Rademacher funktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 februari 2020; verifiering kräver 1 redigering .

Rademacher-funktionen är en bitvis konstant periodisk funktion som endast tar två värden 1 och −1 över hela definitionsdomänen. Introducerad av Hans Rademacher 1922 [1] . Grafen för funktionen är en meander .

Rademacher-funktionen kan uttryckas på följande sätt:

\operatörsnamn {rad} _{n}(x)=\operatörsnamn {tecken} \left(\sin \left(2^{n}\pi x\right)\right)

Systemet med Rademacher-funktioner är ortonormalt i rymden $L^{2}[0,1]$ eftersom:

\int _{0}^{1}\operatörsnamn {rad} _{n}(x)\cdot \operatörsnamn {rad} _{m}(x)\mathrm {d} x=\delta _{ mn}

var är Kronecker-symbolen . $\delta _{{mn}}$

Rademachers system av funktioner är ofullständigt. Baserat på dem kan du bygga Walsh-funktionerna :

\operatörsnamn {wal} _{\nu}(x)=\operatörsnamn {rad} _{\operatörsnamn {lb} \nu}(x)

var är den binära logaritmen . $\operatörsnamn {lb} \nu =\log _{2}\nu$

Rademacher-funktionen kan specificeras via Haar-funktionen : $\psi(x)$

\operatorname {rad} _{\nu}(x)=\summa _{k=-\infty }^{\infty }\psi (2^{\nu}x+k)

Anteckningar

↑ H. Rademacher. Einige Sätze über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen (German) // Math. Ann.. - 1922. - Bd. 87 , nr. 1-2 . — S. 112–138 . (inte tillgänglig länk)

Länkar

Square Wave på WolframMathWorld
Rademacher system - Encyclopedia of mathematics artikel