Kubikroten

Kubroten av a , betecknad som eller som en 1/3 , är numret av vars kub är lika med . Detta är med andra ord en lösning på ekvationen (riktiga lösningar menas vanligtvis). ${\sqrt[{3}]{a))$ $x,$ $a.$ $x^{3}=a$

Verklig rot

Kubroten är en udda funktion . Till skillnad från kvadratroten kan kubroten också tas från negativa tal (så att ett verkligt resultat erhålls):

{\sqrt[ {3}]{-x}}=-{\sqrt[ {3}]{x}}

Komplex rot

Kubroten av ett komplext tal som inte är noll har exakt tre värden (ett specialfall av den n:te rotegenskapen): $c$

{\sqrt[{3}]{c}}={\sqrt[{3}]{\left|c\right|}}\left(\cos {\frac {\varphi +2k\pi } {3}}+i\sin {\frac {\varphi +2k\pi }{3}}\right),\quad k=0,1,2,\dots \quad \varphi =\arg {c}.

Här, med hjälp av den aritmetiska roten av ett positivt tal ${\sqrt[ {3}]{\left|c\right|}}$ $\vänster|c\höger|.$

Särskilt

{\sqrt[ {3}]{1}}={\begin{cases}1\\\cos {{\frac {2\pi }{3}}}+i\sin {{\frac {2\pi }{3}}}=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\\\cos {{\frac {2\pi }{ 3}}}-i\sin {{\frac {2\pi }{3}}}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2 }}\end{cases}}

{\sqrt[ {3}]{-1}}={\begin{cases}-1\\\cos {{\frac {\pi }{3}}}+i\sin {{\frac {\pi }{3}}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\\\cos {{\frac {\pi }{3} }}-i\sin {{\frac {\pi }{3}}}={\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\end {fall}}

De två komplexa värdena för kubroten erhålls från de verkliga med formeln:

{\sqrt[ {3}]{x}}_{{2,3}}={\sqrt[ {3}]{x}}\left(-{\frac {1}{2}}\pm i {\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\right).

Dessa värden måste vara kända för att lösa kubiska ekvationer med Cardano-formeln .

Indikativ form

Huvudvärdet för roten av ett komplext tal kan definieras enligt följande: $x$

x^{{1/3}}=\exp({\tfrac 13}\ln {x})

Där ln är huvudvärdet för den naturliga logaritmen .

Om man föreställer sig som $x$

x=r\exp(i\theta )

då är den kubiska formeln:

{\sqrt[ {3}]{x}}={\sqrt[ {3}]{r}}\exp({\tfrac 13}i\theta ).

Detta innebär geometriskt att vi i polära koordinater tar kubroten med modul och dividerar den polära vinkeln för det ursprungliga argumentet med tre. Så, om komplex, då kommer att beteckna inte , men kommer att vara ${\sqrt[{3}]{r))$ $x$ ${\sqrt[ {3}]{-8}}$ $-2$ $1+i{\sqrt {3}}.$

Intressanta fakta

Kubroten kan inte tas med kompass och rätlina . Det är därför de klassiska problemen som kan reduceras till att extrahera en kubrot är olösliga: fördubbling av en kub , tresektion av en vinkel , samt att bygga en vanlig heptagon .

Vid en konstant densitet av materia är dimensionerna hos två liknande kroppar relaterade till varandra som kubrötter till deras massor. Så om en vattenmelon väger dubbelt så mycket som en annan, kommer dess diameter (liksom omkrets) bara att vara lite mer än en fjärdedel (26%) mer än den första; och det kommer att tyckas att skillnaden i vikt inte är så signifikant. Därför, i avsaknad av fjäll (säljs med ögat), är det vanligtvis mer lönsamt att köpa en större frukt.

Beräkningsmetoder

Kolumn

Innan du börjar måste du dela upp antalet i trillingar (hela delen - från höger till vänster, bråkdelen - från vänster till höger). När du har nått decimalpunkten måste du sätta en decimalkomma i slutet av resultatet.

Algoritmen är:

Hitta ett tal vars kub är mindre än den första gruppen av siffror, men när den ökas med 1 blir den större. Skriv det hittade numret till höger om det givna numret. Skriv siffran 3 under den.
Skriv kuben för det hittade talet under den första siffrorna och subtrahera . Skriv resultatet efter subtraktion under subtrahenden. Ta sedan ner nästa grupp med nummer.
Därefter kommer vi att ersätta det hittade mellansvaret med bokstaven . Använd formeln för att beräkna ett tal så att resultatet är mindre än det nedersta talet, men när det ökas med 1 blir det större. Skriv ner vad du hittade till höger om svaret. Om den erforderliga noggrannheten uppnås, stoppa beräkningen. $a$ $300\ gånger a^{2}\ gånger x+30\ gånger a\ gånger x^{2}+x^{3}$ $x$ $x$
Skriv ner resultatet av beräkningen med formeln under det nedersta talet och subtrahera. Gå till punkt 3. $300\ gånger a^{2}\ gånger x+30\ gånger a\ gånger x^{2}+x^{3}$

Se även

Litteratur

Korn G. , Korn T. 1,3-3. Representation av summa, produkt och kvot. Examina och rötter // Handbok i matematik. - 4:e upplagan. - M . : Nauka, 1978. - S. 32-33.