Barycenter

I matematik är barycentrum , eller geometriskt centrum, för en tvådimensionell figur det aritmetiska medelvärdet av positionerna för alla punkter i den givna figuren. Definitionen sträcker sig till alla objekt i ett n - dimensionellt utrymme . Radievektorn för barycentret i det tredimensionella fallet beräknas som

{\vec {r}}_{b}=V^{-1}\int _{V}{\vec {r}}dV

där integrationen utförs över kroppens volym. Ett annat namn för barycentret i denna mening är tyngdpunkten.

Informellt är det geometriska barycentret jämviktspunkten för en figur utskuren ur kartong, förutsatt att kartongen har en konstant densitet och det yttre gravitationsfältet är enhetligt.

Inom fysiken är termen "barycenter" en synonym för begreppet " massacentrum ", som huvudsakligen används i problem med rymdmekanik. Ett objekts masscentrum är det aritmetiska medelvärdet av alla dess punkter, med hänsyn tagen till den lokala masstätheten . För fysiska föremål med konstant densitet sammanfaller masscentrum med barycentrum för en figur med samma form.

Nedan betraktas barycentret i matematisk (geometrisk) mening; för barycentret i fysik, se artikeln Center of Mass .

Egenskaper

Det geometriska barycentrumet för ett konvext föremål ligger alltid inuti föremålet. Ett icke-konvext föremål kan ha ett barycenter utanför figuren. Barycentret av en ring eller skål , till exempel, ligger utanför figuren.

Om barycentret är känt är det en fast punkt i figurens isometrisymmetrigrupp . Barycentrum för ett objekt ligger i skärningspunkten mellan alla dess symmetrihyperplan . Barycenterna för många figurer ( regelbunden polygon , regelbunden polyeder , cylinder , rektangel , romb , cirkel , sfär , ellips , ellipsoid , superellips , superellipsoid , etc.) kan hittas baserat enbart på denna princip.

I synnerhet är barycentrum för en triangel skärningspunkten för dess medianer (se figur ). Barycentrum för ett parallellogram är skärningspunkten för dess diagonaler , men detta är inte sant för andra fyrhörningar .

Barycentret för ett objekt med translationssymmetri är inte definierat (eller ligger utanför figurens utrymme), eftersom skiftet inte har någon fixpunkt.

Triangel Centroid

Barycentrum av en triangel kallas en tyngdpunkt och ligger i skärningspunkten mellan tre medianer , ligger också på Euler-linjen (passerar genom andra nyckelpunkter, inklusive ortocentrum och mitten av den omskrivna cirkeln ) [1] [2] .

Om lika massor placeras vid triangelns hörn, kommer masscentrum (barycentrum) för det resulterande systemet att sammanfalla med tyngdpunkten. Dessutom är massacentrum för en triangel med likformigt fördelad massa också beläget i tyngdpunkten.
- I synnerhet, om är tyngdpunkten i en triangel, så är det för vilken punkt som helst sant att $M$ $ABC$ $O$ ${\overrightarrow {OM}}={\frac {1}{3}}({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}})$ .

Låta vara vilken punkt som helst på planet som innehåller en triangel med hörn , och ; och låt vara tyngdpunkten för denna triangel, då är summan av de kvadratiska avstånden från upp till tre hörn i triangeln lika med summan av de kvadratiska avstånden från tyngdpunkten till triangelns hörn plus tre gånger kvadraten på avståndet mellan och : $M$ $A$ $B$ $C$ $G$ $M$ $G$ $M$ $G$

MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}=GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}+3MG^{2}

[3] .

Summan av kvadraterna på sidorna i en triangel är lika med tre gånger summan av kvadraterna på avstånden från tyngdpunkten till triangelns hörn:

AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2})

[3] .

Massans centrum av triangelns sidor sammanfaller med mitten av den inskrivna cirkeln i den extra triangeln (en triangel med hörn placerade i mitten av sidorna i denna triangel). Denna punkt kallas Spiekers centrum . Om triangelns sidor är gjorda av en tunn tråd med samma tvärsnitt, kommer massacentrum (barycenter) för det resulterande systemet att sammanfalla med centrum av den extra triangeln , eller med centrum av Spiker .
Se nedan för andra egenskaper för tyngdpunkten i en triangel .

