Trigonometriska funktioner

Trigonometriska funktioner är elementära funktioner [1] , som historiskt sett uppstod när man betraktade räta trianglar och uttryckte beroendet av längderna på sidorna av dessa trianglar på spetsiga vinklar vid hypotenusan (eller, på motsvarande sätt, beroendet av ackord och höjder på den centrala vinkeln av bågen i en cirkel ). Dessa funktioner har fått bred tillämpning inom olika vetenskapsområden. När matematiken utvecklades utökades definitionen av trigonometriska funktioner, i modern mening kan deras argument vara ett godtyckligt reellt eller komplext tal .

Den gren av matematiken som studerar trigonometriska funktioners egenskaper kallas trigonometri .

Trigonometriska funktioner kallas traditionellt:

direkta trigonometriska funktioner:

sinus ( ); $\sin x$
cosinus ( ); $\cos x$

derivata trigonometriska funktioner:

tangent ; $\left(\mathrm {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x))\right)$
cotangens ; $\left(\mathrm {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x))\right)$

sekant ; $\left(\sec x={\frac {1}{\cos x}}\right)$
cosecant ; $\left(\mathrm {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}}\right)$

inversa trigonometriska funktioner :

arcsine, arccosine, etc.

I typografin av litteratur på olika språk är förkortningen för trigonometriska funktioner olika, till exempel i engelsk litteratur betecknas tangent, cotangens och cosecant med , , . Före andra världskriget, i Tyskland och Frankrike, betecknades dessa funktioner på samma sätt som är brukligt i ryskspråkiga texter [2] , men sedan i litteraturen på språken i dessa länder, den engelskspråkiga versionen av registrering av trigonometriska funktioner antogs. $\tan x$ $\cot x$ $\csc x$

Förutom dessa sex välkända trigonometriska funktioner, används ibland några sällan använda trigonometriska funktioner ( versinus , etc.) i litteraturen.

Sinus och cosinus för ett reellt argument är periodiska, kontinuerliga och oändligt differentierbara verkliga funktioner. De återstående fyra funktionerna på den reella axeln är också realvärderade, periodiska och oändligt differentierbara, med undantag för ett räknebart antal diskontinuiteter av det andra slaget : för tangenten och sekanten vid punkterna och för cotangensen och cosekanten, vid punkterna . Grafer över trigonometriska funktioner visas i fig. 1 . $\pm \pi n + \frac{\pi}{2}$ $\pm\pin$

Sätt att bestämma

Definition för skarpa hörn

Inom geometri bestäms de trigonometriska funktionerna för en spetsig vinkel av förhållandena mellan sidorna i en rätvinklig triangel [3] . Låt - rektangulär, med en spetsig vinkel och hypotenusa . Sedan: $\triangle AOB$ $\angle AOB=\alpha$ $OB$

$\sin \alpha ={\frac {AB}{OB}}$ (vinkelns sinus är förhållandet mellan det motsatta benet och hypotenusan ); $\alfa$
$\cos \alpha ={\frac {OA}{OB}}$ (vinkelns cosinus är förhållandet mellan det intilliggande benet och hypotenusan ); $\alfa$
$\mathrm {tg} \,\alpha ={\frac {AB}{OA}}$ (vinkelns tangent är förhållandet mellan det motsatta benet och det intilliggande); $\alfa$
$\mathrm {ctg} \,\alpha ={\frac {OA}{AB}}$ (cotangensen för en vinkel är förhållandet mellan det intilliggande benet och det motsatta); $\alfa$
$\mathrm {sek} \,\alpha ={\frac {OB}{OA}}$ (vinkelns sekant är förhållandet mellan hypotenusan och det intilliggande benet ); $\alfa$
$\mathrm {cosec} \,\alpha ={\frac {OB}{AB}}$ (cosecanten av en vinkel är förhållandet mellan hypotenusan och det motsatta benet ). $\alfa$

Denna definition har en viss metodisk fördel, eftersom den inte kräver introduktion av begreppet koordinatsystem, men också en så stor nackdel att det är omöjligt att bestämma trigonometriska funktioner även för trubbiga vinklar, vilket måste vara känt när man löser elementära problem om trubbiga trianglar. (Se: sinussats , cosinussats ).

Definition för alla vinklar

Vanligtvis definieras trigonometriska funktioner geometriskt [4] . I det kartesiska koordinatsystemet på planet konstruerar vi en cirkel med enhetsradie ( ) centrerad vid koordinaternas ursprung . Vi kommer att betrakta vilken vinkel som helst som en rotation från abskissaxelns positiva riktning till en viss stråle (vi väljer en punkt på cirkeln), medan rotationsriktningen anses vara positiv i moturs riktning och negativ i medurs riktning. Vi betecknar abskissan för punkten , och ordinatan - (se figur 2 ). $R=1$ $O$ $OB$ $B$ $B$ $x_B$ $y_B$

Vi definierar funktioner enligt följande:

$\sin \alpha =y_{B}$ , ; $\cos \alpha =x_{B}$
$\operatorname {tg} \alpha ={\frac {y_{B}}{x_{B}}}$ , ; $\operatörsnamn {ctg} \alpha ={\frac {x_{B}}{y_{B}}}$
${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{x_{B))))$ , . ${\displaystyle \operatörsnamn {cosec} \alpha ={\frac {1}{y_{B))))$

Det är lätt att se att en sådan definition också bygger på relationerna i en rätvinklig triangel, med den skillnaden att tecknet ( ) beaktas. Därför kan trigonometriska funktioner också definieras på en cirkel med godtycklig radie , men formlerna måste normaliseras. Figur 3 visar värdena för trigonometriska funktioner för enhetscirkeln . $\pm 1$ $R$

I trigonometri visar det sig vara bekvämt att räkna vinklar inte i grader, utan i radianer . Så, vinkeln vid kommer att skrivas som längden av en enhetscirkel . Vinkeln vid är lika, respektive, och så vidare. Observera att vinkeln som skiljer sig från i figuren motsvarar , så vi drar slutsatsen att de trigonometriska funktionerna är periodiska. ${\displaystyle 360^{\circ ))$ $2\pi$ $180^{\cirkel }$ $\pi$ $2\pi$ $\alfa$ $\alfa$

Slutligen definierar vi de trigonometriska funktionerna för ett reellt tal som trigonometriska funktioner för en vinkel vars radianmått är . $x$ $x$

Definition som lösningar av differentialekvationer

Sinus och cosinus kan definieras som de enda funktionerna vars andraderivator är lika med funktionerna själva, tagna med ett minustecken:

\ \left(\cos x\right)'' = - \cos x,

\ \left(\sin x\right)'' = - \sin x.

