Mediantriangeln

Mediantriangel (även mediantriangel eller komplementär triangel ) är en triangel byggd på mittpunkterna av sidorna av en given triangel, ett specialfall av medianpolygon .

Egenskaper

Den mellersta triangeln kan betraktas som bilden av den ursprungliga triangeln under homoteti centrerad vid tyngdpunkten med faktorn −1. Således liknar mediantriangeln den ursprungliga och har samma tyngdpunkt och medianer som den ursprungliga triangeln . Det följer också av detta att omkretsen av mitttriangeln är lika med triangelns halva omkrets , och att dess area är lika med en fjärdedel av triangelns yta . Dessutom är de fyra trianglarna som den ursprungliga triangeln delas i av den mellersta triangeln lika på tre sidor , så deras area är lika och utgör en fjärdedel av den ursprungliga triangelns area [1] . I detta avseende kallas ibland alla fyra lika inre trianglar som erhålls från en given triangel genom att rita tre medianlinjer i den ibland "mitten" (i den mest traditionella terminologin kallas bara en av dem den mellersta - den centrala).

Ortocentrum av mediantriangeln sammanfaller med mitten av den omskrivna cirkeln av den givna triangeln , detta faktum ger möjlighet att bevisa att centrum av den omskrivna cirkeln, tyngdpunkten och ortocentrum ligger på samma räta linje - Euler-linjen .

Mediantriangeln är undertriangeln till mitten av den omskrivna cirkeln. Cirkeln med nio punkter beskrivs för den mellersta triangeln, och därför är mitten av nio punkter centrum för den omskrivna cirkeln runt den mellersta triangeln . Nagelpunkten i den mellersta triangeln är mitten av den inskrivna cirkeln i den ursprungliga triangeln [ 2] .

Den mellersta triangeln är lika med en triangel, vars hörn är mittpunkterna på segmenten som förbinder ortocentret och dess hörn ( Eulers triangel ) [3] .

Mitten av triangelns inskrivna cirkel ligger i mitttriangeln [4] . En punkt inuti en triangel är mitten av en ellips inskriven i triangeln om och endast om denna punkt ligger innanför mitttriangeln [5] . Mediantriangeln är den enda inskrivna triangeln för vilken ingen av de andra tre trianglarna har en area mindre än arean av denna triangel [6] . Mitten av en cirkel inskriven i mitttriangeln i en given triangel är masscentrum för triangelns omkrets ( Spiekers centrum ), detta centrum är tyngdpunkten för den enhetliga trådfiguren som motsvarar triangeln.

Ortopolen P för den räta linjen ℓ i triangeln är det radikala mitten av tre cirklar som tangerar den räta linjen ℓ och har centra vid spetsarna av den antikomplementära triangeln med avseende på den givna triangeln. [7]

Mitten av en given triangel är Nagelpunkten i triangeln som bildas av dess 3 medianer ( triangelmittpunkt ). [åtta]

Koordinater

Låt vara  längderna på sidorna av triangeln . De trilinjära koordinaterna för spetsarna i den mellersta triangeln ges av formlerna:

Antimedian triangel

Om  är en mediantriangel för , då är en antimediantriangel ( antikomplementär ) för . En antikomplementär triangel for bildas av tre räta linjer parallella med sidorna  - parallella genom punkten , parallella genom punkten och parallella genom punkten .

De trilinjära koordinaterna för spetsarna i antimitttriangeln ges av formlerna:

Anteckningar

  1. ↑ Posamentier, Lehmann, 2012 , sid. 177.
  2. ↑ Altshiller-Court, 2007 , sid. 161, sats 337.
  3. ↑ Altshiller-Court, 2007 , sid. 103,#206;108,#1.
  4. ↑ Franzsen, 2011 , sid. 233, Lemma 1.
  5. ↑ Chakerian, 1979 , sid. 139, 7 kap.
  6. ↑ Torrejon, 2005 , sid. 137.
  7. ↑ College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln. Nathan Altshiller-Court. (Stycke: G. Ortopolen. Övningar. Punkt 6. s. 291). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 sid.
  8. ↑ Honsberger, R. . Avsnitt i 1800- och 1900-talets euklidiska geometri. Washington, DC: Matte. Assoc. amer. 1995. S. 51, punkt (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303

Litteratur

Länkar