Minimaxegenskaper för tyngdpunkten i en triangel

Tyngdpunkten eller skärningspunkten för medianerna i en triangel är den enda punkten i triangeln så att de tre cevian som dras genom den delar triangelns sidor i sex segment med sina ändar. I det här fallet är produkten av längderna av tre av dessa sex segment som inte har gemensamma ändar maximalt [4] .
Centroiden eller skärningspunkten för tre medianer är den punkt för vilken summan av de kvadratiska avstånden till triangelns hörn får det minsta värdet ( Leibniz sats ).

Centroid av fyra punkter (fyrkantiga hörn)

Centroiden ( barycenter eller masscentrum ) för hörn av en godtycklig fyrhörning ligger i skärningspunkten för 3 segment: det 1:a segmentet förbinder diagonalernas mittpunkter, de andra två - mittpunkterna på de motsatta sidorna. Skärningspunkten delar alla tre segmenten.

Fyra segment, som vart och ett förbinder kvadrangelns hörn med tyngdpunkten i triangeln som bildas av de återstående tre hörnen, skär varandra i en punkt (tyngdpunkten för fyrhörningens hörn) och delar den i förhållandet 3:1, räkna från vertex.

Masscentrum för fyrhörningens hörn behöver inte sammanfalla med själva fyrhörningens masscentrum som en platt figur.

Fastställa platsen för barycenter

Att bestämma platsen för barycentret för en homogen platt figur med hjälp av lodlinjemetoden

Barycentret för en homogen plan figur, såsom figur (a) i figur , kan hittas experimentellt med hjälp av ett lod och stift genom att hitta massans centrum av en tunn platta med enhetlig densitet med samma form. Plattan hålls med en stift insatt nära omkretsen så att plattan kan rotera fritt. Vi markerar på plattan en rak linje, som bildas av en lodlinje fäst vid en stift (b). Gör samma sak med stiftets andra position. Skärningen av två linjer ger barycentrum (c).

Denna metod kan utvidgas (i teorin) till konkava figurer när barycentret ligger utanför dem, såväl som kroppar (med konstant densitet), men lodlinjens position måste markeras på annat sätt.

Fastställande av platsen för barycentret för en konvex tvådimensionell figur med hjälp av balanseringsmetoden

Barycentret för en konvex 2D-figur kan hittas genom att balansera på en mindre figur, till exempel toppen av en smal cylinder. Barycentret kommer att vara någonstans inom kontaktområdet för dessa figurer. Genom att successivt minska cylinderns diameter kan man i princip erhålla platsen för barycentret med vilken noggrannhet som helst. I praktiken gör luftströmmar detta omöjligt, men genom att använda överlappning av balanseringsområden och medelvärde kan du få önskad noggrannhet.

Bestämma platsen för barycentret för en ändlig uppsättning punkter

Barycentrum för en ändlig uppsättning punkter i hittas av formeln ${k}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{k))$ $\mathbb {R} ^{n}$

\mathbf {G} ={\frac {\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\cdots +\mathbf {x} _{k}}{k}}

[5] .

Den resulterande punkten är sådan att summan av de kvadratiska avstånden mellan den och punkterna i mängden är minimal. ${\mathbf {G}}$

Bestämma platsen för barycentret med hjälp av en geometrisk expansion

Barycentrum för en platt figur kan beräknas genom att dela upp det i ett ändligt antal enklare figurer , hitta positionen för barycenterna och områdena för varje del, och sedan beräkna $X$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n))$ $G_{i}$ $A_{i}$

G_{x}={\frac {\sum G_{i_{x}}A_{i}}{\summa A_{i}}},G_{y}={\frac {\summa G_{i_ {y}}A_{i}}{\summa A_{i}}}.

