Napoleon pekar

Napoleonpunkter i geometri är ett par speciella punkter på en triangels plan . Legenden tillskriver upptäckten av dessa punkter till den franske kejsaren Napoleon I , men hans författarskap är tveksamt [1] . Napoleonpunkterna är bland de anmärkningsvärda punkterna i en triangel och listas i Encyclopedia of Triangle Centers som punkterna X(17) och X(18).

Namnet "Napoleonpunkter" appliceras också på olika par av triangelcentrum, mer kända som isodynamiska punkter [2] .

Bestämning av poäng

Napoleons första punkt

Låt ABC vara valfri triangel i planet . På triangelns sidor BC , CA , AB konstruerar vi de yttre reguljära trianglarna DBC , ECA respektive FAB . Låt tyngdpunkterna för dessa trianglar vara X , Y respektive Z. Sedan skär linjerna AX , BY och CZ vid en punkt, och denna punkt N1 är den första (eller yttre) Napoleonpunkten i triangeln ABC .

Triangeln XYZ kallas den yttre Napoleontriangeln av triangeln ABC . Napoleons teorem säger att denna triangel är regelbunden .

I Encyclopedia of Triangle Centers är Napoleons första punkt betecknad som X(17). [3]

Trilinjära koordinater för punkt N1:

{\begin{aligned}&\left(\csc \left(A+{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(B+{\frac {\pi }{6} }\right),\csc \left(C+{\frac {\pi }{6}}\right)\right)\\&=\left(\sec \left(A-{\frac {\pi }{ 3}}\right),\sec \left(B-{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(C-{\frac {\pi }{3}}\right) \right)\end{aligned}}

Barycentriska koordinater för punkt N1:

\left(a\csc \left(A+{\frac {\pi }{6}}\right),b\csc \left(B+{\frac {\pi }{6}}\right), c\csc \left(C+{\frac {\pi }{6}}\right)\right)

Napoleons andra punkt

Låt ABC vara valfri triangel i planet . På sidorna BC , CA , AB i triangeln bygger vi inre liksidiga trianglar DBC , ECA respektive FAB . Låt X , Y och Z vara tyngdpunkterna för dessa trianglar. Sedan skär linjerna AX , BY och CZ vid en punkt, och denna punkt N2 är den andra (eller inre) Napoleonpunkten i triangeln ABC .

Triangel XYZ kallas den inre Napoleontriangeln av triangel ABC . Napoleons teorem säger att denna triangel är regelbunden .

I Encyclopedia of Triangle Centers är Napoleons andra punkt betecknad som X(18). [3]

Trilinjära koordinater för punkt N2:

{\begin{aligned}&\left(\csc \left(A-{\frac {\pi }{6))\right),\csc \left(B-{\frac {\pi }{ 6}}\right),\csc \left(C-{\frac {\pi }{6}}\right)\right)\\&=\left(\sec \left(A+{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(B+{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(C+{\frac {\pi }{3}}\right) \right)\end{aligned}}

Barycentriska koordinater för punkt N2:

\left(a\csc \left(A-{\frac {\pi }{6}}\right),b\csc \left(B-{\frac {\pi }{6}}\right ),c\csc \left(C-{\frac {\pi }{6}}\right)\right)

Två punkter som är nära besläktade med Napoleons punkter är Fermats punkter (X13 och X14 i Encyclopedia of Points). Om vi istället för linjer som förbinder tyngdpunkten för liksidiga trianglar med motsvarande hörn ritar linjer som förbinder liksidiga trianglars hörn med motsvarande hörn i den ursprungliga triangeln, kommer de tre linjerna som är konstruerade på detta sätt att skära varandra i en punkt. Skärningspunkterna kallas Fermats punkter och betecknas som F1 och F2. Skärningspunkten mellan Fermatlinjen (det vill säga linjen som förbinder två Fermatpunkter) och Napoleonlinjen (det vill säga linjen som förbinder två Napoleonpunkter) är triangelns symmedian (punkt X6 i Encyclopedia of Centers).

Egenskaper

En Kiepert hyperbel är en avgränsad hyperbel som passerar genom en tyngdpunkt och ett ortocenter . Om vi bygger liknande likbenta trianglar på sidorna av en triangel (utåt eller inåt) och sedan kopplar deras hörn till den ursprungliga triangelns motsatta hörn, kommer tre sådana linjer att skära varandra vid en punkt, som ligger på Kiepert-hyperbolen. I synnerhet på denna hyperbel ligger Torricelli-punkterna och Napoleon-punkterna (Cevian skärningspunkter som förbinder hörnen med mitten av regelbundna trianglar byggda på motsatta sidor) [4] .

