Brocard punkt

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 5 juni 2020; kontroller kräver 6 redigeringar .

Brocard punkt
Brokartpunkt i en triangel , konstruerad som skärningspunkten för tre cirklar $P$ $\triangel ABC$
barycentriska koordinater	${\frac {1}{a^{2}}}:{\frac {1}{b^{2}}}:{\frac {1}{c^{2}}}$
Trilinjära koordinater	${\frac {1}{a^{3}}}:{\frac {1}{b^{3}}}:{\frac {1}{c^{3}}}$
ECT -kod	X(76)
Förbundna prickar
isotomiskt konjugerad	Lemoine punkt

Brokars punkt är en av två punkter inuti en triangel som uppstår vid skärningspunkten mellan segment som förbinder triangelns hörn med motsvarande fria hörn av trianglar som liknar denna triangel och byggda på dess sidor. De anses vara anmärkningsvärda pekar i en triangel , med deras hjälp byggs många föremål av triangelgeometri (inklusive Brocard-cirkeln , Brocard- triangeln , Neuberg-cirkeln ).

Uppkallad efter den franske meteorologen och geometern Henri Brocard , som beskrev punkterna och deras konstruktion 1875 , men de var också kända tidigare, i synnerhet byggdes de i ett av den tyske matematikern och arkitekten August Crelles verk , publicerat i 1816 .

I Encyclopedia of Triangle Centers identifieras Brocards första punkt som . $X(39)$

Definition

I en triangel med sidor , , och mitt emot hörn , och , respektive, det finns bara en punkt så att linjesegment , och bildar samma vinkel med sidor , och , respektive: . Punkten kallas den första Brocard-punkten i triangeln , och vinkeln kallas Brocard- vinkeln för triangeln. $\triangel ABC$ $a$ $b$ $c$ $A$ $B$ $C$ $P$ $AP$ $BP$ $CP$ $\omega$ $c$ $a$ $b$ $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$ $P$ $\triangel ABC$ $\omega$

För Brocard-vinkeln gäller följande identitet: . För Brocard-vinkeln gäller följande Yiff-olikhet : , där är vinklarna för den obligatoriska triangeln [1] . $\omega$ $\mathrm {ctg} \,\omega =\mathrm {ctg} \,\angle BAC+\mathrm {ctg} \,\angle ABC+\mathrm {ctg} \,\angle ACB$ $\omega$ $8\omega ^{3}\leq \alpha \beta \gamma$ $\alpha =\angle BAC,\beta =\angle ABC,\gamma =\angle ACB$

Triangeln har också en andra Brocard punkt , så att linjen segment , och bildar samma vinkel med sidor , och respektive: . Den andra Brocard- punkten är isogonalt konjugerad med den första Brocard-punkten, det vill säga vinkeln är lika med vinkeln . $\triangel ABC$ $F$ $AQ$ $BQ$ $CQ$ $b$ $c$ $a$ $\angle QCB=\angle QBA=\angle QAC$ $\angle PBC=\angle PCA=\angle PAB$ $\angle QCB=\angle QBA=\angle QAC$

De två Brocard-punkterna är nära besläktade med varandra, skillnaden mellan dem är i den ordning som vinklarna i en triangel är numrerade, så till exempel den första Brocard-punkten i en triangel sammanfaller med den andra Brocard-punkten i en triangel . $\triangel ABC$ $\triangle ACB$

Byggnad

Den mest kända konstruktionen av Brocards punkter är i skärningspunkten mellan cirklar konstruerad enligt följande: för en cirkel dras genom punkterna och rör vid sidan (mitten av denna cirkel är vid den punkt som ligger i skärningspunkten mellan den vinkelräta bisektrisen mot sida med linjen som går genom och vinkelrät mot ); på ett liknande sätt konstrueras en cirkel genom punkterna och och rör vid sidan ; den tredje cirkeln är genom punkterna och och tangent till sidan . Dessa tre cirklar har en gemensam skärningspunkt, som är den första Brocard-punkten i triangeln . Den andra Brocard-punkten är konstruerad på ett liknande sätt - cirklar är konstruerade: genom och tangent till ; genom och , rörande ; genom och rörande . $\triangel ABC$ $A$ $B$ $före Kristus$ $AB$ $B$ $före Kristus$ $B$ $C$ $AC$ $A$ $C$ $AB$ $\triangel ABC$ $A$ $B$ $AC$ $B$ $C$ $AB$ $A$ $C$ $före Kristus$

Egenskaper

De homogena trilinjära koordinaterna för den första och andra Brocard-punkten är och . Således deras barycentriska koordinater, respektive [2] och $c/b:a/c:b/a$ $b/c:c/a:a/b$ $c^{2}a^{2}:a^{2}b^{2}:b^{2}c^{2}$ $a^{2}b^{2}:b^{2}c^{2}:c^{2}a^{2}.$

Brocard-punkterna ligger på Brocard-cirkeln - en cirkel diametralt konstruerad på ett segment som förbinder mitten av den omskrivna cirkeln med Lemoine-punkten . Den innehåller också hörn av de två första Brocard-trianglarna. Brocard-punkter är konjugerade isogonalt.

Brokars spets är en av två punkter inuti en triangel vars cevianer bildar lika stora vinklar med sina tre sidor mätta vid dess tre hörn.

Se även

Anteckningar

↑ Michiel Hazewinkel. Encyclopaedia of Mathematics, Supplement III . — Springer Science & Business Media, 2001-12-31. - S. 83. - 564 sid. — ISBN 9781402001987 .
↑ Scott, JA "Några exempel på användningen av areakoordinater i triangelgeometri", Mathematical Gazette 83, november 1999, 472-477.

Litteratur

S. I. Zetel . Ny triangelgeometri. - M . : Uchpedgiz, 1940. - S. 81-89. — 96 sid.
Akopyan, A.V. & Zaslavsky, A.A. (2007), Geometry of Conics , vol. 26, Mathematical World, American Mathematical Society , sid. 48–52, ISBN 978-0-8218-4323-9
Honsberger, Ross (1995), kapitel 10. The Brocard Points, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry , Washington, DC: The Mathematical Association of America
Prasolov V. V. Brocard-punkter och isogonal konjugation (Serie "Bibliotek "Mathematical Education""). M.: MTSNMO, 2000. 24 sid.
Yakovlev IV Material om matematik. Isogonal konjugation. S. 5-6// https://mathus.ru/math/isogonal.pdf