Walsh funktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 19 augusti 2019; kontroller kräver 2 redigeringar .

Walsh-funktioner är en familj av funktioner som bildar ett ortogonalt system och tar värden endast +1 och −1 över hela definitionsdomänen.

I princip kan Walsh-funktioner representeras i kontinuerlig form, men oftare definieras de som diskreta sekvenser av element. En grupp Walsh-funktioner bildar en Hadamard-matris . $2^{n}$ $2^{n}$

Walsh-funktioner har blivit utbredda inom radiokommunikation, där de används för att implementera koddelningskanaler ( CDMA ), till exempel i cellulära standarder som IS-95, CDMA2000 eller UMTS .

Systemet med Walsh-funktioner är en ortonormal bas och, som ett resultat, tillåter sönderdelning av godtyckliga vågformssignaler till en generaliserad Fourier-serie .

En generalisering av Walsh-funktionerna till fallet med mer än två värden är Vilenkin-Chrestenson-funktionerna .

Beteckning

Låt Walsh-funktionen definieras på intervallet [0, T ]; utanför detta intervall upprepas funktionen periodiskt. Låt oss introducera dimensionslös tid . Då betecknas Walsh-funktionen numrerad k som . Numreringen av funktionerna beror på metoden för att beställa funktionerna. Det finns en Walsh-ordning - i det här fallet betecknas funktionerna enligt beskrivningen ovan. Paley ( ) och Hadamard ( ) beställningar är också vanliga . $\theta =t/T$ $\operatörsnamn {wal} (k,\theta )$ $\operatörsnamn {pal} (p,\theta )$ $\operatörsnamn {hade} (h,\theta )$

Beträffande momentet kan Walsh-funktioner delas in i jämnt och udda. De är märkta som respektive . Dessa funktioner liknar trigonometriska sinus och cosinus. Förhållandet mellan dessa funktioner uttrycks på följande sätt: $\theta=0$ $\operatörsnamn {cal} (k,\theta )$ $\operatörsnamn {sal} (k,\theta )$

\operatörsnamn {cal} (k,\theta )=\operatörsnamn {wal} (2k,\theta ),

\operatörsnamn {sal} (k,\theta )=\operatörsnamn {wal} (2k-1,\theta ).

Formation

Det finns flera sätt att bilda. Betrakta en av dem, den mest illustrativa: Hadamard-matrisen kan bildas med en rekursiv metod genom att konstruera blockmatriser enligt följande allmänna formel:

H_{2^{n}}={\begin{bmatrix}H_{2^{n-1}}&H_{2^{n-1}}\\H_{2^{n-1}} &-H_{2^{n-1}}\end{bmatrix}}.

Så här kan Hadamard-matrisen av längd bildas : $2^{n}$

H_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix)),

H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix)),

H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix)),

H_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\\ 1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\end{bmatrix}},

Varje rad i Hadamard-matrisen är en Walsh-funktion.

I detta fall är funktionerna ordnade enligt Hadamard. Walsh-funktionsnumret beräknas från Hadamard-funktionsnumret genom att omordna bitarna i den binära notationen av talet i omvänd ordning, följt av att konvertera resultatet från Gray-koden .

Exempel

Walsh nummer	binär form	Konvertera från grå kod	Bitbyte	Nummer enligt Hadamard
0	000	000	000	0
ett	001	001	100	fyra
2	010	011	110	6
3	011	010	010	2
fyra	100	110	011	3
5	101	111	111	7
6	110	101	101	5
7	111	100	001	ett

Resultatet är en Walsh-matris där funktionerna är ordnade efter Walsh:

W_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1 1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\end{bmatrix}}.

Egenskaper

1. Ortogonalitet

Punktprodukten för två olika Walsh-funktioner är noll:

\int \limits _{0}^{1}\operatörsnamn {wal} (n,\theta )\cdot \operatörsnamn {wal} (k,\theta )\,d\theta =0\qquad {\ text{med }}k\neq n.