Hål i en figur , överlappande delar eller delar som sticker ut utanför en figur kan ses som negativa areasiffror . Områdets tecken ska nämligen väljas så att summan av tecknen för alla delar som inkluderar punkten är lika med 1 om den tillhör , och 0 annars. $X$ $A_{i}$ $A_{i}$ $A_{i}$ $sid$ $sid$ $X$

Till exempel är figuren (a) i figuren lätt uppdelad i en kvadrat och en triangel med positivt tecken, ett runt hål med negativt tecken (b).

Barycentret för varje del är lätt att hitta i valfri lista över barycenter av enkla figurer (c). Därefter beräknas figurens barycenter som ett viktat medelvärde av tre poäng. Den horisontella positionen för barycenter, räknat från den vänstra kanten av figuren, är

x={\frac {5\times 10^{2}+13.33\times {\frac {1}{2))10^{2}-3\times \pi 2.5^{2)){10 ^{2}+{\frac {1}{2}}10^{2}-\pi 2.5^{2}}}\approx 8.5.

Den vertikala positionen beräknas på liknande sätt.

Samma formel är tillämplig för alla tredimensionella objekt, endast volymerna av kroppsdelar är redan indikerade och inte områden. Formeln är också sann för ett utrymme av vilken dimension som helst när arean ersätts med dimensionella mått på delar. $A_{i}$ $X_{i}$ $\mathbb {R} ^{d}$ $d$ $d$

Fastställande av barycentrets plats genom integration

Barycentrum för en delmängd av X -rymden kan beräknas med hjälp av integralen $\mathbb {R} ^{n}$

G={\frac {\int xg(x)\;dx}{\int g(x)\;dx)),

där integrationen utförs över hela utrymmet , och g är den karakteristiska funktionen för delmängden, som tar 1 inuti X och 0 utanför den [6] . Observera att nämnaren är lika med måttet på mängden X . Formeln är inte tillämplig på en uppsättning av nollmått, såväl som för uppsättningar för vilka integralen divergerar . $\mathbb {R} ^{n}$

En annan formel för att beräkna barycenterkoordinater:

G_{k}={\frac {\int zS_{k}(z)\;dz}{\int S_{k}(z)\;dz)),

där Gk är den k : te koordinaten för G , och Sk ( z ) är måttet på skärningspunkten mellan X och hyperplanet som definieras av ekvationen xk = z . Återigen är nämnaren måttet på mängden X .

För en platt figur kommer barycentrets koordinater att vara

G_{\mathrm {x} }={\frac {\int xS_{\mathrm {y} }(x)\;dx}{A));

G_{\mathrm {y} }={\frac {\int yS_{\mathrm {x} }(y)\;dy}{A)),

där A är arean av figuren X , S y ( x ) är längden av skärningspunkten mellan [ okänd term ] X med den vertikala linjen med abskissan x , S x ( y ) är samma värde när axlarna är utbytta.

Bestämma platsen för barycentret för en region avgränsad av grafer för kontinuerliga funktioner

Koordinaterna för barycentrum för regionen som begränsas av graferna för kontinuerliga funktioner och , så att på intervallet , ges av uttrycken $({\bar {x)),\;{\bar {y)))$ $f$ $g$ $f(x)\geq g(x)$ $[a,b]$ $a\leq x\leq b$

{\bar {x}}={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}x\left[f(x)-g(x)\right]\;dx

[6] .

{\bar {y}}={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}\left[{\frac {f(x)+g(x)}{2 }}\höger]\vänster[f(x)-g(x)\höger]\;dx,

[7]

var är områdets yta (beräknat med formeln ) [8] [9] . $A$ $\int _{a}^{b}\left[f(x)-g(x)\right]\;dx$

Lokalisera barycentret för ett L-format objekt

Metod för att hitta barycentrum för en figur formad som bokstaven L.

Figuren är uppdelad i två rektanglar (se figur (2) i figuren ). Hitta barycentrum A och B för dessa två rektanglar som skärningspunkten mellan diagonalerna. Rita segment AB som förbinder barycenterna. Figurens barycentrum måste ligga på detta segment AB.
Dela figuren i två rektanglar på olika sätt (se figur (3) i figuren ). Hitta barycenterna C och D för dessa två rektanglar. En segment-CD ritas som förbinder barycenterna. Figurens barycentrum måste ligga på segmentet CD.
Eftersom barycentrum måste ligga både på segmentet AB och på segmentet CD är det uppenbart att det är skärningspunkten för dessa två segment - punkten O. Punkten O behöver inte ligga inuti figuren.

