Cirkel med nio punkter

Cirkeln med nio punkter är cirkeln som går genom mittpunkterna på alla tre sidorna av triangeln .

Den kallas också Eulercirkeln , Feuerbachcirkeln , sexpunktscirkeln , Terkemcirkeln , n- punktscirkeln , den halvomskrivna cirkeln .

Definitionssats

Cirkeln med nio punkter fick sitt namn tack vare följande teorem:

Baserna för de tre höjderna av en godtycklig triangel, mittpunkterna på dess tre sidor och mittpunkterna för de tre segmenten som förbinder dess hörn med ortocentrum ligger alla på samma cirkel.

Med andra ord är niopunktscirkeln den omskrivna cirkeln för följande tre trianglar:

ortotriangel ,
mitttriangeln ,
Eulertriangel (eller Feuerbachtriangel , Euler-Feuerbachtriangel ) är en triangel vars hörn är mittpunkterna i tre segment som förbinder ortocentrum och hörn.

Bevis för satsen

I artikeln Trident Lemma ges ett bevis på existensen av Eulercirkeln med hjälp av detta lemma.

Egenskaper

Mitten av den nio-punktscirkeln ligger på Euler-linjen , exakt i mitten av segmentet mellan ortocentrum och mitten av den omskrivna cirkeln .
Av de nio punkterna på Eulercirkeln är tre mittpunkterna på linjesegmenten som förbinder hörnen med ortocentrum (hörnpunkterna i Euler-Feuerbach-triangeln ). Dessa tre punkter är reflektioner av mittpunkterna på triangelns sidor kring mitten av den niopunktscirkeln .
Således tjänar mitten av de nio punkterna som symmetricentrum , vilket översätter den mellersta triangeln till Euler-Feuerbach-triangeln (och vice versa) [1]
Diametern på en cirkel med nio punkter är lika med radien för den omskrivna cirkeln .
Den omskrivna cirkeln är bilden av niopunktscirkeln i förhållande till homoteten med centrum i ortocentrum och koefficient 2.

Den sista egenskapen för homoteticitet (likhet) innebär att en cirkel med nio punkter halverar ett segment som förbinder ortocentret med en godtycklig punkt som ligger på den omskrivna cirkeln .
Feuerbachs teorem . Cirkeln med nio punkter i en godtycklig triangel berör incirkeln och alla tre cirkelcirklarna i denna triangel. [2]
Mavlos sats . [3] : en triangel på sin omkrets av nio punkter skär av tre bågar externt med sina tre sidor på ett sådant sätt att längden på den största av dem är lika med summan av längderna av de två återstående bågarna. Till exempel, i figuren ovan, ger Mavlos teorem likheten: båge IF = båge HE + båge GD.
I en symmetrisk form kan Mavlos sats skrivas som: $\smallsmile IF+\smallsmile HE+\smallsmile GD=2\max\{\smallsmile IF,\smallsmile HE,\smallsmile GD\}.$

Detta motsvarar det faktum att den största av de tre bågarna är lika med summan av de andra två.

Den sista egenskapen är analog med egenskaperna för avstånd , och från hörnen av en extra triangel (en triangel med hörn i mitten av sidorna av denna triangel). till Feuerbach-punkten , inte för bågar. Ett liknande förhållande förekommer också i Pompeys sats . $x$ $y$ $z$
Hamiltons teorem . Tre linjesegment som förbinder ortocentret med hörnen på en spetvinklad triangel delar upp den i tre trianglar som har samma Eulercirkel (cirkel med nio punkter) som den ursprungliga spetsvinklade triangeln. Feuerbach-punkten anses vara den punkt som är markerad med fet stil på cirkeln närmast vertex A.

Det finns exakt tre punkter på triangelns circumcircle så att deras Simson-linje är tangent till triangelns Eulercirkel , och dessa punkter bildar en regelbunden triangel . Sidorna i denna triangel är parallella med sidorna av Morleys triangel . $ABC$ $ABC$
Om hyperbeln som beskrivs nära triangeln passerar genom skärningspunkten för höjderna, så är den likbent (det vill säga dess asymptoter är vinkelräta) [4] . Skärningspunkten för asymptoterna i en liksidig hyperbel ligger på cirkeln med nio punkter [4] . Denna hyperbel kallas Kiepert-hyperbolen och dess centrum betecknas i Encyclopedia of Triangle Centers som X(115).
Om ortopolens linje ℓ passerar genom mitten av triangelns omskrivna cirkel , så ligger ortopolen själv på Eulercirkeln i denna triangel. [5]
Om linjen ℓ för ortopolen P passerar genom triangelns ortocentrum Q , ligger punkten på fortsättningen av segmentet PQ som förbinder ortopolen med ortocentret, på andra sidan på ett avstånd lika med PQ , på Euler cirkel (på en cirkel med 9 punkter) i denna triangel. [6]

Om ABCD är en fyrhörning inskriven i någon cirkel. EFG är den diagonala triangeln för fyrhörning ABCD . Då ligger skärningspunkten T för bimedianerna i fyrhörningen ABCD på cirkeln av nio punkter i triangeln EFG .

Det visades i [7] att skärningspunkten för bimedianerna i en fyrhörning inskriven i någon cirkel tillhör triangelns Eulercirkel med en vertex i skärningspunkten för fyrhörningens diagonaler och med två andra hörn i skärningspunkten punkter av förlängningarna av dess par av motsatta sidor.

