Simsons raka linje

Simsons linje är en rät linje som går genom vinkelräternas baser till sidorna av en triangel från en punkt på dess omskrivna cirkel. Dess existens bygger på Simsons teorem .

Simsons teorem

Perpendikulernas baser faller från en godtycklig punkt i triangelns omskrivna cirkel till dess sidor eller deras förlängningar ligger på samma räta linje. Denna linje kallas Simsons linje [1] . $P$ $ABC$

Det omvända påståendet är också sant: om perpendikulernas baser, tappade från en punkt till triangelns sidor eller deras förlängningar, ligger på samma räta linje, så ligger punkten på triangelns omskrivna cirkel. $P$ $ABC$ $P$

Historik

Upptäckten av denna linje tillskrevs länge Robert Simson (1687-1768), men i verkligheten upptäcktes den först 1797 av den skotske matematikern William Wallace . Därför, tillsammans med det traditionella namnet på denna raka linje, används ofta det historiskt mer rättvisa namnet: "Wallaces raka linje" . [2]

Egenskaper

Låta vara ortocentrum av triangeln . Sedan halverar Simson-linjen för en godtycklig punkt på den omskrivna cirkeln i triangeln segmentet i en punkt som ligger på cirkeln med nio punkter . $H$ $ABC$ $P$ $ABC$ $PH$

Om P och Q är punkter på den omskrivna cirkeln, så är vinkeln mellan Simson-linjerna för punkterna P och Q lika med halva vinkeln för bågen PQ .
- I synnerhet, om 2 punkter på den omskrivna cirkeln är diametralt motsatta, är deras Simson-linjer vinkelräta, i vilket fall skärningspunkten för 2 vinkelräta Simson-linjer också ligger på niopunktscirkeln . I det här fallet kommer de andra skärningspunkterna för 2 vinkelräta linjer av Simson med en cirkel på nio punkter att vara ändarna av diametern på den sista cirkeln.

För två givna trianglar med samma omskrivna cirkel är vinkeln mellan Simsons linjer i punkt P på cirkeln för båda trianglarna oberoende av P .

Simsons linje och Morleys triangel

Det finns exakt tre punkter på triangelns circumcircle så att deras Simson-linje är tangent till triangelns Eulercirkel , och dessa punkter bildar en regelbunden triangel . Sidorna i denna triangel är parallella med sidorna av Morleys triangel . $ABC$ $ABC$

Simsons linje och Steiners linje

Punkter som är symmetriska med punkt P på den omskrivna cirkeln med avseende på triangelns sidor ligger på samma räta linje som går genom ortocentrum. Denna linje ( Steinerlinjen ) är parallell med Simsonlinjen och går in i den under homoteti med koefficient 1/2

Simsons linje och Feuerbachs punkt

Feuerbach-punkten , d.v.s. tangenspunkten för incirkeln eller cirkeln med cirkeln av nio punkter, är skärningspunkten för två Simson-linjer konstruerade för ändarna av diametern på den omslutna cirkeln som passerar genom motsvarande centrum av den inskrivna eller cirkeln. [3] .
- Speciellt kan Feuerbach-punkterna konstrueras utan att använda motsvarande incirkel eller excirkel och Euler-cirkeln som tangerar den .

Simsons linje och deltoid

Enveloppen för Simson-familjen av linjer i en given triangel är en deltoid - den så kallade Steiner - deltoiden .
- Jacob Steiner upptäckte deltoiden som en partiell hypocykloid , som beskrivs av en godtycklig fast punkt i en cirkel som rullar utan glid inuti en cirkel som är 3 gånger större i diameter. Och det faktum att uppsättningen av alla möjliga Simson-linjer som kan ritas för en given triangel har ett hölje i form av en deltoid upptäcktes för cirka 100 år sedan och inte alls av Steiner [4] .

Simsons linje och ortopol

Om ortopolen ligger på Simson-linjen, är dess linje ℓ vinkelrät mot den [5] .
Om ortopolens linje ℓ skär triangelns omringade cirkel i två punkter P och Q , så ligger ortopolen i skärningspunkten mellan de två Simson-linjerna i de två sista punkterna P och Q. [6]
Om ortopolens linje ℓ är Simsonlinjen för punkten P , så kallas punkten P Simsonlinjens pol ℓ [5]

Simsons räta linjeekvation

Placera triangeln på det komplexa planet, anta att triangeln ABC är inskriven i enhetscirkeln och har hörn vars komplexa koordinater är a , b , c , och låt P med komplex koordinat p vara en punkt på cirkeln. Då beskrivs Simson-linjen med följande ekvation på z : [7] $2abc{\bar {z}}-2pz+p^{2}+(a+b+c)p-(bc+ca+ab)-{\frac {abc}{p}}=0,$

där överstrecket indikerar komplex konjugation .

Variationer och generaliseringar

Ingen konvex polygon med minst 5 sidor har en Simson-linje. [åtta]
Om räta linjer dras från en given punkt i den omskrivna cirkeln i en triangel i en given orienterad vinkel mot sidorna, kommer de tre skärningspunkterna som erhålls att ligga på en rät linje. $P$ $ABC$
Simsons linje kan definieras för vilken som helst inskriven -gon genom induktion enligt följande: Simsons linje för en punkt med avseende på en given -gon är den räta linjen som innehåller projektionerna av punkten på Simsons linjer av alla -goner som erhålls genom att ta bort en vertex av -gonen . $n$ $P$ $n$ $P$ $(n-1)$ $n$
Laxens teorem
Podertriangel - en triangel vars hörn är baserna för perpendikulära punkter som tappas från en punkt till triangelns sidor; i det fall då punkten ligger på den omskrivna cirkeln, degenererar den subdermala triangeln och dess hörn ligger på Simson-linjen.

