Ellips Steiner
Det finns en enda affin transformation som tar en vanlig triangel till en given triangel. Bilden av den inskrivna cirkeln av en regelbunden triangel under en sådan omvandling är en ellips , som kallas den Steiner-inskrivna ellipsen , och bilden av den omskrivna cirkeln är också en ellips, som kallas den Steiner-omskrivna ellipsen .
Definition av en inskriven Steiner-ellips
- Ett oändligt antal ellipser kan skrivas in i en triangel .
- En enda ellips kan dock skrivas in i en triangel som berör sidorna vid deras mittpunkter. En sådan ellips kallas en inskriven Steinerellips . Dess perspektiv kommer att vara triangelns tyngdpunkt [1] .
- För definitionen av perspektivet av en konisk (inklusive konisk-ellipsen), se nedan.
Definition av den omskrivna Steiner-ellipsen
- Ett oändligt antal ellipser kan omskrivas kring en triangel .
- En enda ellips kan dock beskrivas nära en triangel , som tangerar linjerna som passerar genom hörnen och parallellt med sidorna. En sådan ellips kallas en omskriven Steinerellips .
- Fokus för den beskrivna Steinerellipsen kallas Skutin-punkter .
- Cevians dragna genom brännpunkterna för den beskrivna Steinerellipsen ( Skutinpunkter ) är lika ( Skutins teorem ).
Affin transformation av Steiner-ellipsen
Om vi genom en affin transformation ("skev") översätter en godtycklig skalentriangel till en vanlig triangel , kommer dess inskrivna och omskrivna Steiner-ellipser att gå in i inskrivna och omskrivna cirklar .
Definition av perspektivet för en konisk
- Oändligt många koner ( ellipser , paraboler eller hyperboler ) kan inskrivas i en triangel.
- Om en godtycklig kägel är inskriven i en triangel och kontaktpunkterna är anslutna till motsatta hörn, kommer de resulterande linjerna att skära varandra vid en punkt, kallad kägelns perspektiv .
- För varje punkt av planet som inte ligger på en sida eller på dess förlängning, finns det en inskriven kon med ett perspektiv vid denna punkt [2] .
Egenskaper
- Den inskrivna Steinerellipsen har den största arean bland alla ellipser inskrivna i en given triangel, och den omskrivna ellipsen har den minsta arean bland alla de beskrivna [3] .
- En inskriven Steinerellips är en ellips inskriven i en triangel och tangerar dess sidor vid mittpunkterna .
- ( Mardens teorem ) Fokus för en Steiner-inskriven ellips är ytterpunkterna i ett tredjegradspolynom som är rotat vid hörnen på en triangel i det komplexa planet.
- Perspektiven av parabolerna inskrivna i triangeln ligger på den omskrivna Steinerellipsen [4] . Fokus för den inskrivna parabeln ligger på den omskrivna cirkeln , och riktningen passerar genom ortocentret [5] . En parabel inskriven i en triangel med Eulerlinjens riktning kallas Kiepert -parabeln . Dess perspektiv är den fjärde skärningspunkten mellan den omskrivna cirkeln och den omskrivna Steinerellipsen , kallad Steinerpunkten .
Anteckningar
- ↑ , . Geometriska egenskaper hos kurvor av andra ordningen. - 2:a uppl., tillägg - 2011. - S. 54.
- ↑ , . Geometriska egenskaper hos kurvor av andra ordningen. - 2:a uppl., tillägg - 2011. - S. 108.
- ↑ , . Geometriska egenskaper hos kurvor av andra ordningen. - 2:a uppl., tillägg - 2011. - S. 55.
- ↑ , . Geometriska egenskaper hos kurvor av andra ordningen. - 2:a uppl., tillägg. - 2011. - S. 110.
- ↑ , . Geometriska egenskaper hos kurvor av andra ordningen. - 2:a uppl., tillägg - 2011. - S. 27-28.
Se även