Barycenter av triangeln och tetraedern

Triangelns barycentrum sammanfaller med skärningspunkten mellan medianerna . Barycentret delar varje median i förhållandet 2:1, det vill säga barycentret är på ett avstånd av ⅓ från sidan till den motsatta vertexen (se figur ). Dess kartesiska koordinater är medelvärdet av koordinaterna för de tre hörnen. Det vill säga om triangelns hörn är , och , då beräknas barycentrets koordinater med formeln $a=(x_{a},y_{a})$ $b=(x_{b},y_{b})$ $c=(x_{c},y_{c})$

G={\frac {1}{3}}(a+b+c)=\left({\frac {1}{3}}(x_{a}+x_{b}+x_{c }),{\frac {1}{3}}(y_{a}+y_{b}+y_{c})\right)

Barycentret har alltså barycentriska koordinater . ${\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}$

I trilinjära koordinater kan barycentret erhållas på ett av motsvarande sätt [10] :

G={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ca:ab=\csc A:\csc B:\csc C

=\cos A+\cos B\cdot \cos C:\cos B+\cos C\cdot \cos A:\cos C+\cos A\cdot \cos B

=\sec A+\sec B\cdot \sec C:\sec B+\sec C\cdot \sec A:\sec C+\sec A\cdot \sec B.

Barycentret är också fysiskt masscentrum för en triangel gjord av homogent arkmaterial, och även om all massa är koncentrerad vid hörnen och lika uppdelad mellan dem. Om massan är jämnt fördelad längs omkretsen, så ligger massans centrum vid Spiekers punkt ( mitten av mediantriangeln ), som (i det allmänna fallet) inte sammanfaller med hela triangelns tyngdpunkt.

Arean av en triangel är lika med 3/2 av längden på vilken sida som helst multiplicerat med avståndet från tyngdpunkten till sidan [11] .

En triangels tyngdpunkt ligger på Euler-linjen mellan dess ortocentrum och mitten av dess omskrivna cirkel , exakt dubbelt så nära den andra som den första: $H$ $O$

GH=2GO

Dessutom, för mitten och mitten av nio punkter , har vi $jag$ $N$

GH=4GN

GO=2GN

IG<HG

IH<HG

IG<IO

Tetraedern har liknande egenskaper - dess barycenter är skärningspunkten mellan segmenten som förbinder hörnen med barycenterna på motsatta ytor. Dessa segment divideras med barycentrum i förhållandet 3:1. Resultatet kan generaliseras till valfri dimensionell simplex . Om hörn av simplexen betecknas och hörnen betraktas som vektorer är tyngdpunkten lika med $n$ $v_{0},\ldots ,v_{n}$

G={\frac {1}{n+1}}\sum _{i=0}^{n}v_{i}

Det geometriska barycentret sammanfaller med masscentrum om massan är jämnt fördelad över simplexen eller koncentrerad vid hörnen som lika stora massor. $n$

Den isogonala konjugationen av tyngdpunkten i en triangel är skärningspunkten för dess symmedianer .

Tetraederns barycentrum

En tetraeder är en solid i 3D-rymden som har fyra trianglar som ytor. Segmentet som förbinder tetraederns vertex med barycentret på den motsatta sidan kallas median och segmentet som förbinder mittpunkterna på två motsatta sidor kallas bimedian . Det finns alltså fyra medianer och två bimedianer. Dessa sex segment skär varandra vid tetraederns barycentrum [12] . Tetraederns barycentrum ligger halvvägs mellan Monge-punkten och mitten av den omskrivna sfären . Dessa punkter definierar Euler-linjen i tetraedern, som är analog med Euler-linjen i triangeln.

