Matematisk formel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 3 juni 2021; kontroller kräver 5 redigeringar .

Matematisk formel (från lat. formel - diminutiv av forma - bild, utseende) i matematik , såväl som fysik och andra naturvetenskaper - en symbolisk uppteckning av ett påstående (som uttrycker en logisk proposition [1] ), eller en form av en uttalande [2] . En formel är tillsammans med termer ett slags formaliserat språkuttryck. I en vidare mening är en formel vilken rent symbolisk notation som helst (se nedan ), i motsats till olika uttryckssätt som har en geometrisk konnotation i matematiken: ritningar , grafer , diagram , grafer , etc.

Grundläggande typer av (numeriska) formler

Som regel innehåller formeln variabler (en eller flera), och själva formeln är inte bara ett uttryck, utan någon form av bedömning . En sådan bedömning kan säga något om variablerna, eller så kan den säga något om verksamheten. Den exakta innebörden av en formel antyds ofta från sammanhanget och kan inte förstås direkt från dess form. Det finns tre vanliga fall:

Formeln ska berätta hur du slår upp värdena för variabeln ( ekvationer , etc.);
En formel (skriven som " lookup = expression ") definierar ett värde i termer av dess parametrar (liknande tilldelning i programmering och ibland skriven med en digraf ":=" som i Pascal , men kan i princip betraktas som ett degenererat specialfall av en ekvation);
En formel är ett riktigt logiskt uttalande: en identitet (till exempel ett axiom), ett uttalande av ett teorem, etc.

Ekvationer

En ekvation är en formel vars yttre (övre) länk är en binär relation av likhet . En viktig egenskap hos ekvationen är dock också att symbolerna som ingår i den är uppdelade i variabler och parametrar (närvaron av de senare är dock inte nödvändig). Till exempel är en ekvation där x är en variabel. Värdena på variabeln för vilken likheten är sann kallas ekvationens rötter : i det här fallet är dessa två siffror 1 och -1 . Som regel, om ekvationen för en variabel inte är en identitet (se nedan), så är ekvationens rötter en diskret, oftast finit (eventuellt tom ) mängd. $x^{2}=1$

Om ekvationen innehåller parametrar, är dess betydelse att hitta rötterna för de givna parametrarna (det vill säga värdet på variabeln för vilken likheten är sann). Ibland kan detta formuleras som att hitta det implicita beroendet av en variabel på en eller flera parametrar. Till exempel förstås det som en ekvation för x (detta är den vanliga bokstaven för en variabel, tillsammans med y , z och t ). Rötterna till ekvationen är kvadratroten ur a (man tror att det finns två av dem, med olika tecken). En sådan formel definierar i sig bara ett binärt förhållande mellan x och a , och kan förstås omvänt, som en ekvation på a med avseende på x . I detta elementära fall kan vi snarare prata om att definiera a till x : . $x^{2}=a$ $a=x^{2}$

Identiteter

Identitet är ett förslag som är sant för alla värden av variablerna. Vanligtvis betyder identitet identisk sann jämlikhet, även om det utanför identiteten kan finnas ojämlikhet eller något annat förhållande. I många fall kan identitet förstås som någon egenskap hos de operationer som används i den , till exempel hävdar identitet kommutativiteten av addition. $a+b=b+a$

Med hjälp av en matematisk formel kan ganska komplexa meningar skrivas i en kompakt och bekväm form. Formler som blir sanna i varje substitution av variabler med specifika objekt från något område kallas identiskt sanna i detta område. Till exempel: "för alla a och b äger likhet rum ". Denna identitet kan härledas från axiomen för addition och multiplikation i en kommutativ ring , som själva också har formen av identiteter. ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2))$

Identiteten får inte innehålla variabler och vara en aritmetisk (eller någon annan) likhet, såsom . $6^{3}=3^{3}+4^{3}+5^{3}$

Ungefärliga jämlikheter

Till exempel: — Ungefärlig jämställdhet för små ; $x\approx \sin(x)$ $x$

Ojämlikheter

Ojämlikhetsformeln kan förstås i båda betydelserna som beskrivs i början av avsnittet: som en identitet (till exempel Cauchy-Bunyakovsky-ojämlikheten ) eller, som en ekvation, som ett problem med att hitta en mängd (mer exakt, en delmängd av domänen) som en variabel kan tillhöra, eller variabler .

Operationer som används

Detta avsnitt kommer att lista de operationer som används i algebra , såväl som några vanliga funktioner från kalkyl .

Addition och subtraktion

Tecknen " + " och " - " används (det senare i skrift är ganska svagt att skilja från ett bindestreck ). Det unära minuset används oftare endast för den första (vänster) termen, eftersom andra fall, såsom " a + (− b )" och " a − (−b)", inte skiljer sig i betydelse från det enklare " a − b ” respektive “ a + b ”.

