Feuerbachs teorem

Feuerbachs teorem  är ett resultat av en triangels geometri . Teoremet formulerades och bevisades av Carl Wilhelm Feuerbach 1822 .

Formulering

Cirkeln med nio punkter i en godtycklig triangel berör incirkeln och alla tre cirkelcirklarna i denna triangel.

Anteckningar

• Punkter med parvis tangens av en incirkel och tre cirklar med en cirkel av nio punkter kallas Feuerbach-punkter .
• Varje Feuerbach-punkt ligger vid tangentpunkten för ett par motsvarande cirklar på linjen som förbinder deras centra, på ett avstånd av motsvarande radier från deras centra.
• I en liksidig triangel berör inte cirkeln med nio punkter, utan sammanfaller med den inskrivna cirkeln.

• Tre beröringspunkter för de tre cirklarna i en triangel med sin niopunktscirkel bildar den så kallade Feuerbach-triangeln för denna triangel.

• Feuerbach-punkten F i Clark Kimberlings Encyclopedia of Triangle Centers identifieras som punkt (mitt) X(11).

Om bevis

Mer än 300 bevis för denna teorem har hittats, varav många använder inversion. En av dem (krånglig) tillhör Feuerbach själv. Det kortaste kända beviset använder Caseys omvända sats [1] .

Relaterade uttalanden

• En Feuerbach hyperbel  är en omskriven hyperbel som passerar genom ortocentret och mitten av den inskrivna cirkeln . Dess centrum ligger vid Feuerbach-punkten. Poder- och ceviancirklar av punkter på Feuerbach-hyperbolen passerar genom Feuerbach-punkten. I synnerhet passerar en cirkel genom Feuerbach pekar , ritad genom baserna av bisektrarna . [2] [3]

• Feuerbach-punkten F ligger på linjen som förbinder mitten av två cirklar: Eulercirkeln och den inskrivna cirkeln, som definierar den.
• Låt , och vara avstånden från Feuerbach punkt F till hörn av den mellersta triangeln (en triangel med hörn i mitten av sidorna av denna triangel). Sedan [4] .

• Detta påstående motsvarar det faktum att det största av de tre avstånden är lika med summan av de andra två. Det vill säga, en analog av egenskaperna hos Mavlos sats är inte för bågar, utan för segment.

En liknande relation finns också i avsnittet: " Pompejus sats ".

• Flera nya satser om Feuerbach-punkten F finns i F. Ivlev [5] .

Anteckningar

1. ↑ Casey, 1866 , sid. 411.
2. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriska egenskaper hos kurvor av andra ordningen. - 2:a uppl., tillägg. - 2011. - S. 105.
3. ↑ Dan Pedoe . Circles: A Mathematical View, Mathematical Association of America, Washington, DC, 1995.
4. ↑ Weisstein, Eric W. Feuerbach Point  på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
5. ↑ Ivlev F. Flera linjer som går genom Feuerbach-punkten / Matematisk utbildning, ser. 3, nr. 15, 2011, s. 219-228

Litteratur

• Dm. Efremov, Ny triangelgeometri . (1902)
• Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nya möten med geometri. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Library of the Mathematical Circle).
• Ponarin Ya. P. Elementär geometri. I 2 volymer - M . : MTSNMO , 2004. - S. 49-50. — ISBN 5-94057-170-0 .
• Feuerbach punkt. https://en.wikipedia.org/wiki/Feuerbach_point
• Feuerbach poäng (engelska). http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/feuer.html
• Thébault, Victor (1949), On the Feuerbach points , American Mathematical Monthly vol 56: 546–547 , DOI 10.2307/2305531 
• Emelyanov, Lev & Emelyanova, Tatiana (2001), En anteckning om Feuerbach-punkten, Forum Geometricorum vol . 1: 121–124 (elektronisk) 
• Suceavă, Bogdan & Yiu, Paul (2006), The Feuerbach point and Euler lines, Forum Geometricorum vol. 6: 191–197 
• Vonk, Jan (2009), The Feuerbach point and reflections of the Euler line, Forum Geometricorum vol 9: 47–55 
• Nguyen, Minh Ha & Nguyen, Pham Dat (2012), Syntetiska bevis för två satser relaterade till Feuerbach-punkten, Forum Geometricorum vol 12: 39–46 
• John Casey. Om ekvationerna och egenskaperna: (1) av systemet av cirklar som rör vid tre cirklar i ett plan; (2) av systemet av sfärer som rör vid fyra sfärer i rymden; (3) av systemet av cirklar som rör vid tre cirklar på en sfär; (4) av System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane // Proceedings of the Royal Irish Academy. - 1866. - Nr 9 . - S. 396-423 . — .