Funktionsparitet

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 3 oktober 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

Udda och jämn kallas funktioner som har symmetri med avseende på förändringen i argumentets tecken. Denna uppfattning är viktig inom många områden av matematisk analys , såsom teorin om potensserier och Fourierserier . Namnet är associerat med egenskaperna hos potensfunktioner: funktionen är jämn när den är jämn och udda när den är udda. $f(x)=x^{n}$ $n$ $n$

En udda funktion är en funktion som vänder på sitt värde när tecknet för den oberoende variabeln ändras (dess graf är symmetrisk kring koordinatcentrum).
En jämn funktion är en funktion som inte ändrar sitt värde när tecknet för den oberoende variabeln ändras (dess graf är symmetrisk om y- axeln).
Varken en jämn eller udda funktion (eller en allmän funktion ). Denna kategori innehåller funktioner som inte faller inom de två föregående kategorierna.

Strikt definition

Definitioner introduceras för alla definitionsdomäner som är symmetriska med avseende på noll , till exempel ett segment eller ett intervall . $X \subset \mathbb{R}$

En funktion kallas även om likheten $f:X \to \mathbb{R}$

f(-x)=f(x),\quad \forall x\i X.

En funktion kallas udda om likheten

f(-x)=-f(x),\quad \forall x\i X.

Funktioner som inte tillhör någon av kategorierna ovan kallas varken jämna eller udda (eller generiska funktioner).

Funktioner som har ett nollvärde i hela sin definitionsdomän, och denna definitionsdomän är symmetrisk med avseende på noll, är både jämna och udda; till exempel funktionerna f ( x ) = 0 och f ( x ) = 0/ x . Varje funktion som är både jämn och udda är identiskt lika med noll över hela sin definitionsdomän.

Egenskaper

Grafen för en udda funktion är symmetrisk med avseende på ursprunget . $O$
Grafen för en jämn funktion är symmetrisk kring y-axeln . $Oj$
En godtycklig funktion kan representeras unikt som summan av udda och jämna funktioner: $f:[-X,X] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

f(x) = g(x) + h(x),

var

g(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2},\; h(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}.

Funktionerna g ( x ) och h ( x ) kallas för den udda delen respektive den jämna delen av funktionen f ( x ) .

Summan , skillnaden och i allmänhet alla linjära kombinationer av jämna funktioner är jämna, och udda funktioner är udda. Därför bildar jämna funktioner ett linjärt vektorutrymme över fältet av reella tal, detsamma gäller för udda funktioner.
Produkten av två funktioner med samma paritet är jämn.
Produkten av två funktioner med olika paritet är udda.
Sammansättningen av två udda funktioner är udda.
Sammansättningen av en jämn funktion med en udda är jämn.
Sammansättningen av alla funktioner med ett jämnt tal är jämnt (men inte vice versa).
Derivatan av en jämn funktion är udda och en udda funktion är jämn.
För bestämda integraler av jämna funktioner, jämlikheten

\int \limits _{-A}^{A}f(x)\;dx=2\int \limits _{0}^{A}f(x)\;dx=2\int \limits _{-A}^{0}f(x)\;dx.

Följaktligen, för bestämda integraler av udda funktioner, är likheten

\int \limits _{-A}^{A}f(x)\;dx=0.

Detta innebär relationerna för felaktiga integraler av jämna funktioner:

\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\;dx=2\int \limits _{0}^{\infty }f(x)\;dx=2\ int \limits _{-\infty }^{0}f(x)\;dx

och från udda funktioner:

\mathrm {vp} \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\;dx=0

(vp betecknar det huvudsakliga värdet av den olämpliga Cauchy-integralen).

Maclaurin-seriens expansion av en jämn funktion innehåller endast termer med jämna potenser, och en udda funktion endast med udda.
Expansionen i en Fourier-serie av en periodisk jämn funktion innehåller endast termer med cosinus, och en periodisk udda funktion innehåller endast termer med sinus.
Även funktioner bildar en kommutativ algebra över fältet av reella tal. Detta är dock inte sant för udda funktioner, eftersom deras mängd inte är sluten under multiplikation (produkten av två udda funktioner är en jämn funktion).

Exempel

Under överallt $x\in \mathbb {R} .$

Udda funktioner

Exponentiering med en udda heltalsexponent: där är ett godtyckligt heltal . $f(x)=x^{2k+1},$ $k\in \mathbb{Z}$
Signum : $f(x)={\begin{cases}\ \ 1,&x>0\\\ \ 0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases))$
Kubroten och i allmänhet roten till vilken positiv udda grad som helst $y={\sqrt[{3}]{x}}$ $y={\sqrt[{2k+1}]{x)),\quad k\in \mathbb {N} .$
Trigonometriska funktioner : sinustangens cotangens cosecant $f(x)=\sin x,$ $f(x)=\operatörsnamn {tg} x,$ $f(x)=\operatörsnamn {ctg} x,$ $f(x)=\operatörsnamn {cosec} x.$
Omvända trigonometriska funktioner : bågbågande arctangent arccosecant $f(x)=\arcsin x,$ $f(x)=\operatörsnamn {arctg} x,$ $f(x)=\operatörsnamn {arccosec} x.$
Hyperboliska funktioner : hyperbolisk sinus, hyperbolisk tangens, hyperbolisk cotangens och hyperbolisk cosekant.
Inversa hyperboliska funktioner : areasin, areatangent, areacotangens, areacosecant.
Speciella och allmänna funktioner :
- Gudermannfunktion och omvänd Gudermannfunktion $f(x)=\operatörsnamn {gd} x=\operatörsnamn {arctg} (\operatörsnamn {sh} x)$ $f(x)=\operatörsnamn {arcgd} x=\operatörsnamn {arch} (\sek x).$
- integral sinus $f(x)=\operatörsnamn {Si} x.$
- Felfunktion och omvänd felfunktion $f(x)=\operatörsnamn {erf} x$ $f(x)=\operatörsnamn {erf} ^{-1}x.$
- Dawsons funktion .
- Chi-funktion av Legendre .
- Mathieu funktioner se i ( x ) .
- Rademacher-funktionen .

Jämna funktioner

Exponentiering med ett jämnt heltalsexponent: där är ett godtyckligt heltal . $f(x)=x^{2k},$ $k\in \mathbb{Z}$
Absolut värde (modul) : $f(x)=|x|.$
Konstant funktion : $f(x)=a.$
Trigonometriska funktioner : cosinussekant $f(x)=\cos x,$ $f(x)=\sek x$
Hyperboliska funktioner: hyperbolisk cosinus, hyperbolisk sekant.
Speciella och allmänna funktioner:
- Dirac delta funktion $f(x)=\delta(x).$
- Gaussisk funktion för b =0. $f(x)=a\exp \left(-{\frac {(xb)^{2}}{2c^{2}}}\right)$
- Dirichlet funktion .
- Cardinal sinc x (både normaliserad och onormaliserad).
- Mathieu funktioner ce i ( x ) .

Litteratur

I. M. Gelfand , E. G. Glagoleva , E. E. Shnol . Funktioner och grafer. Grundläggande knep . - M . : Nauka, 1968. - (Fysik- och matematikskolans bibliotek, nummer 2). (Engelsk översättning: Functions and Graphs. The MIT Press, 1969, Birkhäuser: Boston, 1990 och 1998)