Gram determinant

Gram- determinanten ( Gramian ) för ett system av vektorer i det euklidiska rymden är determinanten för Gram-matrisen för detta system: $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$

\begin{vmatrix} \langle e_1,\;e_1\rangle & \langle e_1,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_1,\;e_n\rangle \\ \langle e_2,\;e_1\rangle & \ langle e_2,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_2,\;e_n\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle e_n,\;e_1\rangle & \langle e_n, \;e_2\rangle & \ldots & \langle e_n,\;e_n\rangle \\ \end{vmatrix},

var är den skalära produkten av vektorer och . $\langle e_i,\;e_j\rangle$ $\mathbf{e}_i$ $\mathbf{e}_j$

Gram-matrisen uppstår från följande linjära algebraproblem:

Låt systemet av vektorer i det euklidiska rummet generera ett delrum . Att veta vad de skalära produkterna av vektorn från med var och en av dessa vektorer är, hitta koefficienterna för expansionen av vektorn med vektorer . $V$ $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$ $U$ $\mathbf {x}$ $U$ $x$ $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$

Baserat på nedbrytningen

\mathbf{x}=x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2+\ldots+x_n\mathbf{e}_n,

ett linjärt ekvationssystem med en grammatris erhålls:

{\begin{cases}\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{1} ,\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n }=\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {x} \rangle ;\\\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{1}\ rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{2} ,\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {x} \rangle ;\\\quad \ldots \quad \ ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \\\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf { e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {x} \rangle .\\ \end{cases}}

Detta problem är unikt lösbart om och endast om vektorerna är linjärt oberoende. Därför är försvinnandet av Gram-determinanten för ett system av vektorer ett kriterium för deras linjära beroende. $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$

Geometrisk betydelse för Grams determinant

Den geometriska betydelsen av Gram-determinanten avslöjas när man löser följande problem:

Låt systemet av vektorer i det euklidiska rummet generera ett delrum . Genom att känna till skalärprodukterna av vektorn från med var och en av dessa vektorer, hitta avståndet från till . $V$ $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$ $U$ $\mathbf {x}$ $V$ $\mathbf {x}$ $U$

Minsta avstånd över alla vektorer från uppnås på den ortogonala projektionen av vektorn på . I detta fall , där vektorn är vinkelrät mot alla vektorer från , och avståndet från till är lika med vektorns modul . För en vektor löses problemet med expansion (se ovan) i termer av vektorer , och lösningen av det resulterande systemet skrivs ut enligt Cramers regel : $|\mathbf{x}-\mathbf{u}|$ $\mathbf {u}$ $U$ $\mathbf {x}$ $U$ $\mathbf{x}=\mathbf{u}+\mathbf{n}$ $\mathbf {n}$ $U$ $\mathbf {x}$ $U$ $\mathbf {n}$ $\mathbf {u}$ $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$

\mathbf{u}=-\frac{1}{\Gamma}\begin{vmatrix} \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_1, \;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{x} \rangle \\ \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\ mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle \mathbf{e}_2,\;\mathbf{x}\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ ldots \\ \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf {e}_n,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x}\rangle \\ \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \ldots & \mathbf{e}_n & \mathbf{0} \end{vmatrix},

var är Gram-determinanten för systemet. Vektorn är: $\Gamma$ $\mathbf {n}$

\mathbf{n}=\mathbf{x}-\mathbf{u}=\frac{1}{\Gamma}\begin{vmatrix} \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_1\ rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{ e}_1,\;\mathbf{x}\rangle \\ \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e }_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{x}\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e} _2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x}\rangle \\ \mathbf{ e}_1 & \mathbf{e}_2 & \ldots & \mathbf{e}_n & \mathbf{x} \end{vmatrix}

och kvadraten på dess modul är

|\mathbf{n}|^2=\langle\mathbf{n},\;\mathbf{x}\rangle=\frac{\Gamma(\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2, \;\ldots,\;\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x})}{\Gamma(\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\; \mathbf{e}_n)}.

Från denna formel, genom induktion på , får vi följande påstående: $n$

Gram-determinanten för ett system av vektorer är lika med kvadraten på volymen av den dimensionella parallellepipeden som sträcks av dessa vektorer. Detta visar att i fallet med ett tredimensionellt utrymme är Gram-determinanten för tre vektorer lika med kvadraten på deras blandade produkt . $n$ $n$

Se även

Gram-Schmidt-processen