Gudermann funktion

Gudermannfunktionen ( Gudermansk , eller hyperbolisk amplitud [1] ) är en funktion som visar sambandet mellan trigonometriska och hyperboliska funktioner utan att involvera komplexa tal . Uppkallad efter den tyske matematikern Christoph Gudermann . Betecknas eller förekommer i problemet med att kartlägga ett plan på en sfär i Mercators kartprojektion . $\operatörsnamn {gd} x,\,\operatörsnamn {amph} x$ $\gamma (x).$

Definition och egenskaper

Gudermannian definieras enligt följande:

\operatörsnamn {gd} x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\operatörsnamn {ch} \,t)).

Grundtal som ibland används som alternativa definitioner:

\operatörsnamn {gd} x\,=2\,\operatörsnamn {arctg} \left(\operatörsnamn {th} {\frac {x}{2}}\right)\,=\,2\,\ operatörsnamn {arctg} \,e^{x}-{\pi \över 2}\,=\,\operatörsnamn {arctg} (\operatörsnamn {sh} x)=\,\arcsin(\operatörsnamn {th} x) .

Det finns också följande identiteter, som förbinder de trigonometriska och hyperboliska funktionerna genom Gudermann:

\operatörsnamn {th} {\frac {x}{2}}=\operatörsnamn {tg} {\frac {\operatörsnamn {gd} x}{2}}

\operatörsnamn {sh} x=\operatörsnamn {tg} (\operatörsnamn {gd} x)

\operatörsnamn {ch} x=\sec(\operatörsnamn {gd} x)

\operatörsnamn {th} x=\sin(\operatörsnamn {gd} x)\

\operatörsnamn {sech} x=\cos(\operatörsnamn {gd} x)\

\operatörsnamn {csch} x=\operatörsnamn {ctg} (\operatörsnamn {gd} x)\

\operatörsnamn {cth} x=\operatörsnamn {cosec} (\operatörsnamn {gd} x)\

Gudermann är en udda , strikt ökande funktion definierad på hela tallinjen. Dess intervall ligger på intervallet (−π/2, π/2) . Värdena ±π/2 är asymptoter för funktionen som dess argument tenderar att göra $\pm \infty .$

Med hjälp av definitionen av Gudermann-funktionen kan man utvidga dess definitionsdomän till det komplexa planet. För det komplexa argumentet z = x + iy gäller följande identiteter:

\operatörsnamn {tg} \operatörsnamn {Re} (\operatörsnamn {gd} z)={\frac {\operatörsnamn {sh} x}{\cos y)),

\operatörsnamn {th} \operatörsnamn {Im} (\operatörsnamn {gd} z)={\frac {\sin y}{\operatörsnamn {ch} x)),

\operatörsnamn {th} x={\frac {\sin \operatörsnamn {Re} (\operatörsnamn {gd} z)}{\operatörsnamn {ch} \operatörsnamn {Im} (\operatörsnamn {gd} z)} },

\operatörsnamn {tg} y={\frac {\operatörsnamn {sh} \operatörsnamn {Im} (\operatörsnamn {gd} z)}{\cos \operatörsnamn {Re} (\operatörsnamn {gd} z)} },

såväl som

\operatörsnamn {th} x\cdot \operatörsnamn {tg} y=\operatörsnamn {tg} \operatörsnamn {Re} (\operatörsnamn {gd} z)\cdot \operatörsnamn {th} \operatörsnamn {Im} (\ operatörsnamn {gd} z).

Relationen mellan Gudermann och exponentialfunktionen ges av identiteterna:

e^{x}=\sec \operatörsnamn {gd} x+\operatörsnamn {tg} \operatörsnamn {gd} x=\operatörsnamn {tg} {\frac {\pi +2\operatörsnamn {gd} x}{ 4))={\frac {1+\sin \operatörsnamn {gd} x}{\cos \operatörsnamn {gd} x)).

Invers funktion

Den omvända funktionen till Gudermann-funktionen:

\operatörsnamn {arcgd} x\,=\,{\operatörsnamn {gd} }^{-1}x\,=\,\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt} {\cos t).

Den kallas antigudermann , såväl som lambertian eller Lambert-funktionen (till ära av Johann Lambert ), och betecknas också som eller Den, liksom Gudermann-funktionen, används i teorin om att konstruera kartprojektioner; den låter dig gå från den geografiska latituden för en punkt på en sfär till den vertikala koordinaten för bilden av en punkt i Mercator-projektionen (se även Integral av sekanten ). Grundläggande identiteter för Lambert-funktionen: $\operatörsnamn {lam} x$ $\operatörsnamn {arcgd} x.$

\operatörsnamn {arcgd} x\,=\,\operatörsnamn {arch} (\sec x)=\operatörsnamn {arth} (\sin x)=\operatörsnamn {arsh} (\operatörsnamn {tg} x)\ ,=\,\ln {\bigl (}(1+\sin(x))\cdot \sec x{\bigr )}\,=\,\ln(\operatörsnamn {tg} x+\sec x)=\ ln {\biggl (}\!\operatörsnamn {tg} \left({\frac {\pi}{4))+{\frac {x}{2))\right)\!\!{\biggr )} \,=\,{\frac {1}{2}}\ln {\biggl (}{\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}{\biggr )}.