Generaliseringar

Resultatet om förekomsten av Napoleonpunkter kan generaliseras på olika sätt. När vi bestämde Napoleonpunkterna använde vi liksidiga trianglar byggda på sidorna av triangeln ABC och valde sedan X-, Y- och Z-centrum för dessa trianglar. Dessa centra kan betraktas som hörn av likbenta trianglar byggda på sidorna av triangeln ABC med basvinkeln π/6 (30 grader). Generaliseringar betraktar andra trianglar som, konstruerade på sidorna av triangeln ABC, har liknande egenskaper, det vill säga linjerna som förbinder de konstruerade trianglarnas hörn med motsvarande hörn i den ursprungliga triangeln skär varandra i en punkt.

Likbenta trianglar

Denna generalisering säger: [5]

Om tre trianglar XBC, YCA och ZAB är byggda på sidorna av triangeln ABC, är lika , likbenta med baser på sidorna av den ursprungliga triangeln, och är lika placerade (det vill säga, de är alla byggda utifrån, eller alla är byggd från insidan), då skär linjerna AX, BY och CZ vid en punkt N.

Om den gemensamma vinkeln vid basen är , då hörn av de tre trianglarna har följande trilinjära koordinater. $\theta$

$X(-\sin \theta ,\sin(C+\theta ),\sin(B+\theta ))$
$Y(\sin(C+\theta ),-\sin \theta ,\sin(A+\theta ))$
$Z(\sin(B+\theta ),\sin(A+\theta ),-\sin \theta )$

Trilinjära koordinater för punkt N

(\csc(A+\theta ),\csc(B+\theta ),\csc(C+\theta ))

Flera specialfall.

Menande $\theta$	Punkt $N$
0	G, tyngdpunkten för triangeln ABC (X2)
π /2 (eller, - π /2)	O, ortocentrum av triangeln ABC(X4)
$\mathrm {arctg} \,[\mathrm {tg} \,(A/2)\mathrm {tg} \,(B/2)\mathrm {tg} \,(C/2)]$ [6]	Spieker Center (X10)
π /4	Vecten-punkter (X485)
— π/4	Vecten-punkter (X486)
π /6	N1, Napoleons första punkt (X17)
- π /6	N2, andra Napoleon-punkten (X18)
π /3	F1, 1:a Farm Point (X13)
- π /3	F2, andra Fermat-punkt (X14)
- A (om A < π /2) π — A (om A > π /2)	Vertex A
- B (om B < π /2) π - B (om B > π /2)	Pinnacle B
- C (om C < π /2) π — C (om C > π /2)	Vertex C

Dessutom är platsen för punkterna N när man ändrar vinkeln vid basen av trianglar mellan -π/2 och π/2 en hyperbel $\theta$

{\frac {\sin(BC)}{x}}+{\frac {\sin(CA)}{y}}+{\frac {\sin(AB)}{z}}=0,

var är de trilinjära koordinaterna för punkt N i triangeln. $x,y,z$

Historik

Denna hyperbel kallas Kiepert-hyperbeln (till ära av den tyske matematikern Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert, 1846-1934 [5] som upptäckte den ). Denna hyperbel är den enda koniska sektionen som passerar genom punkterna A, B, C, G och O.

Notera

Spieker Center har en mycket liknande fastighet . Spiekers centrum S är skärningspunkten för linjerna AX , BY och CZ , där trianglarna XBC , YCA och ZAB är lika, likbenta och lika placerade, byggda på sidorna av triangeln ABC från utsidan, med samma vinkel vid basen [ 6] . $\mathrm {arctg} \,[\mathrm {tg} \,(A/2)\mathrm {tg} \,(B/2)\mathrm {tg} \,(C/2)]$

Liknande trianglar

För att de tre linjerna AX, BY och CZ ska skära varandra i en punkt behöver trianglarna XBC, YCA och ZAB byggda på sidorna av triangeln ABC inte vara likbenta [7] .

Om liknande trianglar XBC, AYC och ABZ byggs utifrån på sidorna av en godtycklig triangel ABC, så skärs linjerna AX, BY och CZ i en punkt.