För en cirkel med nio punkter, som - bland andra - också kallas "cirkeln av Terkem", bevisade Terkem Terkems sats . [8] Hon säger att om en cirkel med nio punkter skär sidorna av en triangel eller deras förlängningar i 3 par punkter (i 3 baser respektive höjder och medianer) som är baserna för 3 par cevianer, då om 3 cevianer för 3 av dessa baser skär varandra i 1 punkt (till exempel skär 3 medianer vid 1 punkt), sedan skär 3 cevianer för 3 andra baser också vid 1 punkt (det vill säga, 3 höjder måste också skära vid 1 punkt).

Fall av inbördes arrangemang av cirkeln med nio punkter och den omskrivna cirkeln

I en triangel, i förhållande till den omskrivna cirkeln , kan cirkeln med nio punkter (eller Eulercirkel ) placeras enligt följande:

Den berör den omskrivna cirkeln i det enda fallet om triangeln är rätvinklig . I det här fallet går tangensen av två cirklar i spetsen av triangelns räta vinkel.
Den ligger helt innanför den omskrivna cirkeln om triangeln är spetsvinklad .
Den skär den omskrivna cirkeln på två olika punkter om triangeln är trubbig .

Historik

Euler 1765 bevisade att höjdernas baser och sidornas mittpunkter ligger på samma cirkel (därav namnet "cirkel med sex punkter"). Det första fullständiga beviset för det allmänna resultatet publicerades tydligen av Karl Feuerbach 1822 (tillsammans med satsen som bär hans namn), men det finns indikationer på att det var känt tidigare [2] .

Variationer och generaliseringar

Fyra cirklar med nio punkter av trianglar inuti en fyrhörning . Det finns ett välkänt teorem: I en godtycklig konvex fyrhörning skärs cirklarna med nio punkter av trianglar i vilka två diagonaler delar den i en punkt $ABCD$ $ABC,BCD,CDA,DAB$ - vid Poncelet-punkten . [9]
Det finns ett välkänt teorem: Om diagonalerna är vinkelräta i en konvex fyrhörning, så ligger åtta punkter på en cirkel ( cirkeln med åtta punkter på fyrhörningen ): sidornas mittpunkter och projektionerna av sidornas mittpunkter på motsatta sidor [10] .

Den niopunktscirkeln är ett specialfall av den niopunktiga koniska . Om punkten P är ortocentrum för triangeln ABC , så blir den niopunktiga koniken i den kompletta fyrhörningen PABC den niopunktscirkeln .

16 Feuerbach-cirklar berörda av en 9-punktscirkel. Figuren till höger visar i grönt de 16 kända Feuerbach-cirklarna som rör den 9-punktscirkel som visas i rött (triangeln i sig visas i svart)

Se även (artiklar som nämner cirkeln med nio punkter )

Anteckningar

↑ Dekov. Niopunktscentrum// Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry.— 2007.// http://eg-journal.comli.com/2007/JCGEG200721.pdf (inte tillgänglig länk)
↑ 1 2 Tony Crilly. Matematiska idéer du verkligen behöver veta . — Phantom Press. — 209 sid. — ISBN 9785864716700 . Arkiverad 18 juni 2016 på Wayback Machine
↑ D. P., Mavlo (2004), Vackra egenskaper hos anmärkningsvärda kroppar, Mathematics in Schools (Ukraina) (nr nr 3): 265–269
↑ 1 2 Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriska egenskaper hos kurvor av andra ordningen. - 2:a uppl., kompletterad .. - M . : MTSNMO , 2011. - 148 sid. - ISBN 978-5-94057-732-4 .
↑ Ortopolen (21 januari 2017). Hämtad 22 juni 2020. Arkiverad från originalet 22 juni 2020. (obestämd)
↑ College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln. Nathan Altshiller-Court. (Stycke: G. The Orthopole. Item. 699. Theorem. Fig. 156. P.290-291). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 sid.
↑ Fraivert, 2019 .
↑ Dmitrij Efremov . Ny triangelgeometri arkiverad 25 februari 2020 på Wayback Machine . - Odessa, 1902. - S. 16.
↑ Matematik i uppgifter. Samling av material från fältskolor i Moskva-laget för den allryska matematiska olympiaden / redigerad av A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov och A. V. Shapovalov. c. 118, uppgift 9
↑ Matematik i uppgifter. Samling av material från fältskolor i Moskva-laget för den allryska matematiska olympiaden / redigerad av A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov och A. V. Shapovalov. c. 118, uppgift 11

Litteratur

Sharygin I ., Yagubyants A. Niopunktscirkel och Eulers linje // Kvant. - 1981. - Nr 8 . - S. 34-37 . (ryska)
Dm. Efremov. Ny triangelgeometri 1902
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nya möten med geometri. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Library of the Mathematical Circle).
Ponarin Ya. P. Elementär geometri. I 2 volymer - M . : MTSNMO , 2004. - S. 48-50. — ISBN 5-94057-170-0 .
Feuerbach, Karl (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren German.
Mavlo D.P. Vackra egenskaper hos anmärkningsvärda kroppar//Matematik i skolan. nr 3, 2004. sid. 265-269.
Dekov. Niopunktscentrum // Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry. – 2007.
Fraivert David . Nya punkter som hör till niopunktscirkeln // The Mathematical Gazette. - 2019. - T. 103 , nr 557 . - S. 222-232 .

Länkar

Levande ritning