Ortopol

Ortopolen i systemet som består av triangeln ABC och den räta linjen ℓ (i figuren till höger motsvarar denna linje ℓ linjen A  ′ C  ′ ) i det givna planet är en punkt som definieras enligt följande. [1] . Låt A  ′, B  ′, C  ′ vara baserna för perpendikulerna som dras till linjen ℓ från hörnen på triangeln A , B , C . Låt A  ", B  ", C  " vara baserna för perpendikulära ritade till motsvarande motsatta sidor A , B , C i den angivna triangeln eller till förlängningarna av dessa sidor. Sedan skär tre räta linjer A  "  A  ", B  "  B  ", C  "  C  ", i en punkt — vid ortopolen H . [2] På grund av deras många egenskaper [3] har ortopoler blivit föremål för seriösa studier [4] . Några nyckelbegrepp studerades - definitionen av linjer som har en given ortopol [5] och ortopolcirklar. [6]

Egenskaper

Notera

Överallt nedan i texten motsvarar ortopol P ortopol H i ​​fig. till höger, och den raka linjen ℓ för ortopolen P i samma fig. motsvarar linjen A  ′ C  .

Ortopol och ortocenter

• Om den passerar genom triangelns ortocenter Q , ligger punkten på fortsättningen av segmentet PQ som förbinder ortopolen med ortocentret, på andra sidan på ett avstånd lika med PQ , på Eulercirkeln i denna triangel. [7]
• Ortocentrum Q i en triangel är ortopolen på dess sidor i förhållande till själva triangeln. [åtta]

Ortopol som radikalt centrum

• Ortopolen P för den räta linjen ℓ i triangeln är det radikala mitten av tre cirklar som tangerar den räta linjen ℓ och har centra vid spetsarna av den antikomplementära triangeln med avseende på den givna triangeln. [9]

Ortopol och omskriven cirkel

• Om ortopolens linje ℓ passerar genom mitten av triangelns omskrivna cirkel , så ligger ortopolen själv på Eulercirkeln i denna triangel. [3] [10]
• Det följer av den sista egenskapen att för en given triangel är punkternas plats - alla ortopoler P av alla linjer ℓ som passerar genom mitten av triangelns omskrivna cirkel , Eulercirkeln för denna triangel.
• Om ortopolens linje ℓ skär triangelns omringade cirkel i två punkter P och Q , så ligger ortopolen i skärningspunkten mellan de två Simson-linjerna i de två sista punkterna P och Q. [elva]
• För en given triangel är platsen för punkter - alla ortopoler P av alla linjer ℓ som passerar genom en fast punkt som ligger på triangelns omskrivna cirkel , en linje (segment).

Orthopole och Simsons linje

• Om ortopolen ligger på Simsons linje är dess linje ℓ vinkelrät mot den. [3]
• Om ortopolens linje ℓ är Simson-linjen för punkten P kallas punkten P Simson-linjens pol ℓ [3]

Ortopoler av parallella linjer

• Om ortopolens linje ℓ rör sig parallellt med sig själv, så rör sig dess ortopol längs linjen vinkelrätt mot ℓ med ett avstånd som är lika med förskjutningen. [3]
• Ortopolerna för två parallella linjer ligger på sin gemensamma vinkelrät mot de två linjerna på ett avstånd som är lika med avståndet mellan linjerna. [12]

Ortopoler av trippel av hörn av en fyrhörning

Om en fast rät linje ℓ ges , och någon av de tre hörnen på fyrhörningen är vald , så ligger alla ortopolerna på den givna räta linjen ℓ med avseende på alla sådana trianglar på samma räta linje. Denna linje kallas den ortopolära linjen för den givna linjen ℓ med avseende på fyrhörningen. [13]

Konisk (ellips) genererad av ortopoler

• Det är känt (se [14] [15] ) att om man för en given fixerad triangel hittar alla ortopoler för alla linjer som passerar genom en fix punkt genererar en kägelform, som alltid är en ellipstangent vid 3 punkter till Steinerdeltoiden i den givna triangeln . En kägel degenererar till en linje (linjesegment) när punkten är på triangelns omskrivna cirkel . Denna koniska generaliserar egenskapen som diskuteras i [16] , enligt vilken, för en punkt som sammanfaller med mitten av triangelns omskrivna cirkel , blir koniken Eulercirkeln [17]
• Anmärkning . I den här artikeln, i stycket "Ortopol och den omskrivna cirkeln ", låter egenskapen som nämns ovan så här:

Feuerbach pekar som ortopoler

I engelsk litteratur kallas 4 centra av 4 cirklar: 1 inskriven och 3 cirklar med centra, som rör respektive 3 olika sidor av triangeln eller deras förlängningar, 4 tritangent centers of the triangle ( de tritangent centers ) [19] . Denna kommentar är viktig för nästa påstående.

