Herons formel

Herons formel - en formel för att beräkna arean av en triangel från längderna på dess sidor : $S$ $a,b,c$

S={\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))

var är triangelns halvperimeter : . $sid$ $p={\tfrac {1}{2}}\cdot (a+b+c)$

Formeln finns i "Metric" av Heron av Alexandria (1:a århundradet e.Kr.) och är uppkallad efter honom (även om den också var känd för Archimedes ). Heron var intresserad av trianglar med heltalssidor, vars områden också är heltal, sådana trianglar kallas Heronian , den enklaste Heronian triangeln är den egyptiska triangeln .

Bevis 1 (trigonometrisk):

S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }

var är vinkeln på triangeln mittemot sidan . Enligt cosinuslagen : $\ \gamma$ $c$

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,

Härifrån:

\cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},

Betyder att,

\ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=

={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \över 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2} } \över 2ab}=

={{c^{2}-(ab)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+ab)(a+bc)(a+b+c)

När vi märker att , , , , får vi: $a+b+c=2p$ $a+bc=2p-2c$ $a+cb=2p-2b$ $c-a+b=2p-2a$

\sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(pa)(pb)(st))).

På det här sättet,

S={1 \över 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(pa)(pb)(pc))),

h.t.d.

Bevis 2 (baserat på Pythagoras sats):

Enligt Pythagoras sats har vi följande likheter för hypotenuserna: a 2 \ u003d h 2 + ( c − d ) 2 och b 2 \ u003d h 2 + d 2 - se figuren till höger. Subtraherar vi den andra likheten från den första får vi a 2 − b 2 = c 2 − 2 cd . Denna ekvation låter oss uttrycka d i termer av triangelns sidor:

d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}

För höjden h hade vi likheten h 2 = b 2 − d 2 , där vi kan ersätta det resulterande uttrycket med d och tillämpa formlerna för kvadrater :

{\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c }}\right)^{2}={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}- c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {((b+c)^{2}-a^{2})(a^{2}-(bc) ^{2})}{4c^{2))}={\frac {(b+ca)(b+c+a)(a+bc)(a-b+c)}{4c^{2} }}\\\end{aligned}}

När vi märker att , , , , får vi: $b+ca=2p-2a$ $a+b+c=2p$ $a+bc=2p-2c$ $a-b+c=2p-2b$

{\begin{aligned}h^{2}&={\frac {2(pa)\cdot 2p\cdot 2(pc)\cdot 2(pb)}{4c^{2))}={ \frac {4p(pa)(pb)(pc)}{c^{2}}}\end{aligned}}

Genom att använda den grundläggande likheten för arean av en triangel och ersätta det resulterande uttrycket för h i den, har vi slutligen: $S={\frac {ch}{2))$

{\begin{aligned}S={\sqrt ({\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4p(pa)(pb)(pc)}{c^{ 2}}}}}={\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))\end{aligned}}

h.t.d.

Variationer och generaliseringar

Genom att uttrycka semiperimetern i termer av halvsumman av alla sidor i en given triangel kan vi få tre ekvivalenta Heron-formler: $S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^ {4}+c^{4})}}$ $S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2} )-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$ $S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+bc)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c))).$ $S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^ {2}}}.$

Herons formel kan skrivas med hjälp av determinanten i formen [1] : $-16S^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1 \\1&1&1&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b&c&0\\b&a&0&c\\c&0&a&b\\0&c&b&a\end{vmatrix}}$

Den första determinanten av den sista formeln är ett specialfall av Cayley-Menger-determinanten för att beräkna hypervolymen av en simplex .

Ett antal formler för arean av en triangel liknar strukturen Herons formel, men uttrycks i termer av andra parametrar i triangeln. Till exempel, genom längden på medianerna och och deras halvsumma [2] : $m_{a}$ $m_{b}$ $m_{c}$ $\sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2$ $S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c)))) )$ ;

genom längderna av höjderna och halvsumman av deras ömsesidiga [3] :

ha}

h_{b}

h_{c}

H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2

S^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1 })}}

; genom triangelns vinklar , och halvsumman av deras sinus och diametern på den omskrivna cirkeln [4] :

\alfa

\beta

\gamma

s=(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma )/2

D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}

S=D^{2}{\sqrt {s(s-\sin \alpha )(s-\sin \beta )(s-\sin \gamma ))).