Barycentrum för en polygon

Barycentrum för den självupplösande slutna polygonen definierad av hörnen , , , , är punkten , där $n$ $(x_{0},y_{0})$ $(x_{1},y_{1})$ $\ldots$ $(x_{n-1},y_{n-1})$ $(G_{x},G_{y})$

G_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i} y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})

;

G_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i} y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})

och var är arean av den (signerade) polygonen: $A$

A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i })

[13] .

Denna formel förutsätter att hörnen är numrerade längs polygonens omkrets. Dessutom anses vertex vara detsamma som . Observera att om punkterna är numrerade medurs kommer arean som beräknats ovan att vara negativ, men barycenterkoordinaterna kommer att korrigera detta fall. $(x_{n},y_{n})$ $(x_{0},y_{0})$ $A$

Barycenter av en kon och en pyramid

Barycentret av en kon eller pyramid är beläget på segmentet som förbinder toppen av kroppen med barycentret av basen. För en hel kon eller pyramid är barycentret 1/4 från basen till toppen. För ytan av en kon eller pyramid (sidoyta utan inre och utan bas) är tyngdpunkten 1/3 av avståndet från basen till toppen.

Se även

Anteckningar

↑ Altshiller-Court, 1925 , sid. 101.
↑ Kay, 1969 , sid. 18 189 225–226.
↑ 1 2 Altshiller-Court, 1925 , sid. 70–71.
↑ Zetel, 1962 .
↑ Protter, Morrey, 1970 , sid. 520.
↑ 1 2 Protter, Morrey, 1970 , sid. 526.
↑ Protter, Morrey, 1970 , sid. 527.
↑ Protter, Morrey, 1970 .
↑ Larson, Hostetler, Edwards, 1998 , sid. 458–460.
↑ Encyclopedia of Triangle Centers Arkiverad 19 april 2012 på Wayback Machine av Clark Kimberling. Centroiden indexeras som X(2).
↑ Johnson, 2007 , sid. 173.
↑ Kam-tim, Suk-nam, 1994 , sid. 53–54.
↑ Bourke, 1997 .

Litteratur

Zetel, S. I. Ny triangelgeometri. En guide för lärare. - 2:a upplagan /. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 12.
Leung Kam-tim, Suen Suk-nam. Vektorer, matriser och geometri. — Hong Kong University Press, 1994.

Nathan Altshiller-Court. College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln. — 2:a. — New York: Barnes & Noble , 1925.
Paul Burke. Beräkna arean och tyngdpunkten för en polygon. — 1997.
Roger A. Johnson. Avancerad euklidisk geometri. — Dover , 2007.
David C Kay. College geometri . — New York: Holt, Rinehart och Winston , 1969.
Roland E. Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards. Beräkning av en enskild variabel . — 6:a. — Houghton Mifflin Company , 1998.
Murray H. Protter, Charles B. Morrey Jr. College Calculus med analytisk geometri. — 2:a. — Läsning: Addison-Wesley , 1970.

Länkar

Karakteristisk egenskap för Centroid vid cut-the-knoten
Barycentriska koordinater vid cut-the-knoten
Interaktiva animationer som visar Centroid of a triangle och Centroid-konstruktion med kompass och rakled
Experimentellt hitta medianerna och tyngdpunkten för en triangel vid Dynamic Geometry Sketches , en interaktiv dynamisk geometriskiss med hjälp av gravitationssimulatorn för Askungen.

Betyda
Matte	Effektmedelvärde ( viktad ) harmoniskt medelvärde viktad geometriskt medelvärde viktad Medel viktad effektivvärdet Genomsnittlig kubik glidande medelvärde Aritmetiskt-geometriskt medelvärde Funktion Mean Kolmogorov menar
Geometri	geometriskt centrum Barycenter
Sannolikhetsteori och matematisk statistik	Winsorized medelvärde provmedelvärde Förväntat värde Median Mode standardavvikelse Trunkerat medelvärde Villkorlig förväntan
Informationsteknologi	Medoid k-median metod
Satser	Första medelsatsen Andra medelsatsen Olikhet om det aritmetiska, geometriska och harmoniska medelvärdet
Övrig	Mätvärden för distributionscenter