel).
Om punkterna A 1 , B 1 och C 1 på sidorna BC , AC och AB i en spetsig triangel ABC är sådana att

\angle BA_{1}C_{1}=\angle CA_{1}B_{1}

, och ,

\angle CB_{1}A_{1}=\angle AB_{1}C_{1}

\angle AC_{1}B_{1}=\angle BC_{1}A_{1}

då är ortotriangeln av triangeln ABC . $A_{1}B_{1}C_{1}$

Om en cirkel är omskriven runt en given spetsvinklad triangel och linjer som tangerar cirkeln ritas vid tre hörn av triangeln, så bildar skärningspunkten mellan dessa linjer en triangel, som kallas en tangentiell triangel med avseende på den givna triangeln.

Likhetsegenskaper för relaterade trianglar

Den ursprungliga triangeln med avseende på ortotriangeln är en triangel med tre yttre bisektrar [1] . $\Delta ABC$

En ortotriangel och en tangentiell triangel liknar varandra (Zetel, följd 1, § 66, s. 81).
Gergonne-triangeln i en ortotriangel och den ursprungliga triangeln är lika (se figur).
Triangeln med de tre yttre halvledarna i triangeln med de tre yttre halvledarna och den ursprungliga triangeln liknar varandra.
Ortotriangeln i Gergonne-triangeln och den ursprungliga triangeln är lika.
Ovanstående egenskaper för likhet hos besläktade trianglar är en följd av egenskaperna för parallellism (antiparallellism) för sidorna av besläktade trianglar listade nedan .

Egenskaper för parallellism (anti-parallellism) för sidorna av relaterade trianglar

Sidorna i en given spetsvinklad triangel är antiparallella mot motsvarande sidor i den ortotriangel de ligger mot.
Sidorna i en tangentiell triangel är antiparallella mot motsvarande motsatta sidor av den givna triangeln (genom egenskapen antiparallellism av tangenter till en cirkel).
Sidorna i en tangentiell triangel är parallella med motsvarande sidor i en ortotriangel .
Om tangentpunkterna för en cirkel inskriven i en given triangel är sammankopplade med segment, får vi Gergonne-triangeln . Låt höjder ritas i den resulterande triangeln. Då är linjerna som förbinder baserna för dessa höjder parallella med sidorna av den ursprungliga triangeln. Därför är ortotriangeln i Gergonne-triangeln och den ursprungliga triangeln lika.

Andra egenskaper

Arean av en ortotriangel är:

S_{ort}={\frac {S}{(2abc)^{2}}}(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}+ c^{2}-b^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})

var är arean av triangeln Δ ABC ; - dess respektive sidor. $S$ $a,b,c$

Cirkeln omskriven kring ortotriangeln Δ abc , för triangeln Δ ABC själv är Eulercirkeln (en cirkel med 9 punkter), det vill säga den passerar samtidigt genom 3 baser av medianerna för den senare. Observera att dessa 3 baser av medianerna är hörn av den komplementära triangeln för triangeln Δ ABC .
Radierna för en cirkel omskriven kring en given triangel Δ ABC , ritade genom dess hörn, är vinkelräta mot motsvarande sidor av ortotriangeln Δ abc (Zetel, Corollary 2, § 66, s. 81).

Litteratur

Ponarin Ya. P. Elementär geometri. I 2 volymer - M . : MTSNMO , 2004. - S. 38-39. — ISBN 5-94057-170-0 .
Zetel S.I. Ny triangelgeometri. En guide för lärare. 2:a upplagan. M.: Uchpedgiz, 1962. 153 sid.

Anteckningar

↑ Starikov V. N. Geometriforskning // Samling av publikationer från den vetenskapliga tidskriften Globus baserad på materialet från den V: e internationella vetenskapligt-praktiska konferensen "Achievements and problems of modern science", St. Petersburg: en samling artiklar (standardnivå, akademisk nivå). S-P.: Vetenskaplig tidskrift Globus , 2016. S. 99-100