Låt ABC vara en triangel och låt linjen ℓ (grön i figuren) passera genom centrum X 3 av den omskrivna cirkeln, och låt punkten P ligga på cirkeln. Låt AP, BP, CP skära linjen ℓ vid punkterna Ap , B p , Cp . Låt A 0 , B 0 , C 0 vara projektionerna av punkterna Ap , B p , Cp respektive på linjerna BC, CA, AB . Då är 3 punkter A 0 , B 0 , C 0 kolinjära punkter , det vill säga de ligger på en rak linje. Dessutom passerar linjen som passerar genom dem samtidigt genom mittpunkten av segmentet PH , där H är ortocentrum av triangeln ABC . Om ℓ passerar genom P , kommer linjen att sammanfalla med Simsons linje. [9] [10] [11]

Exempel

Simsonlinjen för Steinerpunkten i triangeln är parallell med linjen , och Simsonlinjen i Tarry-punkten är vinkelrät mot linjen , där är centrum för den omskrivna cirkeln och är skärningspunkten för tre simedianer ( Lemoine-punkten ) av triangeln . $ABC$ $OK$ $OK$ $O$ $K$ $ABC$

Anteckningar

↑ Coxeter G. S. M., Greitzer S. P. Nya möten med geometri. - M .: Nauka, 1978. - T. 14. - (Den matematiska cirkelns bibliotek).
↑ Gibson History 7 - Robert Simson (30 januari 2008). Hämtad 2 oktober 2019. Arkiverad från originalet 9 oktober 2016. (obestämd)
↑ College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Anmärkning. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v= onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arkiverad 30 juni 2020 på Wayback Machine
↑ Savelov, 1960 .
↑ 1 2 Ortopolen (21 januari 2017). Hämtad 22 juni 2020. Arkiverad från originalet 22 juni 2020. (obestämd)
↑ College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln. Nathan Altshiller-Court. (Stycke: G. The Orthopole. Item. 697. Theorem. Fig. 155. P.289-290). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 sid.
↑ Todor Zaharinov, "Simsontriangeln och dess egenskaper", Forum Geometricorum 17 (2017), 373-381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf Arkiverad 7 oktober 2020 på Wayback Machine
↑ Tsukerman, Emmanuel. Om polygoner som tillåter en Simson-linje som diskreta analoger av paraboler // Forum Geometricorum : journal. - 2013. - Vol. 13 . - S. 197-208 .
↑ En generalisering av Simson Line . Klipp knuten (april 2015). Hämtad 2 oktober 2019. Arkiverad från originalet 28 augusti 2019. (obestämd)
↑ Nguyen Van Linh (2016), Ytterligare ett syntetiskt bevis på Daos generalisering av Simsons linjesats , Forum Geometricorum vol 16:57–61 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201608.pdf > Arkiverad från december 22, 2018 på Wayback Machine
↑ Nguyen Le Phuoc och Nguyen Chuong Chi (2016). 100.24 Ett syntetiskt bevis på Daos generalisering av Simsons linjesats. The Mathematical Gazette, 100, s. 341-345. doi:10.1017/mag.2016.77. Arkiverad 19 augusti 2016 på Wayback Machine The Mathematical Gazette

Litteratur

Savelov A. A. Plana kurvor. Systematik, egenskaper, tillämpningar (Referensguide) / Ed. A.P. Norden. - M . : Fizmatlit, 1960.
V. Berezin. Deltoid // Kvant . - 1977. - Nr 3 . - S. 19 . (ryska)
EH Lockwood. Kapitel 8: Deltoiden // A Book of Curves (neopr.) . — Cambridge University Press , 1961.
College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p . doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false.— P. 140-149 , 158, 165, 252, 273, 284, 288, 289

Länkar

Simson Line på cut-the-knot.org
FM Jackson och Weisstein, Eric W. Simson Line (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .
En generalisering av Neubergs teorem och Simson-Wallace-linjen vid Dynamic Geometry Sketches , en interaktiv dynamisk geometriskiss.

Triangel
Typer av trianglar	Rektangulär Likbent Liksidig Likbent rektangulär
Underbara linjer i en triangel	Median Höjd Bisektris Mittvinkelrät mittlinje Omskrivna och inskrivna cirklar Simsons raka linje Euler linje Simediana Cheviana
Anmärkningsvärda punkter i triangeln	Ortocenter Centroid I mitten Brocard punkt Vecten punkt Peka Gergonne Lemoine punkt Miquel pekar Nagel poäng Napoleon pekar Torricellis punkter Niopunkts cirkelcentrum Spieker Center Encyclopedia of Triangle Centers
Grundläggande satser	triangelojämlikhet Tecken på likhet av trianglar Lösa trianglar Triangelns yttre vinkelsats Triangelsummans sats Pythagoras sats Cosinussats Sinussats Projektionssatsen Herons formel
Ytterligare satser	Van Obels teorem Menelaos sats Reuschles (Terkema) sats Stewarts teorem Tangentsats Cotangenssats Cevas sats Mollweide formler
Generaliseringar	sfärisk triangel hyperbolisk triangel Simplex