Det vill säga ställ in dem som jämna (cosinus) och udda (sinus) lösningar av differentialekvationen

\frac{d^2}{d\varphi^2}R(\varphi) = - R(\varphi),

med ytterligare villkor: för cosinus och för sinus. $R(0)=1$ $R'(0)=1$

Definition som lösningar av funktionella ekvationer

Cosinus- och sinusfunktionerna kan definieras [5] som lösningar ( och, respektive) av systemet av funktionella ekvationer : $f$ $g$

$\left\{ \begin{array}{rcl} f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\ g(x+y)&=&g(x )f(y)+f(x)g(y) \end{array} \right.$

under ytterligare villkor:

$f(x)^{2}+g(x)^{2}=1,$ $g(\pi /2)=1,$ och kl . $0<g(x)<1$ $0<x<\pi /2$

Definition i termer av serier

Med hjälp av geometrin och egenskaperna hos limits kan man bevisa att derivatan av sinus är lika med cosinus, och att derivatan av cosinus är lika med minus sinus. Sedan kan du använda teorin om Taylor-serier och representera sinus och cosinus som potensserier:

\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{ 9!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},

\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{ 8!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.

Genom att använda dessa formler, såväl som likheter och man kan hitta serieutvidgningar av andra trigonometriska funktioner: $\operatörsnamn{tg}\,x=\frac{\sin x}{\cos x},$ $\operatörsnamn{ctg}\,x=\frac{\cos x}{\sin x},$ $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ $\operatörsnamn{cosec}\,x=\frac{1}{\sin x},$

{\operatörsnamn{tg}\,x=x+\frac{1}{3}\,x^3 + \frac{2}{15}\,x^5 + \frac{17}{315}\,x ^7 + \frac{62}{2835}\,x^9 + \cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{ 2n}|}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\right),}

{\operatörsnamn{ctg}\,x = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2x^5}{945} - \frac{x^7}{4725} - \cdots = \frac{1}{x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}|B_{2n}|}{( 2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),}

{\sek x=1+\frac{1}{2}\,x^2+\frac{5}{24}\,x^4+\frac{61}{720}\,x^6+\ frac{277}{8064}\,x^8+\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{|E_{n}|}{(2n)!}\,x^{2n}, \quad \left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\right),}

\operatorname{cosec} x = \frac{1}{x} + \frac{1}{6}\,x + \frac{7}{360}\,x^3 + \frac{31}{15120} \,x^5 + \frac{127}{604800}\,x^7 + \cdots = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2(2^{ 2n-1}-1) |B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),

var

B_{n}

är Bernoulli-talen ,

E_{n}

är Euler-talen .

Värden för trigonometriska funktioner för vissa vinklar

Värdena för sinus, cosinus, tangens, cotangens, sekant och cosekant för vissa vinklar anges i tabellen. (" " betyder att funktionen vid den angivna punkten inte är definierad och tenderar att vara oändlig i dess närhet ). $\infty$

radianer	$0$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2}}$	$\pi$	${\frac {3\pi }{2}}$	$2\pi$
grader	${\displaystyle 0^{\circ ))$	${\displaystyle 30^{\circ ))$	${\displaystyle 45^{\circ ))$	${\displaystyle 60^{\circ ))$	${\displaystyle 90^{\circ ))$	${\displaystyle 180^{\circ ))$	$270^{\circ }$	${\displaystyle 360^{\circ ))$
$\sin \alpha$	$0$	${\frac {1}{2))$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$ett$	$0$	$-ett$	$0$
$\cos \alpha$	$ett$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	${\frac {1}{2))$	$0$	$-ett$	$0$	$ett$
$\operatörsnamn{tg}\,\alpha$	$0$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	$ett$	$\sqrt{3}$	$\infty$	$0$	$\infty$	$0$
$\operatörsnamn{ctg}\,\alpha$	$\infty$	$\sqrt{3}$	$ett$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$\infty$	$0$	$\infty$
$\sec \alpha$	$ett$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {2}}$	$2$	$\infty$	$-ett$	$\infty$	$ett$
$\operatörsnamn {cosec} \,\alpha$	$\infty$	$2$	${\sqrt {2}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$ett$	$\infty$	$-ett$	$\infty$

Värden för trigonometriska funktioner för icke-standardiserade vinklar

radianer	${\frac {2\pi }{3}}$	${\frac {3\pi }{4}}$	${\frac {5\pi }{6}}$	${\frac {7\pi }{6}}$	${\frac {5\pi }{4}}$	${\frac {4\pi }{3}}$	${\frac {5\pi }{3}}$	${\frac {7\pi }{4}}$	${\frac {11\pi }{6}}$
grader	${\displaystyle 120^{\circ ))$	$135^{\circ }$	${\displaystyle 150^{\circ ))$	${\displaystyle 210^{\circ ))$	${\displaystyle 225^{\circ ))$	$240^{\circ }$	${\displaystyle 300^{\circ ))$	${\displaystyle 315^{\circ ))$	${\displaystyle 330^{\circ ))$
$\sin \alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	${\frac {1}{2))$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$
$\cos \alpha$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	${\frac {1}{2))$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\operatörsnamn{tg}\,\alpha$	$-\sqrt{3}$	$-ett$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$ett$	$\sqrt{3}$	$-\sqrt{3}$	$-ett$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\operatörsnamn{ctg}\,\alpha$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-ett$	$-\sqrt{3}$	$\sqrt{3}$	$ett$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-ett$	$-\sqrt{3}$
$\sec \alpha$	$-2$	$-{\sqrt {2))$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\sqrt {2))$	$-2$	$2$	${\sqrt {2}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$
$\operatörsnamn {cosec} \,\alpha$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {2}}$	$2$	$-2$	$-{\sqrt {2))$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\sqrt {2))$	$-2$