Feuerbach-punkterna i en triangel är ortopolerna för denna triangel om diametrarna för den omskrivna cirkeln som passerar genom motsvarande tretangentcentrum tas som de raka linjerna ℓ för dessa ortopoler [20] . Det sista påståendet är en konsekvens av det påstående som anges nedan.

Feuerbach-punkten för en given inskriven eller omkrets (tretangent cirkel - på engelska "en tritangent cirkel") är skärningspunkten för 2 Simson-linjer , byggda för ändarna av diametern på den omslutna cirkeln som går genom motsvarande centrum av den inskrivna eller excircle. Således kan Feuerbach-punkterna konstrueras utan att använda motsvarande incirkel eller excirkel och Eulercirkeln som tangerar den [21] .

Generalisering

Förekomsten av en ortopol följer av en mer allmän sats, den så kallade Steinersatsen om ortologiska trianglar [22] .

Steiners ortologa triangelsats säger (se Steiners ortologa triangelsats ) att om ΔABC är ortolog till ΔA'B'C' så är det ekvivalent med att ΔA'B'C' är ortolog till ΔABC . När det gäller en ortopol kan projektionerna av triangelns hörn ABC på den räta linjen ℓ — punkterna A' , B' , C' — betraktas som hörn i en degenererad triangel, och de parallella perpendicularerna skär varandra vid en oändligt avlägsen punkt.

• Ortologiska  trianglar är trianglar ABC och A 1 B 1 C 1 för vilka vinkelräta fall från punkterna A, B och C till linjerna B 1 C 1 , C 1 A 1 och A 1 B 1 skär varandra i en punkt. I det här fallet föll vinkelräta från punkterna A 1 , B 1 och C 1 till linjerna BC, CA och AB skärs också i en punkt.

Historik

Ortopolen upptäcktes av matematikern M. Soons 1886 i en artikel på sid. 57 i den belgiska vetenskapliga tidskriften om elementär matematik Mathesis (tidskrift), grundad 1881 av Paul Mansion ( Paul Mansion ) och Joseph Jean Baptiste Neuberg ( Joseph Jean Baptiste Neuberg ), och termen orthopole (ortopol) föreslogs av nämnda Neuberg i tidskriften "Mathesis" för 1911 på sid. 244 enligt källor [23] , [24]