Exempel

Låt oss anta att n = 1, k = 3 (se ovan). Sedan

\int \limits _{0}^{1}\operatörsnamn {wal} (1,\theta )\cdot \operatörsnamn {wal} (3,\theta )\,d\theta =

=\int \limits _{0}^{1/4}1^{2}\,d\theta +\int \limits _{1/4}^{1/2}1\cdot (- 1)\,d\theta +\int \limits _{1/2}^{3/4}(-1)\cdot 1\,d\theta +\int \limits _{3/4}^{1 }(-1)^{2}\,d\theta =0.

2. Multiplikativitet

Produkten av två Walsh-funktioner ger Walsh-funktionen:

\operatörsnamn {wal} (n,\theta )\cdot \operatörsnamn {wal} (k,\theta )=\operatörsnamn {wal} (i,\theta ),

där är bitvis addition modulo 2 av tal i det binära systemet. $i=n\oplus k$

Exempel

Låt oss anta att n = 1, k = 3. Sedan

n\oplus k=01_{2}\oplus 11_{2}=10_{2}=2.

Som ett resultat av multiplikation får vi:

{\begin{array}{|c|c|c|c||c|}&&&&n\\\hline 1&1&-1&-1&\operatorname {wal} (1,\theta )\\1&-1&1&- 1&\operatörsnamn {wal} (3,\theta )\\\hline 1&-1&-1&1&\operatörsnamn {wal} (2,\theta )\\\end{array}}

Walsh-Hadamard transformation

Det är ett specialfall av den generaliserade Fouriertransformen , där systemet med Walsh-funktioner fungerar som bas.

Den generaliserade Fourierserien representeras av formeln

S(t)=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}\cdot u_{i}(t),

där är en av basfunktionerna och är en koefficient. $u_{i}$ $c_{i}$

Utvidgningen av signalen i Walsh-funktioner har formen

S(t)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}\cdot \operatörsnamn {wal} (k,t/T).

I diskret form skrivs formeln enligt följande:

S(n)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}\cdot \operatorname {wal} (k,n).

Koefficienterna kan bestämmas genom att utföra den skalära produkten av den sönderdelade signalen med motsvarande grundläggande Walsh-funktion: $c_{i}$

c_{k}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}S(t)\cdot \operatörsnamn {wal} (k,t/T)\, dt.

Walsh-funktionernas periodiska karaktär bör beaktas.

Det finns också en snabb Walsh-transform [1] . Det är mycket effektivare än Walsh-Hadamard-transformen [2] . Dessutom, för specialfallet med två variabler, är Walsh-funktionerna generaliserade som ytor [3] . Det finns också åtta baser av ortogonala binära funktioner som liknar Walsh-funktionerna [4] som skiljer sig i oregelbunden struktur, som också är generaliserade till fallet med funktioner av två variabler. För var och en av de åtta baserna har representationen av "steg"-funktioner i form av en ändlig summa av binära funktioner, viktade med lämpliga koefficienter [5] bevisats .

Litteratur

Baskakov S. I. Radiotekniska kretsar och signaler. - M . : Högre skola, 2005. - ISBN 5-06-003843-2 .
Golubov B. I., Efimov A. V., Skvortsov V. A. Walsh serier och transformationer: teori och tillämpningar. — M .: Nauka, 1987.
Zalmanzon L. A. Fourier, Walsh, Haar transformationer och deras tillämpning inom kontroll, kommunikation och andra områden. — M .: Nauka, 1989. — ISBN 5-02-014094-5 .

Se även

Anteckningar

↑ SNABB WALSH TRANSFORMATION. V. N. Malozyomov Arkiverad 4 mars 2016 på Wayback Machine .
↑ Fast Walsh Transform Arkiverad 27 mars 2014 på Wayback Machine .
↑ Romanuke VV PÅ PUNKTEN ATT GENERALISERA WALSH-FUNKTIONERNA TILL YTOR Arkiverad 16 april 2016 på Wayback Machine .
↑ Romanuke VV GENERALISERING AV DE ÅTTA KÄNDA ORTONORMALA BASERNA AV BINÄRA FUNKTIONER TILL YTOR Arkiverad 5 oktober 2016 på Wayback Machine .
↑ Romanuke VV EKVIIDISTANT DISKRET PÅ ARGUMENTAXELFUNKTIONER OCH DERAS REPRESSENTATION I ORTONORMAL BASES-SERIEN Arkiverad 10 april 2016 på Wayback Machine .