Isotomikonjugation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 3 oktober 2013; kontroller kräver 15 redigeringar .

Inom planimetri är isotomikonjugering en av omvandlingarna av planet som genereras av triangeln ABC som ges på planet .

Definition

Låt en triangel ges , där - sidans mittpunkt , - sidans mittpunkt och - sidans mittpunkt . Låt också en godtycklig punkt väljas på planet som inte ligger på linjerna som innehåller dess sidor. Tänk sedan på linjerna och . Låt dem skära linjerna som innehåller de motsatta sidorna av triangeln, respektive vid punkterna , och (om linjerna visar sig vara parallella anses skärningspunkten vara punkten i linjens oändlighet). Enligt Cevas sats , . Om nu punkterna , och reflekteras symmetriskt med avseende på , respektive , får vi punkterna , och (punkten i oändligheten övergår i sig själv). Sedan , Och samma för de andra paren av punkter, vi får och, enligt samma Ceva-sats , linjerna , och skär i en punkt . Denna punkt kallas den isotomiskt konjugerade punkten med avseende på triangeln . $ABC$ $A_0$ $före Kristus$ $B_{0}$ $AC$ $C_{0}$ $AB$ $P$ $AP$ $BP$ $CP$ $A_{1}$ $B_1$ $C_{1}$ $\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1$ $A_{1}$ $B_1$ $C_{1}$ $A_0$ $B_{0}$ $C_{0}$ $A_{2}$ $B_{2}$ $C_{2}$ $AC_1=BC_2$ $AC_2=BC_1$ $1=\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=\frac{BC_2}{C_2A}\cdot\frac{CA_2}{A_2B}\ cdot\frac{AB_2}{B_2C}$ $AA_2$ $BB_2$ $CC_{2}$ $P'$ $P$ $ABC$

Den isotomiska konjugationen upprättar en en-till-en-överensstämmelse mellan punkterna i planet med de uteslutna linjerna , och . På dessa linjer är korrespondensen inte en-till-en, eftersom vilken punkt som helst på linjen motsvarar en vertex (och vice versa, en vertex - vilken som helst punkt ), och så vidare. $AB$ $före Kristus$ $AC$ $före Kristus$ $A$ $A$ $före Kristus$

Koordinater

Om de barycentriska koordinaterna för en punkt är , då är de barycentriska koordinaterna för den isotomiskt konjugerade punkten . $P$ $(p:q:r)$ $P'$ $\left(\frac1{p}:\frac1{q}:\frac1{r}\right)$

Om de trilinjära koordinaterna för en punkt är , då är de trilinjära koordinaterna för punkten som är isotomiskt konjugerade till den . $P$ $(p:q:r)$ $P'$ $\left(\frac1{a^2p}:\frac1{b^2q}:\frac1{c^2r}\right)$

Annan definition

Om vi istället för en symmetrisk cevian tar en cevian vars bas är så långt från mitten av sidan som basen på den ursprungliga, kommer sådana cevianer också att skära varandra vid en punkt. Den resulterande transformationen kallas isotomisk konjugation . Den kartlägger också linjer till omskrivna koner . Under affina transformationer förvandlas isotomiskt konjugerade punkter till isotomiskt konjugerade punkter . Med isotomikonjugering kommer den beskrivna Steinerellipsen att gå till linjen i oändligheten .

Egenskaper

En isotomisk konjugation är en involution , det vill säga dess kvadrat är trivial.

De fasta punkterna (det vill säga passerar in i sig själva) för den isotomiska konjugationen är tyngdpunkten (andra namn: barycentrum eller masscentrum, det vill säga skärningspunkten för medianerna) i triangeln och punkter som är symmetriska till hörnen på triangeln med avseende på mittpunkterna på de motsatta sidorna. $ABC$
Gergonne- och Nagel - punkterna är isotomiskt konjugerade .
Lemoine- punkten (skärningspunkten för simedianerna) i en triangel är isotomiskt konjugerad till dess Brocard-punkt .
Skärningspunkten för bisektrarna ( i mitten ) är isotomiskt konjugerad till skärningspunkten för antibisektorerna ,
Linjer av allmän position med avseende på en triangel under isotomisk konjugation går in i koner som beskrivs runt den , och vice versa.

Isotomikonjugation

Definition

Koordinater

Annan definition

Egenskaper

Se även

Länkar