Triangelsummans sats

Triangelsummesatsen är en klassisk  sats inom euklidisk geometri .

Formulering

Summan av vinklarna för en triangel i det euklidiska planet är 180 ° . [ett]

Bevis

Låta vara  en godtycklig triangel. Dra en linje genom vertex B parallellt med linjen AC . Markera en punkt D på den så att punkterna A och D ligger på motsatta sidor av linjen BC . Vinklarna DBC och ACB är lika med inre korsvis, bildade av sekanten BC med parallella linjer AC och BD . Därför är summan av triangelns vinklar vid hörnen B och C lika med vinkeln ABD . Summan av alla tre vinklarna i en triangel är lika med summan av vinklarna ABD och BAC . Eftersom dessa vinklar är inre ensidiga för parallella AC och BD vid sekant AB , är deras summa 180°. Q.E.D.

Konsekvenser

• En triangel kan inte ha två trubbiga eller två räta vinklar, för då skulle summan av vinklarna vara större än 180°. Av samma anledning kan en triangel inte innehålla en trubbig och en rät vinkel samtidigt.
• Varje triangel har minst två spetsiga vinklar. Faktum är att fallet när triangeln bara har en spetsig vinkel eller inga spetsiga vinklar alls motsäger den tidigare följden.
• I en rätvinklig triangel är båda vinklarna vid hypotenusan spetsiga.
• I en likbent triangel är vinklarna vid basen lika, så endast vinkeln mittemot basen kan vara trubbig.
• I en likbent rätvinklig triangel är vinklarna vid hypotenusan (180° - 90°) / 2 = 45°.
• I en liksidig triangel sammanfaller alla tre vinklarna och är därför lika med 180° / 3 = 60°.
• ( Triangle exterior angle theorem ) En triangels yttre vinkel är lika med summan av två inre vinklar som inte gränsar till den [2] .

Variationer och generaliseringar

Polygoner

Generalisering för förenklingar

Det finns ett mer komplext samband mellan de tvåsidiga vinklarna i en godtycklig simplex . Nämligen, om  är vinkeln mellan i- och j-ytorna på simplexet, så är determinanten för nästa matris (som är en cirkulant ) lika med 0:

Detta följer av det faktum att denna determinant är gramdeterminanten för normalerna till simplexens ytor, medan gramdeterminanten för linjärt beroende vektorer är 0, och vektorer i det dimensionella rummet alltid är linjärt beroende.

I icke-euklidiska geometrier

Beviset som ges i denna artikel bygger på en viss egenskap hos parallella linjer, nämligen påståendet att de inre tvärliggande vinklarna för parallella linjer är lika. Beviset för detta påstående använder i sin tur parallellismens axiom för den euklidiska geometrin. Det kan visas att varje bevis för satsen om vinklarna i en triangel kommer att använda parallellismens axiom, och vice versa - från påståendet att vinklarna i en triangel är 180°, kan man härleda axiomet av parallellism om de återstående axiomen för klassisk geometri ( absolut geometri ) ges [3] .

Sålunda är likheten mellan summan av vinklarna i en triangel 180° ett av huvuddragen i euklidisk geometri, som skiljer den från icke-euklidiska, där parallellismens axiom inte är uppfylld:

• På en sfär överstiger summan av vinklarna i en triangel alltid 180°, skillnaden kallas det sfäriska överskottet och är proportionell mot arean av triangeln. En sfärisk triangel kan ha två eller till och med tre räta eller trubbiga vinklar.

• I Lobatsjovskij-geometrin är summan av vinklarna i en triangel alltid mindre än 180° och kan vara godtyckligt liten. Skillnaden är också proportionell mot arean av triangeln.

Anteckningar

1. ↑ Geometri enligt Kiselev Arkiverad 1 mars 2021 på Wayback Machine , § 81.
2. ↑ Elementär matematik, 1976 , sid. 421.
3. ↑ Lelon-Ferrand J. Grunder för geometri. - M .: Mir, 1989. - S. 255-256. - 312 sid. — ISBN 5-03-001008-4 .

Litteratur

• Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementär matematik. Upprepa kursen. – Tredje upplagan, stereotypt. — M .: Nauka, 1976. — 591 sid.