Tangentiell triangel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 augusti 2022; verifiering kräver 1 redigering .

En tangentiell triangel (av latin tangens - tangent) är en konstruktion som ger en ny triangel längs en given triangel.

Om en cirkel beskrivs runt en given triangel, så kallas triangeln som bildas av tre raka tangenter till cirkeln som dras genom hörnen tangentiell . $\triangel ABC$ $\triangle A'B'C'$ $A$ $B$ $C$

Vertexkoordinater

Trilinjära koordinater för hörnen i en tangentiell triangel

A'=-a:b:c

B'=a:-b:c

C'=a:b:-c

Egenskaper

Sidorna i en tangentiell triangel är antiparallella mot motsvarande motsatta sidor av den givna triangeln (genom egenskapen antiparallellism av tangenter till en cirkel). $\triangle A'B'C'$
Sidorna i en tangentiell triangel är parallella med motsvarande sidor i en ortotriangel .
Cirkeln inskriven i en tangentiell triangel är den omskrivna cirkeln med avseende på den givna triangeln . $\triangle A'B'C'$ $\triangel ABC$
Och vice versa: centrum av en cirkel inskriven i en tangentiell triangel sammanfaller med mitten av en cirkel omskriven om en given triangel . $\triangle A'B'C'$ $\triangel ABC$
Förhållandet mellan vinklarna för en tangentiell triangel och en given triangel ΔABC $\ A'=\pi -2A;$ $\ B'=\pi -2B;$ $\ C'=\pi -2C.$
För en given triangel är dess tangentiella triangel och ortotriangel lika. $\triangel ABC$ $\triangle A'B'C'$ $\triangle A''B''C''$
Arean av denna triangel är lika med det geometriska medelvärdet mellan områdena i en tangentiell triangel och en ortotriangel . $\triangel ABC$
Arean av en tangentiell triangel är [1] : $S_{tan}={\frac {S(2abc)^{2}}{(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}+c^ {2}-b^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})}}$

var är arean av triangeln ; - dess respektive sidor. Eller [2]

S

\triangel ABC

a,b,c

S_{tan}={\frac {1}{2}}|S\sec A\sec B\sec C|

Sidorna i en tangentiell triangel är [2] $a'={\frac {2a^{3}bc}{|a^{4}-(b^{2}-c^{2})^{2}|}}$ $b'={\frac {2ab^{3}c}{|b^{4}-(c^{2}-a^{2})^{2}|}}$ $c'={\frac {2abc^{3}}{|c^{4}-(b^{2}-a^{2})^{2}|}}$
Sidorna i en tangentiell triangel är antiparallella mot motsvarande motsatta sidor av den givna triangeln (genom egenskapen antiparallellism av tangenter till en cirkel).

Anmärkningsvärda poäng

Följande tabell visar överensstämmelsen mellan de anmärkningsvärda punkterna i den tangentiella triangeln med centrum av den ursprungliga triangeln. X n betyder indexet för den anmärkningsvärda punkten i Kimberlings lista [3] .

X n	Centrum av en tangentiell triangel	X n	Centrum av den ursprungliga triangeln
x2 _	triangel tyngdpunkt	X 154	X 3 är konjugeringspunkten för X 6
x3 _	mitten av den omskrivna cirkeln	x26 _	mitten av den omskrivna cirkeln i en tangentiell triangel
x4 _	ortocenter	X 155	rätta mitten av ortotriangeln
x5 _	mitten av nio punkter	X 156	X 5 tangentiell triangel
x6 _	symmedian skärningspunkt	X 157	X 6 tangentiell triangel
X 30	Euler linje oändlighetspunkt	X 1154	isogonal konjugation av punkt X 1141
X 523	isogonal konjugation av punkt X 110	X 1510	korsskillnad mellan Napoleonpunkter

Se även

Anteckningar

↑ Formeln kan härledas från den föregående egenskapen och ortotriangelns area
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Tangential Triangle på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Encyclopedia of Triangle Centers . Hämtad 18 augusti 2015. Arkiverad från originalet 19 april 2012. (obestämd)

Litteratur

Zetel S. I. . Ny triangelgeometri. En guide för lärare. 2:a uppl. - M. : Uchpedgiz, 1962. - 153 sid.
Ponarin Ya. P. Elementär geometri. I 2 volymer - M . : MTsNMO , 2004. - S. 38-39. — ISBN 5-94057-170-0 .