radianer	${\frac {\pi }{12}}$	${\frac {\pi }{10}}$	${\frac {\pi }{8}}$	${\frac {\pi }{5}}$	${\frac {3\pi }{10}}$	${\frac {3\pi }{8}}$	${\frac {2\pi }{5}}$	${\frac {5\pi }{12}}$
grader	${\displaystyle 15^{\circ ))$	${\displaystyle 18^{\circ ))$	$22{,}5^{\circ }$	${\displaystyle 36^{\circ ))$	${\displaystyle 54^{\circ ))$	${\displaystyle 67{,}5^{\circ ))$	${\displaystyle 72^{\circ ))$	${\displaystyle 75^{\circ ))$
$\sin \alpha$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3)))){2))$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$	$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3)))){2}}$
$\cos \alpha$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3)))){2}}$	${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$	${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3)))){2))$
$\operatörsnamn{tg}\,\alpha$	$2-\sqrt{3}$	${\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$\sqrt{2}-1$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	${\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$\sqrt{2}+1$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5))))$	$2+{\sqrt {3}}$
$\operatörsnamn{ctg}\,\alpha$	$2+{\sqrt {3}}$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5))))$	$\sqrt{2}+1$	${\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	$\sqrt{2}-1$	${\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$2-\sqrt{3}$
$\sec \alpha$	$2{\sqrt {2-{\sqrt {3))))$	${\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {4-2{\sqrt {2))))$	${\sqrt {5}}-1$	${\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {4+2{\sqrt {2))))$	${\sqrt {5}}+1$	$2{\sqrt {2+{\sqrt {3))))$
$\operatörsnamn {cosec} \,\alpha$	$2{\sqrt {2+{\sqrt {3))))$	${\sqrt {5}}+1$	${\sqrt {4+2{\sqrt {2))))$	${\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5}}-1$	${\sqrt {4-2{\sqrt {2))))$	${\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$2{\sqrt {2-{\sqrt {3))))$

Värden av trigonometriska funktioner för vissa andra vinklar

$\sin \frac{\pi}{60} = \cos \frac{29\,\pi}{60} = \sin 3^\circ = \cos 87^\circ = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)-2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{\pi}{60} = \sin \frac{29\,\pi}{60} = \cos 3^\circ = \sin 87^\circ = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{3}-1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\operatörsnamn{tg} \frac{\pi}{60} = \operatörsnamn{ctg} \frac{29\,\pi}{60} = \operatörsnamn{tg} 3^\circ = \operatörsnamn{ctg} 87^ \circ = \frac{2(\sqrt{5}+2)-\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}(\sqrt {5}+1)-2)\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2},$

$\operatörsnamn{ctg} \frac{\pi}{60} = \operatörsnamn{tg} \frac{29\,\pi}{60} = \operatörsnamn{ctg} 3^\circ = \operatörsnamn{tg} 87^ \circ = \frac{2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}-1) +2)\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{\pi}{30} = \cos \frac{7\,\pi}{15} = \sin 6^\circ = \cos 84^\circ = \frac{\sqrt{6(5 -\sqrt{5})}-\sqrt{5}-1}{8},$

$\cos \frac{\pi}{30} = \sin \frac{7\,\pi}{15} = \cos 6^\circ = \sin 84^\circ = \frac{\sqrt{2(5 -\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)}{8},$

$\operatörsnamn{tg} \frac{\pi}{30} = \operatörsnamn{ctg} \frac{7\,\pi}{15} = \operatörsnamn{tg} 6^\circ = \operatörsnamn{ctg} 84^ \circ = \frac{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{2},$

$\operatörsnamn{ctg} \frac{\pi}{30} = \operatörsnamn{tg} \frac{7\,\pi}{15} = \operatörsnamn{ctg} 6^\circ = \operatörsnamn{tg} 84^ \circ = \frac{\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)}{2},$

$\sin \frac{\pi}{20} = \cos \frac{9\,\pi}{20} = \sin 9^\circ = \cos 81^\circ = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{5}+1)-2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8},$

$\cos \frac{\pi}{20} = \sin \frac{9\,\pi}{20} = \cos 9^\circ = \sin 81^\circ = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{5}+1)+2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8},$

$\operatörsnamn{tg} \frac{\pi}{20} = \operatörsnamn{ctg} \frac{9\,\pi}{20} = \operatörsnamn{tg} 9^\circ = \operatörsnamn{ctg} 81^ \circ = {\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}}},$

$\operatörsnamn{ctg} \frac{\pi}{20} = \operatörsnamn{tg} \frac{9\,\pi}{20} = \operatörsnamn{ctg} 9^\circ = \operatörsnamn{tg} 81^ \circ = {\sqrt{5}+1+\sqrt{5+2\sqrt{5}}},$

$\sin \frac{\pi}{15} = \cos \frac{13\,\pi}{30} = \sin 12^\circ = \cos 78^\circ = \frac{\sqrt{2(5 +\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{8},$

$\cos \frac{\pi}{15} = \sin \frac{13\,\pi}{30} = \cos 12^\circ = \sin 78^\circ = \frac{\sqrt{6(5 +\sqrt{5})}+\sqrt{5}-1}{8},$

$\operatörsnamn{tg} \frac{\pi}{15} = \operatörsnamn{ctg} \frac{13\,\pi}{30} = \operatörsnamn{tg} 12^\circ = \operatörsnamn{ctg} 78^ \circ = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})-\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{2},$

$\operatörsnamn{ctg} \frac{\pi}{15} = \operatörsnamn{tg} \frac{13\,\pi}{30} = \operatörsnamn{ctg} 12^\circ = \operatörsnamn{tg} 78^ \circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5))))){2},$

$\sin \frac{7\,\pi}{60} = \cos \frac{23\,\pi}{60} = \sin 21^\circ = \cos 69^\circ = \frac{-\sqrt {2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{7\,\pi}{60} = \sin \frac{23\,\pi}{60} = \cos 21^\circ = \sin 69^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\operatörsnamn{tg} \frac{7\,\pi}{60} = \operatörsnamn{ctg} \frac{23\,\pi}{60} = \operatörsnamn{tg} 21^\circ = \operatörsnamn{ctg } 69^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5} +1)-2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\operatörsnamn{ctg} \frac{7\,\pi}{60} = \operatörsnamn{tg} \frac{23\,\pi}{60} = \operatörsnamn{ctg} 21^\circ = \operatörsnamn{tg } 69^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5} +1)+2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{2\,\pi}{15} = \cos \frac{11\,\pi}{30} = \sin 24^\circ = \cos 66^\circ = \frac{\sqrt{ 3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}{8},$

$\cos \frac{2\,\pi}{15} = \sin \frac{11\,\pi}{30} = \cos 24^\circ = \sin 66^\circ = \frac{\sqrt{ 5}+1+\sqrt{6(5-\sqrt{5})}}{8},$

$\operatörsnamn{tg} \frac{2\,\pi}{15} = \operatörsnamn{ctg} \frac{11\,\pi}{30} = \operatörsnamn{tg} 24^\circ = \operatörsnamn{ctg } 66^\circ = \frac{-\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{2},$

