Brahmagupta formel

Brahmaguptas formel uttrycker arean av en fyrhörning inskriven i en cirkelsom en funktion av längden på dess sidor.

Om en inskriven fyrhörning har sidolängder och en semiperimeter , uttrycks dess area med formeln: $a,b,c,d$ $p={\frac {a+b+c+d}{2))$ $S$

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd))).

Bevis

Arean av en fyrhörning inskriven i en cirkel är lika med summan av ytorna och $\triangle ABD$ $\triangle BDC$

S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin C.

Eftersom det är en inskriven fyrhörning, följer det att : $ABCD$ $\angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB.$ $\sin A=\sin C$

S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin A

S^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(ab+cd)^{2}

4S^{2}=(1-\cos ^{2}A)(ab+cd)^{2}

4S^{2}=(ab+cd)^{2}-\cos ^{2}A(ab+cd)^{2}.

Efter att ha skrivit cosinussatsen för sidan in och vi får: $CB$ $\triangle ACB$ $\triangle BDC,$

a^{2}+b^{2}-2ab\cos A=c^{2}+d^{2}-2cd\cos C.

Använd ( och motsatt) och välj sedan parentes : $\cos C=-\cos A$ $A$ $C$ $2\cos A$

2\cos A(ab+cd)=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}.

Ersätt resultatet som erhållits i den tidigare erhållna areaformeln:

4S^{2}=(ab+cd)^{2}-{\frac {1}{4))(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^ {2})^{2}

16S^{2}=4(ab+cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2},

Låt oss tillämpa formeln : $x^{2}-y^{2}=(x+y)(xy)$

(2(ab+cd)+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})(2(ab+cd)-a^{2}-b ^{2}+c^{2}+d^{2})

=((a+b)^{2}-(cd)^{2})((c+d)^{2}-(ab)^{2})

=(a+b+cd)(a+b+dc)(a+c+db)(b+c+da).

Sedan semiperimetern $p={\frac {a+b+c+d}{2)),$

16S^{2}=16(pa)(pb)(pc)(pd).

Om vi tar kvadratroten får vi:

S = \sqrt{(pa)(pb)(pc)(pd)}.

Variationer och generaliseringar

Brahmaguptas formel generaliserar Herons formel för arean av en triangel : det räcker att anta att längden på en av sidorna är lika med noll (till exempel ). $d=0$
För fallet med godtyckliga fyrhörningar kan Brahmaguptas formel generaliseras enligt följande: $S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cos ^{2}\theta }},$

där är halva summan av fyrhörningens motsatta vinklar. (Vilket par av motsatta vinklar man ska ta spelar ingen roll, eftersom om halvsumman av ett par motsatta vinklar är lika , då blir halvsumman av de andra två vinklarna , och )

\theta

\theta

180^{\cirkel }-\theta

\cos ^{2}(180^{\circ }-\theta )=\cos ^{2}\theta .

Ibland skrivs denna mer allmänna formel som:

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+uv)(ac+bd-uv)))

var och är längderna på fyrhörningens diagonaler.

u

v

Robbins bevisade att för varje inskriven polygon medsidor, är värdetroten till något polynom, vars koefficienter i sin tur är polynom i längderna på sidorna. Han hittade dessa polynom föroch. Andra författare fann att polynometkan väljas så att dess ledande koefficient är lika med en, och gradenär lika med, omoch, om. Här $n$ $(4S)^{2}$ $P$ $n=5$ $n=6$ $P$ $N=N(n)$ $\Delta _{k}$ $n=2k+1$ ${\displaystyle 2\Delta _{k))$ $n=2k+2$ $\Delta _{k}={\frac {2k+1}{2}}{\binom {2k}{k}}-2^{2k-1}=\summa _{j=0}^ {k-1}(kj){\binom {2k+1}{j)),$

var finns binomialkoefficienter . För polygoner med ett litet antal sidor har vi , , , (sekvens A000531 i OEIS ) och , , , (sekvens A107373 i OEIS ).

{\tbinom {k}{j}}={\tfrac {k!}{j!(kj)!}}

\Delta _{1}=1

\Delta _{2}=7

\Delta _{3}=38

\Delta _{4}=187,\dots

N(4)=2

N(5)=7

N(6)=14

N(7)=38,\dots

Om vi i Brahmagupta-formeln uttrycker halvomkretsen genom halvsumman av alla sidor av den givna fyrhörningen, kvadrerar båda delarna, multiplicerar med -16, öppnar parenteserna och tar med liknande, så kommer det att ha formen:

-16S^{2}=a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}-2(a^{2}b^{2}+b^{ 2}c^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}d^{2}+c^{2}d^{2 })-8abcd

Den högra sidan är densamma som expansionen av determinanten nedan när den multipliceras med -1. Därför kan vi skriva att [1]

16S^{2}=-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix))

Det finns en modifiering av Brahmagupta-formeln för Lobachevsky-geometrin [2]

Se även

Anteckningar

↑ Starikov, 2014 , sid. 37-39.
↑ Mednykh A.D. Om Brahmagupta-formeln i Lobachevsky-geometrin. Mathematical Education 2012. Issue 16. P. 172–180// http://www.mathnet.ru/links/bdaefb8812875801603ce752bfa911d2/mp299.pdf

Populärlitteratur

A. Yu Davidov . Elementär geometri i gymnastikkursens volym . — 1863.
V. V. Prasolov . Formel för Brahmagupta // Matematik i skolan . - 1991. - Nr 5 .
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nya möten med geometri. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Library of the Mathematical Circle).

Vetenskaplig litteratur

V.V. Varfolomeev. Inskrivna polygoner och Heronpolynom // Math. samling. . - 2003. - T. 194 , nr 3 . - S. 3-24 .
Starikov V.N. Anteckningar om geometri // Vetenskaplig sökning: humanitära och socioekonomiska vetenskaper: en samling vetenskapliga artiklar / Kap. ed. Romanova I. V. - Cheboksary: TsDIP "INet", 2014. - Utgåva. 1 . - S. 37-39 .
M. Fedorchuk, I. Pak Rigiditet och polynominvarianter av konvexa polytoper // : en:Duke Mathematical Journal|Duke Math. J .: journal. - 2005. - Vol. 129 , nr. 2 . - s. 371-404 . - doi : 10.1215/S0012-7094-05-12926-X .