På grund av additionens associativitet är det inte matematiskt logiskt att placera parenteser för att specificera i vilken ordning additionen utförs. I algebra hänvisar termer till både additions- och subtraktionsargument. Subtraktionsordningen, i avsaknad av parenteser, är sådan att endast termen skriven omedelbart till höger om subtraktionstecknet visar sig vara subtraherad, och inte resultatet av att utföra några additions- och subtraktionsoperationer skrivna till höger. Med ett minustecken ingår alltså bara de "termer" i summan, omedelbart till vänster om vilka det finns ett "−"-tecken.

Multiplikation

Multiplikationstecknet är oftast utelämnat. Detta orsakar ingen tvetydighet, eftersom variabler vanligtvis betecknas med enstaka bokstäver, och det är ingen mening att skriva ut multiplikationen av konstanter skrivna i siffror av varandra. I sällsynta fall där tvetydighet inte kan undvikas, indikeras multiplikation med en vertikalt centrerad punktsymbol "·". Symbolen "×" används endast i skolans aritmetik, i tekniska texter (i ett speciellt sammanhang), och vissa system infogar den i stället för multiplikationstecknet när formeln överförs till en annan rad (vanligtvis undviks överföring med multiplikationstecken) .

Division

Division i formler skrivs med en bråkstapel. I skolans aritmetik används också "÷" ( obelus ).

Exponentiering

Elementära funktioner

Absolut värde, tecken, etc.

Operatörsprioritet och parenteser

En verksamhets eller operatörs företräde, rang eller tjänstgöringstid är en formell egenskap hos en operatör/verksamhet som påverkar ordningen för dess genomförande i ett uttryck med flera olika operatörer i avsaknad av en uttrycklig (med parentes) angivelse av i vilken ordning de utvärderas. Till exempel ges multiplikationsoperationen vanligtvis högre prioritet än additionsoperationen, så i uttrycket erhålls produkten av y och z först, och sedan summan.

Exempel

Till exempel:

$2+2=5$ - ett exempel på en formel som har värdet "false";

$y=\ln(x)+\sin(x)$ är en funktion av ett verkligt argument;

$z={\frac {y^{3}}{y^{2}+x^{2}}}$ - en funktion av flera argument (en graf över en av de mest anmärkningsvärda kurvorna - Agnesi verzier );

$y=1-|1-x|$ är en icke-differentierbar funktion vid en punkt (en kontinuerlig streckad linje har ingen tangent); $x=1$

$x^{3}+y^{3}=3axy$ - en ekvation, det vill säga en implicit funktion (en graf över den " kartesiska list " -kurvan );

$t_{n}=n!$ är en heltalsfunktion ;

$y=y^{3}\sin(nx)$ är en jämn funktion ;

$y=\operatörsnamn {tg} (x)$ är en udda funktion ;

$f(P)={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))}$ är punktens funktion, avståndet från punkten till utgångspunkten för (kartesiska) koordinater;

$y={\frac {1}{x-3}}$ är en diskontinuerlig funktion vid punkten ; $x=3$

$x=a[t-\sin(t)]\,;\ y=a[1-\cos(t)]$ är en parametriskt definierad funktion (plott av en cykloid );

${\displaystyle y=\ln(x),\ x=e^{y))$ — direkta och omvända funktioner;

$f(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}|f(t)|\,dt$ är en integralekvation.

I filateli

Matematiska formler är ofta avbildade på frimärken från olika länder, till exempel på de som är tillägnade kända vetenskapsmän, som representerar mönstren de upptäckt. En serie frimärken dedikerade till själva de matematiska formlerna är anmärkningsvärda. Detta är ett Nicaraguansk postnummer från 1971 , en serie med 10 frimärken som kallas Las 10 formulas matematicas que cambiaron la faz de la Tierra . De representerar Pythagoras sats , Arkimedes lag, Newtons lag , Tsiolkovskys formel , de Broglies formel , Einsteins formel , etc. På baksidan av varje stämpel finns en beskrivning av motsvarande formel ( Sc #877-881 , C761-C765) .

Se även

Ett algebraiskt uttryck är en matematisk notation som inte uttrycker en fullständig tanke.
Uttryck (matematik)
Interpolationsformler
Återkommande formel
transcendental funktion
Simpson formel
Euler formel
ISO 31

Anteckningar

↑ Chupakhin, Brodsky, 1977 , sid. 200.
↑ Kolmogorov, Dragilin, 2006 , sid. 13-15.

Litteratur

Chupakhin I.Ya., Brodsky I.N. formell logik. - Leningrad: Leningrad University Press, 1977. - 357 s.
Kolmogorov A.N. , Dragilin A.G. Matematisk logik. - M. : KomKniga, 2006. - 240 sid. - ISBN 5-484-00520-5 .

Länkar

Great Soviet Encyclopedia (otillgänglig länk från 28-08-13 [3352 dagar])
De vackraste fysiska och matematiska formlerna
Vackra formler för elementär matematik (nedlänk från 28-08-13 [3352 dagar])
M. Ya. Vygodsky. Handbook of Higher Mathematics (inte tillgänglig länk)
N.K. Vereshchagin, A. Shen. Föreläsningar om matematisk logik och teori om algoritmer. Del 1. Början av mängdlära. (inte tillgänglig länk)