$\operatörsnamn{ctg} \frac{2\,\pi}{15} = \operatörsnamn{tg} \frac{11\,\pi}{30} = \operatörsnamn{ctg} 24^\circ = \operatörsnamn{tg } 66^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{2(5-\sqrt{5}))){2},$

$\sin \frac{3\,\pi}{20} = \cos \frac{7\,\pi}{20} = \sin 27^\circ = \cos 63^\circ = \frac{-\sqrt {2}(\sqrt{5}-1)+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8},$

$\cos \frac{3\,\pi}{20} = \sin \frac{7\,\pi}{20} = \cos 27^\circ = \sin 63^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{5}-1)+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8},$

$\operatörsnamn{tg} \frac{3\,\pi}{20} = \operatörsnamn{ctg} \frac{7\,\pi}{20} = \operatörsnamn{tg} 27^\circ = \operatörsnamn{ctg } 63^\circ = {\sqrt{5}-1-\sqrt{5-2\sqrt{5}}},$

$\operatörsnamn{ctg} \frac{3\,\pi}{20} = \operatörsnamn{tg} \frac{7\,\pi}{20} = \operatörsnamn{ctg} 27^\circ = \operatörsnamn{tg } 63^\circ = {\sqrt{5}-1+\sqrt{5-2\sqrt{5}}},$

$\sin \frac{11\,\pi}{60} = \cos \frac{19\,\pi}{60} = \sin 33^\circ = \cos 57^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{11\,\pi}{60} = \sin \frac{19\,\pi}{60} = \cos 33^\circ = \sin 57^\circ = \frac{-\sqrt {2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\operatörsnamn{tg} \frac{11\,\pi}{60} = \operatörsnamn{ctg} \frac{19\,\pi}{60} = \operatörsnamn{tg} 33^\circ = \operatörsnamn{ctg } 57^\circ = \frac{-2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3} }(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2},$

$\operatörsnamn{ctg} \frac{11\,\pi}{60} = \operatörsnamn{tg} \frac{19\,\pi}{60} = \operatörsnamn{ctg} 33^\circ = \operatörsnamn{tg } 57^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5} }-1)+2)\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{13\,\pi}{60} = \cos \frac{17\,\pi}{60} = \sin 39^\circ = \cos 51^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)-2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{13\,\pi}{60} = \sin \frac{17\,\pi}{60} = \cos 39^\circ = \sin 51^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\operatörsnamn{tg} \frac{13\,\pi}{60} = \operatörsnamn{ctg} \frac{17\,\pi}{60} = \operatörsnamn{tg} 39^\circ = \operatörsnamn{ctg } 51^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5} }+1)+2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\operatörsnamn{ctg} \frac{13\,\pi}{60} = \operatörsnamn{tg} \frac{17\,\pi}{60} = \operatörsnamn{ctg} 39^\circ = \operatörsnamn{tg } 51^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5} }+1)-2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{7\,\pi}{30} = \cos \frac{8\,\pi}{30} = \sin 42^\circ = \cos 48^\circ = \frac{-(\ sqrt{5}-1)+\sqrt{6(5+\sqrt{5})}}{8},$

$\cos \frac{7\,\pi}{30} = \sin \frac{8\,\pi}{30} = \cos 42^\circ = \sin 48^\circ = \frac{\sqrt{ 3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{8},$

$\operatörsnamn{tg} \frac{7\,\pi}{30} = \operatörsnamn{ctg} \frac{8\,\pi}{30} = \operatörsnamn{tg} 42^\circ = \operatörsnamn{ctg } 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2(5+\sqrt{5}))){2},$

$\operatörsnamn{ctg} \frac{7\,\pi}{30} = \operatörsnamn{tg} \frac{8\,\pi}{30} = \operatörsnamn{ctg} 42^\circ = \operatörsnamn{tg } 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})+\sqrt{2(25-11\sqrt{5))))){2},$

$\operatörsnamn{tg} \frac{\pi}{120} = \operatörsnamn{ctg} \frac{59\,\pi}{120} = \operatörsnamn{tg} 1,5^\circ = \operatörsnamn{ctg} 88,5^ \circ = \sqrt{\frac{8-\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})} - \sqrt{ 2(2+\sqrt{3})(5 +\sqrt{5})}}{8+\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})}+\sqrt{2(2+\sqrt{3})( 5+\sqrt{5})} }},$

$\cos {\frac {\pi }{240}}=\sin {\frac {119\,\pi }{240}}=\cos 0,75^{\circ }=\sin 89,25^{\circ }={\frac {1}{16}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2))))))\left({\sqrt {2(5+{ \sqrt {5)))))+{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {5}})\right)+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2} )))))\left({\sqrt {6(5+{\sqrt {5))))}}+{\sqrt {5}}-1\right)\right),$

$\cos \frac{\pi}{17} = \sin \frac{15\,\pi}{34} = \frac{1}{8}\sqrt{2 \left(2\sqrt{3\sqrt{ 17}-\sqrt{2(85+19\sqrt{17})} +17}+\sqrt{2(17-\sqrt{17})}+\sqrt{17}+15 \right)}.$

$\sin {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}} }}} _{n},n\in \mathbb {N}$

$\cos {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}} }}} _{n},n\in \mathbb {N}$

$\sin {\pi \over 3\cdot 2^{n}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {3}} }}}} _{n},n\geq 2$

$\cos {\pi \over 3\cdot 2^{n}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {3}} }}}} _{n},n\geq 2$

Egenskaper för trigonometriska funktioner

De enklaste identiteterna

Eftersom sinus och cosinus är ordinatan och abskissan för den punkt som motsvarar vinkeln α på enhetscirkeln , så har vi enligt enhetscirkelekvationen ( ) eller Pythagoras sats : $x^{2}+y^{2}=1$

\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1.

Detta förhållande kallas den grundläggande trigonometriska identiteten .

Om vi dividerar denna ekvation med kvadraten på cosinus respektive sinus får vi:

1+\mathop {\mathrm {tg} } \,^{2}\alpha =\mathop {\mathrm {sek} } \,^{2}\alpha ,

1+\mathop {\mathrm {ctg} } \,^{2}\alpha =\mathop {\mathrm {cosec} } \,^{2}\alpha .

Av definitionen av tangent och cotangens följer det att

\mathop{\mathrm{tg}}\,\alpha \cdot \mathop{\mathrm{ctg}}\,\alpha=1.