Arean av en fyrhörning inskriven i en cirkel beräknas med hjälp av Brahmagupta-formeln : $S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)}}$ ,

där är halvperimetern av fyrhörningen; i det här fallet visar sig triangeln vara begränsningsfallet för en inskriven fyrhörning när längden på en av sidorna tenderar mot noll. Samma Brahmagupta-formel genom determinanten [5] :

p={\frac {a+b+c+d}{2}}

S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix))))

För tetraedrar är Heron-Tartaglia-formeln korrekt , som också är generaliserad till fallet med andra polyedrar ( flexibla polyedrar ): om tetraedern har lika kantlängder , är följande uttryck sant för dess volym : $l_{1},l_{2},l_{3},l_{4},l_{5},l_{6}$ $V$ ${\begin{aligned}144V^{2}=\;\;&l_{1}^{2}l_{5}^{2}(l_{2}^{2}+l_{3}^ {2}+l_{4}^{2}+l_{6}^{2}-l_{1}^{2}-l_{5}^{2})\\+&l_{2}^{2 }l_{6}^{2}(l_{1}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{5}^{2}-l_{2} ^{2}-l_{6}^{2})\\+&l_{3}^{2}l_{4}^{2}(l_{1}^{2}+l_{2}^{2 }+l_{5}^{2}+l_{6}^{2}-l_{3}^{2}-l_{4}^{2})\\-&l_{1}^{2}l_ {2}^{2}l_{4}^{2}-l_{2}^{2}l_{3}^{2}l_{5}^{2}-l_{1}^{2}l_ {3}^{2}l_{6}^{2}-l_{4}^{2}l_{5}^{2}l_{6}^{2}\end{aligned}}$ .

Heron-Tartaglia-formeln kan uttryckligen skrivas för tetraedern: om , , , , , är längden på kanterna på tetraedern (de tre första av dem bildar en triangel; och till exempel är kanten motsatt kanten , och så vidare), sedan formlerna [6] [ 7] : $U$ $V$ $W$ $u$ $v$ $w$ $u$ $U$ ${\text{V}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+ d) )\,(a+b+cd)}}{192\,u\,v\,w}}$

var:

{\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz} }\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+ w )\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v ) \\z&=(W-u+v)\,(u-v+W)\end{aligned}}

Enligt Luilliers teorem uttrycks arean av en sfärisk triangel i termer av dess sidor som: $\theta _{a}={\frac {a}{R)),\theta _{b}={\frac {b}{R)),\theta _{c}={\frac {c}{ R}}$ $S=4R^{2}\,\operatörsnamn {arctg} {\sqrt {\operatörsnamn {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatörsnamn {tg} \ vänster({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatörsnamn {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{ b}}{2}}\right)\operatörsnamn {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)))$ ,

var är semiperimetern.

\theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}

Anteckningar

↑ Weisstein, Eric W. Herons formel. Arkiverad 5 september 2015 på Wayback Machine From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
↑ Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle, Mathematical Gazette" 87, juli 2003, 324-326.
↑ Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," Mathematical Gazette 89, november 2005, 494.
↑ Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in termer av sines," Mathematical Gazette 93, mars 2009, 108-109.
↑ Starikov V.N. Anteckningar om geometri // Vetenskaplig sökning: humanitära och socioekonomiska vetenskaper: en samling vetenskapliga artiklar. Nummer 1 / kap. utg. Romanova I.V. Cheboksary: TsDIP "INet", 2014. S. 37-39
↑ W. Kahan, "Vad har volymen av en tetraeder att göra med datorprogrammeringsspråk?", [1] Arkiverad 27 juni 2013 på Wayback Machine , s. 16-17.
↑ Markelov S. Formel för volymen av en tetraeder // Matematisk utbildning. Problem. 6. 2002. S. 132

Litteratur

§ 258 i A. P. Kiselev, Geometry enligt Kiselev , arΧiv : 1806.06942 [math.HO].
Nikolaev N. På området för en triangel // V.O.F.E.M. . - 1890. - N:o 108 . - S. 227-228 . (ryska)
Raifaizen, Claude H. Ett enklare bevis på Herons formel // Mathematics Magazine : magazine . - 1971. - Vol. 44 . - S. 27-28 . — bevis för Herons formel baserad på Pythagoras sats

Triangel
Typer av trianglar	Rektangulär Likbent Liksidig Likbent rektangulär
Underbara linjer i en triangel	Median Höjd Bisektris Mittvinkelrät mittlinje Omskrivna och inskrivna cirklar Simsons raka linje Euler linje Simediana Cheviana
Anmärkningsvärda punkter i triangeln	Ortocenter Centroid I mitten Brocard punkt Vecten punkt Peka Gergonne Lemoine punkt Miquel pekar Nagel poäng Napoleon pekar Torricellis punkter Niopunkts cirkelcentrum Spieker Center Encyclopedia of Triangle Centers
Grundläggande satser	triangelojämlikhet Tecken på likhet av trianglar Lösa trianglar Triangelns yttre vinkelsats Triangelsummans sats Pythagoras sats Cosinussats Sinussats Projektionssatsen Herons formel
Ytterligare satser	Van Obels teorem Menelaos sats Reuschles (Terkema) sats Stewarts teorem Tangentsats Cotangenssats Cevas sats Mollweide formler
Generaliseringar	sfärisk triangel hyperbolisk triangel Simplex

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor norsk Stor ryss