Godtyckliga trianglar

Linjerna AX, BY och CZ skär varandra vid en punkt även under svagare förhållanden. Följande villkor är ett av de mest allmänna villkoren för att linjerna AX, BY och CZ ska skära varandra vid en punkt [7] .

Om trianglarna XBC, YCA och ZAB byggs utifrån på sidorna av triangeln ABC så att ∠CBX = ∠ABZ, ∠ACY = ∠BCX, ∠BAZ = ∠CAY, då skär linjerna AX, BY och CZ vid en punkt.

Om upptäckten av Napoleons poäng

Coxeter och Greitzer formulerar Napoleons sats enligt följande: Om liksidiga trianglar byggs utifrån på sidorna av någon triangel, bildar deras centra en liksidig triangel . De märker att Napoleon Bonaparte var lite av en matematiker och hade ett stort intresse för geometri, men de tvivlar på att han var tillräckligt utbildad i geometri för att upptäcka den sats som tillskrivits honom [1] .

Den tidigaste bevarade publikationen med prickar är en artikel i den årliga "Kvinnornas dagbok" (Kvinnornas dagbok, 1704-1841) i 1825 års nummer. Teoremet var en del av ett svar på en fråga som W. Resenford skickade, men denna publikation nämner inte Napoleon.

År 1981 publicerade den tyske matematikhistorikern Christoph J. Scriba sin forskning i frågan om att tilldela poäng till Napoleon i tidskriften Historia Mathematica [8] .

Se även

Van Obels teorem
Point Farm
Vectenpunkter är ett par triangulära centra konstruerade på samma sätt som Napoleonpunkter med kvadrater istället för liksidiga trianglar.

Anteckningar

↑ 1 2 Coxeter, Greitzer, 1967 , sid. 61–64.
↑ Rigby, 1988 , sid. 129–146.
↑ 1 2 Kimberling, Clark Encyclopedia of Triangle Centers . Hämtad: 2 maj 2012. (obestämd)
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriska egenskaper hos kurvor av andra ordningen. - 2:a uppl., tillägg - 2011. - S. 125-126.
↑ 1 2 Eddy, Fritsch, 1994 , sid. 188–205.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ 1 2 de Villiers, 2009 , sid. 138–140.
↑ Scriba, 1981 , sid. 458–459.

Litteratur

JF Rigby . Napoleon återbesökt // Journal of Geometry. - 1988. - T. 33 , nr. 1-2 . - S. 129-146 . - doi : 10.1007/BF01230612 .
The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle // Mathematics Magazine. - 1994. - T. 67 juni , nr. 3 . - doi : 10.2307/2690610 .
Michael de Villiers. Några äventyr i euklidisk geometri. - Dynamic Mathematics Learning, 2009. - ISBN 9780557102952 .
H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer. Geometri återbesökt. - Mathematical Association of America, 1967. Översatt av G. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Nya möten med geometri. - Moskva: "Nauka", 1978. - (Library of the Mathematical Circle).
Christoph J Scriba. Vem kommer "Napoleons Satz" till namnen? // Historia Mathematica. - 1981. - T. 8 , nr. 4 . - doi : 10.1016/0315-0860(81)90054-9 .
Stachel, Hellmuth. Napoleons sats och generaliseringar genom linjära kartor // Bidrag till algebra och geometri : tidskrift. - 2002. - Vol. 43 , nr. 2 . - S. 433-444 .
Grünbaum, Branko . En släkting till "Napoleons sats" (neopr.) // Geombinatorik . - 2001. - T. 10 . - S. 116-121 .
Katrien Vandermeulen, et al. Napoleon, en matematiker? (inte tillgänglig länk) . Matematik för Europa. Hämtad 25 april 2012. Arkiverad från originalet 30 augusti 2012. (obestämd)
Bogomolny, Alexander Napoleons sats . Klipp knuten! En interaktiv kolumn med Java-applets. Tillträdesdatum: 25 april 2012. (obestämd)
Napoleons Thm och Napoleon Points (otillgänglig länk) . Hämtad 24 april 2012. Arkiverad från originalet 21 januari 2012. (obestämd)
Weisstein, Eric W. Napoleon poäng . Från MathWorld—en Wolfram webbresurs. Hämtad: 24 april 2012. (obestämd)
Philip LaFleur Napoleons sats . Hämtad 24 april 2012. Arkiverad från originalet 7 september 2012. (obestämd)
Wetzel, John E. Converses of Napoleons theorem (april 1992). Hämtad 24 april 2012. Arkiverad från originalet 29 april 2014. (obestämd)