Vilken trigonometrisk funktion som helst kan uttryckas i termer av vilken annan trigonometrisk funktion som helst med samma argument (upp till ett tecken på grund av kvadratrotsexpansionens tvetydighet). Följande formler är korrekta för : $0<x<\pi /2$

	synd	cos	tg	ctg	sek	orsak
$\,\sin x=$	$\,\sin x$	${\sqrt {1-\cos ^{2}x}}$	${\displaystyle {\frac {\operatörsnamn {tg} x}{\sqrt {1+\operatörsnamn {tg} ^{2}x))))$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\operatörsnamn {ctg} ^{2}x+1))))$	${\frac {\sqrt {\sec ^{2}x-1)){\sec x))$	${\frac {1}{\operatörsnamn {cosec} x))$
$\,\cos x=$	$\,{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}$	$\,\cos x$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {1+\operatörsnamn {tg} ^{2}x))))$	${\displaystyle \,{\frac {\operatörsnamn {ctg} x}{\sqrt {\operatörsnamn {ctg} ^{2}x+1))))$	$\,{\frac {1}{\sek x}}$	$\,{\frac {\sqrt {\operatörsnamn {cosec} ^{2}x-1}}{\operatörsnamn {cosec} x}}$
$\,\operatörsnamn {tg} x=$	${\displaystyle \,{\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x))))$	$\,{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{\cos x}}$	$\,\operatörsnamn {tg} x$	$\,{\frac {1}{\operatörsnamn {ctg} x}}$	$\,{\sqrt {\sec ^{2}x-1))$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {\operatörsnamn {cosec} ^{2}x-1))))$
$\,\operatörsnamn {ctg} x=$	$\,{\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}x}}{\sin x}}$	${\displaystyle \,{\frac {\cos x}{\sqrt {1-\cos ^{2}x))))$	$\,{\frac {1}{\operatörsnamn {tg} x}}$	$\,\operatörsnamn {ctg} x$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}x-1))))$	$\,{\sqrt {\operatörsnamn {cosec} ^{2}x-1))$
$\,\sec x=$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}x))))$	$\,{\frac {1}{\cos x))$	$\,{\sqrt {1+\operatörsnamn {tg} ^{2}x}}$	$\,{\frac {\sqrt {\operatörsnamn {ctg} ^{2}x+1}}{\operatörsnamn {ctg} x}}$	$\,\sek x$	${\displaystyle \,{\frac {\operatörsnamn {cosec} x}{\sqrt {\operatörsnamn {cosec} ^{2}x-1))))$
$\,\operatörsnamn {cosec} x=$	$\,{\frac {1}{\sin x}}$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}x))))$	$\,{\frac {\sqrt {1+\operatörsnamn {tg} ^{2}x}}{\operatörsnamn {tg} x}}$	$\,{\sqrt {\operatörsnamn {ctg} ^{2}x+1}}$	${\displaystyle \,{\frac {\sec x}{\sqrt {\sec ^{2}x-1))))$	$\,\operatörsnamn {cosec} x$

Kontinuitet

Sinus och cosinus är kontinuerliga funktioner .
Tangent och sekant har brytpunkter , där är vilket heltal som helst . $\pi /2+\pi k$ $k$
Cotangensen och cosecanten har diskontinuitetspunkter , där är vilket heltal som helst . $\pik$ $k$

Paritet

Cosinus och sekant är jämna . De återstående fyra funktionerna är udda , det vill säga:

\sin \left( - \alpha \right) = - \sin \alpha \,,

\cos \left( - \alpha \right) = \cos \alpha \,,

\mathop{\mathrm{tg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,,

\mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,,

\sec \left( - \alpha \right) = \sec \alpha \,,

\mathop{\mathrm{cosec}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{cosec}}\, \alpha \,.

Periodicitet

Funktioner är periodiska med period , funktioner och är med period . $\sin x,\;\cos x,\;\sec x,\;\mathrm {cosec} \,x$ $2\pi$ $\mathrm {tg} \,x$ $\mathrm {ctg} \,x$ $\pi$

Casting formler

Reduktionsformler kallas formler av följande form:

f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha ),

f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha ),

f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2))+\alpha \right)=\pm g(\alpha ),

f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha ).

Här - vilken trigonometrisk funktion som helst, - dess motsvarande kofunktion (det vill säga cosinus för sinus, sinus för cosinus, tangent för cotangent, cotangens för tangent, sekant för cosecant och cosecant för sekant), - ett heltal . Den resulterande funktionen föregås av tecknet som den ursprungliga funktionen har i en given koordinatfjärdedel, förutsatt att vinkeln är spetsig, till exempel: $f$ $g$ $n$ $\alfa$

\cos \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha\,,

eller vad är detsamma:

\cos \left( 90^\circ - \alpha \right) = \sin \alpha\,.

Några gjutformler:

$\alfa$	$\frac{\pi}{2} - \alfa$	$\frac{\pi}{2} + \alpha$	$\pi -\alpha$	$\pi +\alpha$	$\frac{3\,\pi}{2} - \alfa$	$\frac{3\,\pi}{2} + \alpha$	$2\,\pi - \alfa$
$\sin\alfa$	$\cos\alpha$	$\cos\alpha$	$\sin\alfa$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$
$\cos\alpha$	$\sin\alfa$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$	$\sin\alfa$	$\cos\alpha$
$\operatörsnamn{tg}\,\alpha$	$\operatörsnamn{ctg}\,\alpha$	$-\operatörsnamn{ctg}\,\alpha$	$-\operatörsnamn{tg}\,\alpha$	$\operatörsnamn{tg}\,\alpha$	$\operatörsnamn{ctg}\,\alpha$	$-\operatörsnamn{ctg}\,\alpha$	$-\operatörsnamn{tg}\,\alpha$
$\operatörsnamn{ctg}\,\alpha$	$\operatörsnamn{tg}\,\alpha$	$-\operatörsnamn{tg}\,\alpha$	$-\operatörsnamn{ctg}\,\alpha$	$\operatörsnamn{ctg}\,\alpha$	$\operatörsnamn{tg}\,\alpha$	$-\operatörsnamn{tg}\,\alpha$	$-\operatörsnamn{ctg}\,\alpha$

Reduktionsformlerna av intresse kan också enkelt erhållas genom att beakta funktioner på enhetscirkeln.