Se även

Pol och polar

Länkar

1. ↑ MathWorld: Orthopole . Hämtad 20 juni 2020. Arkiverad från originalet 31 december 2019. (obestämd)
2. ↑ Arkiverad kopia . Hämtad 20 juni 2020. Arkiverad från originalet 25 februari 2017. (obestämd)
3. ↑ 1 2 3 4 5 6 Ortopolen (21 januari 2017). Hämtad 20 juni 2020. Arkiverad från originalet 22 juni 2020. (obestämd)
4. ↑ "The Orthopole Loci of Some One-Parameter Systems of Lines Refered to a Fixed Triangle" Författare(r): OJ Ramler The American Mathematical Monthly , Vol. 37, nr. 3 (mars, 1930), sid. 130–136 Publicerad av: Mathematical Association of America Stable URL: https://www.jstor.org/stable/2299415 Arkiverad 27 juni 2020 på Wayback Machine
5. ^ "The Projective Theory of Orthopoles", Sister Mary Cordia Karl, The American Mathematical Monthly , Vol. 39, nr. 6 (juni-juli 1932), sid. 327–338 Publicerad av: Mathematical Association of America Stable URL: https://www.jstor.org/stable/2300757 Arkiverad 24 juni 2020 på Wayback Machine
6. ↑ Goormaghtigh, R. (1 december 1946). "1936. Ortopolen” . Den matematiska tidningen . 30 (292): 293. doi : 10.2307/ 3610737 . JSTOR 3610737 . Arkiverad från originalet 2017-02-25 . Hämtad 2020-06-20 via Cambridge Core.  Utfasad parameter används |deadlink=( hjälp )
7. ↑ College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopolen. §699. Sats. Fikon. 156. S. 290-291.
8. ↑ College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopolen. §Övningar. §ett. s. 291.
9. ↑ College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopolen. §Övningar. §6. s. 291.
10. ↑ College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopolen, §694, Fig. 155, sid. 288.
11. ↑ College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopolen, §697. Teorem, Fig. 155, sid. 289-290.
12. ↑ College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopolen, §693, Fig. 154, sid. 287-288
13. ↑ Steve Phelps. The Orthopole// https://www.geogebra.org/m/CKKH9ZZA Arkiverad 22 juni 2020 på Wayback Machine
14. ↑ Honsberger, R. Episoder i 1800- och 1900-talets euklidiska geometri. Washington D.C., Math. Assoc. Ammer., 1995, sid. 106-110.
15. ↑ Lalesco T. La Geometrie du Triangle. Paris, Jacques Gabay, 1987, sid. 17.
16. ↑ Orthopole// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole.html Arkiverad 5 augusti 2020 på Wayback Machine
17. ↑ "5. Konisk genererad av ortopoler" I: Orthopole of a chord// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole2.html Arkiverad 8 juli 2020 på Wayback Machine
18. ↑ College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopolen, §694. Fikon. 155, sid. 288.
19. ↑ College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §b. Tritangentcentra. P.73-78// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ# v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arkiverad 30 juni 2020 på Wayback Machine
20. ↑ College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §698. naturlig följd. P.290// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v= onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arkiverad 30 juni 2020 på Wayback Machine
21. ↑ College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Anmärkning. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v= onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arkiverad 30 juni 2020 på Wayback Machine
22. ↑ Myakishev A. Går i cirklar: från Euler till Taylor // Matematik. Allt för läraren! nr 6 (6). juni. 2011. sid. 6, Definition av ortopolen, fig. 5// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf
23. ↑ Ion Pătrașcu. THE DUAL OF THE ORTHOPOLE THEOREM// https://rxiv.org/pdf/1404.0148v1.pdf Arkiverad 28 juli 2020 på Wayback Machine
24. ↑ Nathan Altshiller-Court College Geometry. En introduktion till triangelns och cirkelns moderna geometri. andra upplagan. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. S. 306, §692, §694

Litteratur

• Atul Dixit, Darij Grinberg. Ortopoler och Pappus teorem// http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200406.pdf
• College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopolen. P.287-291.// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ #v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false
• Bogomolny, A. "Ortopol." https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Orthopole.shtml .
• Goormaghtigh R. Analytisk behandling av vissa ortopolteorem// Amer. Matematik. Månadsskrift 46. 1939. S. 265-269,
• Gallatly W. The Modern Geometry of the Triangle, 2nd ed. London: Hodgson, 1913. - Kapitel 6. Ortopolen. S. 46-54.
• Honsberger , R. Avsnitt i 1800- och 1900-talets euklidiska geometri. Washington, DC: Matte. Assoc. Amer., 1995. - Kapitel 11. Ortopolen. S. 125-136. // https://b-ok.cc/book/447019/c8c303
• Johnson RA Modern Geometry: En elementär avhandling om triangelns och cirkelns geometri. Boston, MA: Houghton Mifflin, sid. 247, 1929.
• Ramler OJ Ortopollägena för vissa enparametersystem av linjer hänvisade till en fast triangel// Amer. Matematik. Månadsskrift 37, 1930, s. 130-136.
• Lalesco T. La Geometrie du Triangle. Paris: Jacques Gabay, 1987, sid. 17.
• Orthopole// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole.html
• Orthopole of a ackord// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole2.html
• Junko HIRAKAWA. Några satser om ortopolen. Tohoku Mathematical Journal, första serien. 1933 vol. 36. P. 253-256 // https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/36/0/36_0_253/_pdf/-char/en
• Myakishev A. Att gå i cirklar: från Euler till Taylor // Matematik. Allt för läraren! nr 6 (6). juni. 2011. sid. 6, Definition av ortopolen, fig. 5// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf