Feuerbach punkt

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 17 juni 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Feuerbachs punkt (Feuerbachs sats ) är tangenspunkten för den inskrivna cirkeln till cirkeln av nio punkter i triangeln . Feuerbach-punkten är en tangent för en triangel, vilket innebär att dess definition inte beror på triangelns placering och storlek. Punkten ingår med koden X(11) i Clark Kimberlings Encyclopedia of Triangle Centers och uppkallad efter Karl Wilhelm Feuerbach [1] [2] .

Feuerbachs teorem säger att cirkeln med nio punkter berör de tre excirklarna i en triangel, liksom dess inskrivna cirkel [3] . Utgiven av Feuerbach 1822 [4] . Ett mycket kort bevis på denna sats är baserat på Caseys sats om yttre tangenter till fyra cirklar som inte skär varandra och berör den femte cirkeln, är inuti den [5] . Feuerbachs teorem användes också som ett testfall för automatiskt bevis [6] . De tre tangenspunkterna i cirklarna bildar den så kallade Feuerbach -triangeln i den givna triangeln.

Byggnad

Den inskrivna cirkeln av triangeln ABC är cirkeln som tangerar alla tre sidorna av triangeln. Dess centrum är skärningspunkten för triangelns tre bisektrar .

Cirkeln med nio punkter är definierad för en triangel och kallas så eftersom den passerar genom nio anmärkningsvärda punkter i triangeln, bland vilka mittpunkterna på triangelns sidor är de enklaste när det gäller konstruktion. En cirkel med nio punkter passerar genom dessa tre mittpunkter på sidorna. Det är alltså den omskrivna cirkeln av mediantriangeln .

Dessa två cirklar möts vid samma punkt där de rör vid varandra. Denna tangentpunkt är Feuerbach-punkten i triangeln .

Förutom den inskrivna cirkeln i triangeln är tre andra excirklar associerade med den . Dessa är cirklar som rör de tre förlängningarna av triangelns sidor. Varje cirkel är tangent till en sida av triangeln på utsidan och två förlängningar av de andra sidorna. Precis som den inskrivna cirkeln tangerar excirklarna till niopunktscirkeln. Deras kontaktpunkter med cirkeln med nio punkter bildar Feuerbach-triangeln.

Egenskaper

Feuerbach-punkten ligger på en rät linje som går genom mitten av cirklarna som definierar denna punkt . Dessa centra är mitten av den inskrivna cirkeln och mitten av cirkeln av triangelns nio punkter [1] [2] .

Låt , och vara tre avstånd från Feuerbach-punkten till hörnen i den mellersta triangeln (mittpunkterna på sidorna BC=a, CA=b och AB=c i den ursprungliga triangeln). Sedan: [7] [8]

eller på motsvarande sätt är det största av de tre avstånden lika med summan av de andra två.

I synnerhet har vi

där O är triangelns omringade mittpunkt och I är dess incirkelcentrum [9] .

Den sista egenskapen gäller också för tangentpunkterna för alla cirkelcirklar med en niopunktscirkel: det största avståndet från denna tangentpunkt till mittpunkten på sidan av den ursprungliga triangeln är lika med summan av avstånden till de andra två mittpunkterna av sidorna [8] .

Om en cirkel inskriven i triangeln ABC berör sidorna BC, CA, AB vid punkterna X , Y respektive Z , och mittpunkterna på dessa sidor är punkterna P , Q och R , så är trianglarna FPX , FQY och FRZ med Feuerbach-punkten F lika till trianglar AOI, BOI , COI respektive [10] .

Av Feuerbach-satsen följer att Feuerbach-punkten ligger på cirklar omskrivna om:

  1. mittpunkterna på triangelns sidor;
  2. höjder;
  3. tangenspunkter i den inskrivna cirkeln, men det följer också av Emelyanov-satsen att denna punkt ligger på;
  4. en cirkel som beskrivs nära baserna på bisektrarna;
  5. den omskrivna cirkeln om cirklarnas kontaktpunkter med triangelns sidor [11] .

Feuerbach punkt och Simson linjer

Feuerbach-punkt för en given inskriven eller excirkel (tretangent cirkel från engelska. En tritangent cirkel ) är skärningspunkten för 2 Simson-linjer , byggda för ändarna av diametern på den omslutna cirkeln som passerar genom motsvarande centrum av den inskrivna eller cirkeln. Således kan Feuerbach-punkten konstrueras utan att använda motsvarande incirkel eller excirkel och Eulercirkeln som tangerar den [12] .

Feuerbach pekar som ortopoler

I engelsk litteratur kallas 4 centra av 4 cirklar: 1 inskriven respektive 3 cirklar med centra , som rör respektive 3 olika sidor av triangeln eller deras förlängningar, 4 tritangent centers of the triangle (eng. the tritangent centers ) [13] .

Denna anmärkning är viktig för följande påstående: " Feuerbachpunkterna i en triangel är ortopoler i en given triangel, om diametrarna för den omskrivna cirkeln som passerar genom motsvarande tretangenscentrum tas som linjer ℓ för dessa ortopoler " [14] .

Koordinater

De trilinjära koordinaterna för Feuerbach-punkten är: [2]

Dess barycentriska koordinater är: [8]

där s är triangelns halvperimeter ( a+b+c)/2.

Tre linjer från toppen av den ursprungliga triangeln genom motsvarande hörn i Feuerbach-triangeln skär varandra vid en annan anmärkningsvärd punkt i triangeln, listad under siffran X(12) i Encyclopedia of Remarkable Points of a Triangle.

Dess trilinjära koordinater är [2] :

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 Kimberling, 1994 , sid. 163–187.
  2. ↑ 1 2 3 4 Encyclopedia of Remarkable Points of a Triangle Arkiverad 19 april 2012. , tillgänglig 2014-10-24.
  3. ↑ Scheer, 2011 , sid. 205–210.
  4. ↑ Feuerbach, Buzengeiger, 1822 .
  5. ↑ Casey, 1866 , sid. 396–423.
  6. ↑ Chou, 1988 , sid. 237–267.
  7. ↑ Eric Weisstein Feuerbach Point
  8. ↑ 1 2 3 Kiss, 2016 , sid. 283–290.
  9. ↑ Kiss, 2016 , sid. 283-290 Förslag. 3.
  10. ↑ Kiss, 2016 , sid. 283-290 Förslag. fyra.
  11. ↑ Emelyanovs, 2002 , sid. 78.
  12. ↑ College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Anmärkning. P.273
  13. ↑ College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §b. Tritangentcentra. s. 73-78
  14. ↑ College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §698. naturlig följd. P.290

Litteratur

Läsning för vidare läsning