Additions- och subtraktionsformler

Värdena för de trigonometriska funktionerna för summan och skillnaden mellan två vinklar:

\sin\left( \alpha \pm \beta \right)= \sin\alpha \, \cos\beta \pm \cos\alpha \, \sin\beta,

\cos\left( \alpha \pm \beta \right)= \cos\alpha \, \cos\beta \mp \sin\alpha \, \sin\beta,

\operatörsnamn{tg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatörsnamn{tg}\,\alpha \pm \operatörsnamn{tg}\,\beta}{1 \mp \operatörsnamn{tg }\,\alpha \, \operatörsnamn{tg}\,\beta},

\operatörsnamn{ctg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatörsnamn{ctg}\,\alpha\,\operatörsnamn{ctg}\,\beta \mp 1}{\operatörsnamn{ctg }\,\beta \pm \operatörsnamn{ctg}\,\alpha}.

Liknande formler för summan av tre vinklar:

\sin \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \ beta \sin \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma,

\cos \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \alpha \cos \ beta \sin \gamma - \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma.

Formler för flera vinklar

Dubbelvinkelformler:

\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatörsnamn{tg}\,\alpha }{1 + \operatörsnamn{tg}^2\alpha} = \frac{2 \,\operatörsnamn{ctg}\,\alpha }{1 + \operatörsnamn{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatörsnamn{tg}\,\alpha + \operatörsnamn{ctg}\,\ alfa},

\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \ alpha = \frac{1 - \operatörsnamn{tg}^2 \alpha}{1 + \operatörsnamn{tg}^2\alpha} = \frac{\operatörsnamn{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatörsnamn{ ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatörsnamn{ctg}\,\alpha - \operatörsnamn{tg}\,\alpha}{\operatörsnamn{ctg}\,\alpha + \operatörsnamn{tg}\ ,\alfa},

\operatörsnamn{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatörsnamn{tg}\,\alpha}{1 - \operatörsnamn{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatörsnamn{ ctg}\,\alpha}{\operatörsnamn{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatörsnamn{ctg}\,\alpha - \operatörsnamn{tg}\,\alpha},

\operatörsnamn{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatörsnamn{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatörsnamn{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatörsnamn{ctg}\ ,\alpha - \operatörsnamn{tg}\,\alpha}{2}.

Trippelvinkelformler:

\sin\,3\alpha=3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha,

\cos\,3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha,

\operatörsnamn{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operatörsnamn{tg}\,\alpha - \operatörsnamn{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operatörsnamn{tg} ^2\,\alpha},

\operatörsnamn{ctg}\,3\alpha=\frac{\operatörsnamn{ctg}^3\,\alpha - 3\,\operatörsnamn{ctg}\,\alpha}{3\,\operatörsnamn{ctg}^2 \,\alpha - 1}.

Andra formler för flera vinklar:

\sin\,4\alpha=\cos\alpha \left(4\sin\alpha - 8\sin^3\alpha\right),

\cos\,4\alpha=8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1,

\operatörsnamn{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operatörsnamn{tg}\,\alpha - 4\,\operatörsnamn{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operatörsnamn {tg}^2\,\alpha + \operatörsnamn{tg}^4\,\alpha},

\operatörsnamn{ctg}\,4\alpha=\frac{\operatörsnamn{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operatörsnamn{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operatörsnamn{ ctg}^3\,\alpha - 4\,\operatörsnamn{ctg}\,\alpha},

\sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha,

\cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha,

\operatörsnamn{tg}\,5\alpha=\operatörsnamn{tg}\alpha\frac{\operatörsnamn{tg}^4\alpha-10\operatörsnamn{tg}^2\alpha+5}{5\operatörsnamn{tg }^4\alpha-10\operatörsnamn{tg}^2\alpha+1},

\operatörsnamn{ctg}\,5\alpha=\operatörsnamn{ctg}\alpha\frac{\operatörsnamn{ctg}^4\alpha-10\operatörsnamn{ctg}^2\alpha+5}{5\operatörsnamn{ctg }^4\alpha-10\operatörsnamn{ctg}^2\alpha+1},

\sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right)

följer av komplementformeln och Gaussformeln för gammafunktionen .

Från De Moivres formel kan följande allmänna uttryck för flera vinklar erhållas:

\sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k -1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha,

\cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\ sin^{2k}\alfa,

\mathrm{tg}(n\alpha)=\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[ (n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{tg}^{2k+1}\alpha)){\displaystyle{\sum\limits_{k =0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{tg}^{2k}\alpha}},

\mathrm{ctg}(n\alpha)=\frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[ n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{ctg}^{n-2k}\alpha)){\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[ (n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{ctg}^{n-2k-1}\alpha}},

där är heltalsdelen av talet , är binomialkoefficienten . $[n]$ $n$ $\binom{n}{k}$

Halvvinkelformler:

\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2)),\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,

\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2)),\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,

\operatörsnamn{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} ,

\operatörsnamn{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha} ,

\operatörsnamn{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha)),\quad 0 \leqslant \alpha < \pi ,

\operatörsnamn{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha)),\quad 0 < \alpha \leqslant \pi .

Fungerar

Formler för produkter av funktioner av två vinklar:

\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2)),

\sin\alpha \cos\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{2},

\cos\alpha \cos\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{2},

\operatörsnamn{tg}\,\alpha\,\operatörsnamn{tg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha- \beta) + \cos(\alpha+\beta)},

\operatörsnamn{tg}\,\alpha\,\operatörsnamn{ctg}\,\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\ beta)-\sin(\alpha-\beta)},

\operatörsnamn{ctg}\,\alpha\,\operatörsnamn{ctg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha- \beta) - \cos(\alpha+\beta)}.

Liknande formler för produkterna av sinus och cosinus av tre vinklar:

\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) + \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma ) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},

\sin\alpha \sin\beta \cos\gamma = \frac{-\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\ gamma) - \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4},

\sin\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) - \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma ) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},

\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma ) + \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4}.

Formler för produkterna av tangenter och kotangenter av tre vinklar kan erhållas genom att dividera höger och vänster del av motsvarande likheter som presenteras ovan.

Grader

\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{2))={\frac {\operatörsnamn {tg} ^{2}\,\alpha }{ 1+\operatörsnamn {tg} ^{2}\,\alpha }},

\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{2}}={\frac {\operatörsnamn {ctg}^{2}\,\alpha }{1+\ operatornamn {ctg}^{2}\,\alpha }},

\operatörsnamn {tg}^{2}\,\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{1+\cos 2\,\alpha }}={\frac {\operatörsnamn {sin} ^{2}\,\alpha }{1-\operatörsnamn {sin}^{2}\,\alpha }},

\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{1-\cos 2\,\alpha }}={\frac {\operatörsnamn {cos} ^{2}\,\alpha }{1-\operatörsnamn {cos} ^{2}\,\alpha }},

\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{4},

\cos^3\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{4},

\operatörsnamn{tg}^3\,\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha},

\operatörsnamn{ctg}^3\,\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha},

\sin^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},

\cos^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},

\operatörsnamn{tg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3} ,

\operatörsnamn{ctg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3} .

Belopp

\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2))\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2)),

\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2))\cos {\frac {\alpha -\beta }{2)),

\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2))\sin {\frac {\alpha -\beta }{2)),

\operatörsnamn {tg} \alpha \pm \operatörsnamn {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta )),

\operatörsnamn {ctg} \alpha \pm \operatörsnamn {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta )),

1\pm \sin {2\alpha }=(\sin \alpha \pm \cos \alpha )^{2},

\sin \alpha \pm \cos \alpha ={\sqrt {2}}\cdot \sin \left(\alpha \pm {\pi \over 4}\right).

Det finns utsikt:

A\sin \alpha +B\cos \alpha ={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\;\sin(\alpha +\phi ),

där vinkeln hittas från relationerna: $\phi$

\sin \phi ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2))))),

\cos \phi ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2))))

Universell trigonometrisk substitution

Alla trigonometriska funktioner kan uttryckas i termer av tangenten för en halv vinkel:

$\sin x={\frac {\sin x}{1}}={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}} {\sin ^{2}{\frac {x}{2}}+\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2\operatörsnamn {tg} {\frac {x}{2}}}{1+\operatörsnamn {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\cos x={\frac {\cos x}{1}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1 -\operatörsnamn {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatörsnamn {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\operatörsnamn {tg} ~x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {2\operatörsnamn {tg} {\frac {x}{2}}}{1- \operatörsnamn {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\operatörsnamn {ctg} ~x={\frac {\cos x}{\sin x))={\frac {1-\operatörsnamn {tg} ^{2}{\frac {x}{2} }}{2\operatörsnamn {tg} {\frac {x}{2}}}},$

$\sec x={\frac {1}{\cos x}}={\frac {1+\operatörsnamn {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1-\ operatornamn {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\operatorname {cosec} ~x={\frac {1}{\sin x}}={\frac {1+\operatörsnamn {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}} {2\operatörsnamn {tg} {\frac {x}{2}}}}.$

Undersökning av funktioner i matematisk analys

Nedbrytning till oändliga produkter

Trigonometriska funktioner kan representeras som en oändlig produkt av polynom:

\sin x=x\,\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2} }}\höger),

\cos x=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4x^{2}}{\pi ^{2}(2n+1)^{2 }}}\höger).

Dessa relationer gäller för alla värden av . $x$

Fortsatt bråk

Expandera tangenten till en fortsatt bråkdel :

\mathop {\rm {tg)) x={\frac {x}{1-{\frac {x^{2}}{3-{\frac {x^{2}}{5-{ \frac {x^{2}}{7-{\frac {x^{2}}{\ddots }}}}}}}}}}

Derivat och antiderivat

Alla trigonometriska funktioner är kontinuerligt och obegränsat differentierbara över hela definitionsdomänen:

$( \sin x )' = \cos x \,,$

$( \cos x )' = -\sin x \,,$

$(\operatörsnamn {tg} x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\operatörsnamn {tg} ^{2}x=\sec ^{2}x ,$

$(\operatörsnamn {ctg} x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-\operatörsnamn {cosec} ^{2}x,$

$(\sec x)'={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\sec x\operatörsnamn {tg} x,$

$( \operatörsnamn{cosec}~x)' = -\frac{\cos x}{\sin ^2 x}.$

Integralerna av trigonometriska funktioner på definitionsdomänen uttrycks i termer av elementära funktioner enligt följande [6] :

$\int\sin x\, dx = -\cos x + C \,,$

$\int\cos x\, dx = \sin x + C \,,$

$\int \operatörsnamn {tg} x\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C\,,$

$\int \operatörsnamn {ctg} x\,dx=\ln \left|\sin x\right|+C\,,$

$\int\sek x\, dx=\ln \vänster| \operatörsnamn{tg} \, \left( \frac {\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) \right|+ C \,,$

$\int \operatörsnamn{cosec}~ x\, dx=\ln \left| \operatörsnamn{tg} \, \frac{x}{2} \right|+ C.$

Trigonometriska funktioner för komplexa argument

Definition

Euler formel :

e^{i\vartheta }=\cos \vartheta +i\sin \vartheta .

Eulers formel gör det möjligt att definiera trigonometriska funktioner för komplexa argument i termer av exponenten , i analogi med hyperboliska funktioner , eller (med hjälp av serier ) som en analytisk fortsättning på deras verkliga motsvarigheter:

\sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}\, = \frac{\operatörsnamn{sh} iz }{i};

\cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = \frac{e^{iz} + e^{ -iz}}{2}\, = \operatörsnamn{ch}iz;

\operatorname{tg}\, z = \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{i(e^{iz} + e^{ -iz})};

\operatorname{ctg}\, z = \frac{\cos z}{\sin z} = \frac{i(e^{iz} + e^{-iz})}{e^{iz} - e^ {-iz}};

\sec z = \frac{1}{\cos z} = \frac{2}{e^{iz} + e^{-iz}};

\operatorname {cosec} \,z={\frac {1}{\sin z}}={\frac {2i}{e^{iz}-e^{-iz}}},

var

i^{2}=-1.

Följaktligen, på riktigt x :

\cos x=\operatörsnamn {Re} (e^{ix}),

\sin x=\operatörsnamn {Im} (e^{ix}).

De komplexa sinus och cosinus är nära besläktade med hyperboliska funktioner :

\sin(x+iy)=\sin x\,\operatörsnamn {ch} \,y+i\cos x\,\operatörsnamn {sh} \,y,

\cos(x+iy)=\cos x\,\operatörsnamn {ch} \,yi\sin x\,\operatörsnamn {sh} \,y.

De flesta av ovanstående egenskaper hos trigonometriska funktioner bevaras också i det komplexa fallet. Några ytterligare egenskaper:

komplex sinus och cosinus, till skillnad från verkliga, kan anta godtyckligt stora värden i absolut värde;
alla nollor i den komplexa sinus och cosinus ligger på den reella axeln.

Komplexa grafer

Följande diagram visar det komplexa planet och funktionsvärden markerade i färg. Ljusstyrkan återspeglar det absoluta värdet (svart är noll). Färgen ändras från argumentet och vinkeln enligt kartan .

Trigonometriska funktioner i det komplexa planet


$\sin \,z$	$\cos\,z$	$\operatörsnamn {tg} \,z$	$\operatörsnamn {ctg} \,z$	$\sec \,z$	$\operatörsnamn {cosec} \,z$

Namnhistorik

Sinuslinjen (linjen i fig. 2 ) kallades ursprungligen av indiska matematiker "arha-jiva" ("halvsträng", det vill säga hälften av ackordet i denna båge, eftersom en båge med ett ackord liknar en båge med en bågsträng ). Sedan släpptes ordet "arha" och sinuslinjen kallades helt enkelt "jiva". Arabiska matematiker, som översatte indiska böcker från sanskrit , översatte inte ordet "jiva" med det arabiska ordet "vatar", som betecknade bågsträng och ackord, utan transkriberade det med arabiska bokstäver och började kalla sinuslinjen "jiba" ( جيب ‎) . Eftersom korta vokaler inte anges på arabiska och det långa "och" i ordet "jiba" anges på samma sätt som halvvokalen "y", började araberna uttala namnet på sinuslinjen som "fok", som bokstavligen betyder "depression", "barm". När de översatte arabiska verk till latin , översatte europeiska översättare ordet "jaib" med det latinska ordet sinus - " sinus ", som har samma betydelse (det är i denna betydelse som det används som en anatomisk term sinus ). Termen " cosinus " ( lat. cosinus ) är en förkortning för lat. complementi sinus - ytterligare sinus. $AB$

Moderna förkortningar introducerade av William Oughtred och Bonaventura Cavalieri och inskrivna i Leonhard Eulers skrifter . $\synd$ $\cos$

Termerna " tangens " ( lat. tangens - rörande) och " sekans " ( lat. secans - secant) introducerades av den danske matematikern Thomas Fincke i sin bok Geometry of the Round (Geometria rotundi, 1583).

Termen trigonometriska funktioner introducerades av Klugel 1770 .

Senare introducerades även termerna för inversa trigonometriska funktioner - arcsine , arccosine , arctangent , arccotangent , arcsecant , arccosecant - genom att lägga till prefixet " båge " (från latin arcus - båge), - J. Lagrange m.fl.

Se även

Litteratur

Bermant A. F., Lyusternik L. A. Trigonometry. — M.: Nauka, 1967.
Trigonometriska funktioner - artikel från Great Soviet Encyclopedia . - M.: Soviet Encyclopedia , 1977. - T. 26. - S. 204-206.
Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Rättlinjär trigonometri // Handbok i matematik . - Ed. 7:a, stereotypt. - M . : Statens förlag för teknisk och teoretisk litteratur, 1967. - S. 179-184.
Vygodsky M. Ya. Handbok i elementär matematik . — M .: Nauka, 1978.
- Återutgivning: M.: AST, 2006. - 509 sid. — ISBN 5-17-009554-6 www.alleng.ru/d/math/math42.htm
Dwight GB Trigonometriska funktioner // Tabeller över integraler och andra matematiska formler. - 4:e uppl. - M . : Nauka, 1973. - S. 70-102.
Kozheurov P.A. Trigonometri. — M.: Fizmatgiz, 1963.
Markushevich A.I. Stora bihålor. — M.: Nauka, 1974.
Matematisk uppslagsverk / Kap. ed. I. M. Vinogradov. - M .: Soviet Encyclopedia, 1984. - I. M. Vinogradov. Trigonometriska funktioner // Matematisk uppslagsverk. — M.: Sovjetiskt uppslagsverk . - 1977-1985. (ryska)
Trigonometriska funktioner // Encyclopedic Dictionary of a Young Mathematician / Ed. collegium, Gnedenko B.V. (chefredaktör), Savin A.P. och andra - M .: Pedagogy , 1985 (1989). - S. 299-301-305. - 352 s., ill. - ISBN 5-7155-0218-7 (s. 342 , 343 - tabeller över trigonometriska funktioner 0 ° -90 °, inklusive i radianer)
Trigonometriska funktioner // Handbok i matematik (för gymnasieskolor) / Tsypkin A. G., ed. Stepanova S. A. - 3:e uppl. — M.: Nauka, Ch. upplagan av Phys.-Math. Litteratur, 1983. - S. 240-258. — 480 s.

Länkar

GonioLab - förtydligade enhetscirkel, trigonometriska och hyperboliska funktioner (Java Web Start)
Weisstein, Eric W. Trigonometric Functions (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Onlineräknare: beräkna värdena för trigonometriska funktioner (inklusive att hitta vinklarna för en triangel vid sidan av)
Interaktiv karta över trigonometriska funktionsvärden
Trigonometriska tabeller (0° - 360°)
"Sinus och cosinus är procentsatser" - Hur man lär sig trigonometri intuitivt | Bättre förklarad _

Anteckningar

↑ Handbok: Korn G., Korn T. Handbok i matematik (för vetenskapsmän och ingenjörer) . - M . : Nauka, 1973. - 720 sid. En 19 januari 2015 arkivkopia på Wayback Machine listar dem som specialfunktioner .
↑ Matematiskt tecken. // Stora sovjetiska encyklopedin . 1:a uppl. T. 27. - M., 1933.
↑ Handbok i elementär matematik, 1978 , sid. 271-272.
↑ Handbok i elementär matematik, 1978 , sid. 282-284.
↑ Ilyin V. A. , Poznyak E. G. Fundamentals of matematisk analys. Del 1. - M . : Nauka , 1998. - ISBN 5-02-015231-5 .
↑ I formler som innehåller en logaritm på höger sida av likheterna är integrationskonstanterna generellt sett olika för olika kontinuitetsintervall. $\scriptstyle C$

Ordböcker och uppslagsverk

I bibliografiska kataloger
BNF : 12168469v GND : 4186137-1 J9U : 987007548881405171 LCCN : sh85137518 NDL : 00570156 NKC : ph923034

Trigonometri
Allmän	Trigonometri översikt Berättelse Användande Funktioner Omvänd Sällan använd Generaliserad trigonometri
Katalog	Identiteter Exakta konstanter tabeller enhetscirkel
Lagar och satser	Sinussats Pythagoras sats Cosinussats Tangentsats Cotangenssats Lösa trianglar
Matematisk analys	Trigonometrisk substitution Integraler ( omvända funktioner ) Derivat