Det finns också följande identiteter som förbinder de trigonometriska och hyperboliska funktionerna genom Lambertian:

{\begin{aligned}\operatörsnamn {sh} \left(\operatörsnamn {arcgd} x\right)&=\operatörsnamn {tg} x;&\quad \operatörsnamn {ch} \left(\operatörsnamn {arcgd) } x\right)&=\sec x;\\\operatörsnamn {th} \left(\operatörsnamn {arcgd} x\right)&=\sin x;&\quad \;\operatörsnamn {sch} \left(\ operatörsnamn {arcgd} x\right)&=\cos x;\\\operatörsnamn {cth} \left(\operatörsnamn {arcgd} x\right)&=\operatörsnamn {cosec} x;&\quad \,\operatörsnamn { csch} \left(\operatörsnamn {arcgd} x\right)&=\operatörsnamn {ctg} x;\\\operatörsnamn {th} \left({\frac {\operatörsnamn {arcgd} x}{2))\right )&=\operatörsnamn {tg} {\frac {x}{2));&\quad \,\operatörsnamn {cth} \left({\frac {\operatörsnamn {arcgd} x}{2}}\right) &=\operatörsnamn {ctg} {\frac {x}{2}}.\\\end{aligned}}\,\!

Lambertian är en udda, strikt ökande funktion definierad på intervallet (−π/2, π/2) . Dess intervall ligger i intervallet Liksom Gudermann-funktionen kan den generaliseras till ett komplext argument. $\pm \infty .$

Gudermann-funktionen och Lambert-funktionen är relaterade av följande relation:

\operatörsnamn {gd} (ix)\,=\,i\operatörsnamn {arcgd} x,

varav även relationerna följer

\operatörsnamn {gd} (i\operatörsnamn {gd} x)=ix,\qquad \operatörsnamn {arcgd} (i\operatörsnamn {arcgd} x)=ix.

Derivat, serier och integraler

Derivaterna av Gudermann-funktionen och den inversa Gudermann-funktionen är lika med den hyperboliska respektive den trigonometriska sekanten:

{d \over dx}\,\operatörsnamn {gd} x=\operatörsnamn {sech} x,

{d \over dx}\,\operatörsnamn {arcgd} x=\sek x.

Expansion i rad:

\operatorname {gd} x=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{24}}-{\frac {61x^{7 }}{5040}}+{\frac {277x^{9}}{72576}}+\dots ,

\operatorname {arcgd} x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{24}}+{\frac {61x^{7} }{5040}}+{\frac {277x^{9}}{72576}}+\dots

Utvidgningskoefficienterna för Gudermann och anti-Gudermann för termer av samma grad sammanfaller i absolut värde, men för termer med grader av 3, 7, 11, ... är expansionskoefficienterna för Gudermann negativa, medan de för den omvända funktionen är positiv.

Integral av Gudermann-funktionen:

\int \operatörsnamn {gd} zdz=-{\frac {\pi }{2}}z+i\left(\operatörsnamn {Li_{2}} (-dvs^{x})-\operatörsnamn { Li_{2}} (dvs.^{x})\höger),

där Li 2 är dilogaritmen .

Gudermann och anti-gudermann, som gör det lätt att övergå från hyperboliska till trigonometriska funktioner och vice versa, används för analytisk integration med metoden trigonometrisk och hyperbolisk substitution.

Litteratur

Gradshtein I. S., Ryzhik I. M. Tabeller över integraler, summor, serier och produkter. M.: Stat. Publishing House of Phys.-Math. litteratur. 1963. 1100 sid.
Yanpolsky A. R. Hyperboliska funktioner. M.: Stat. Publishing House of Phys.-Math. litteratur. 1960, s. 47-50.
Yanke E., Emde F., Losh F. Hyperbolisk amplitud (Gudermann) // Specialfunktioner: formler, grafer, tabeller / Per. från den 6:e reviderade tyska upplagan, red. L. I. Sedova. - M . : Nauka, 1964. - S. 33-34. — 344 sid.
Brusilovsky GK Integration med hyperboliska funktioner och Gudermannians // Matematisk utbildning. Samling av artiklar om grundläggande och principer för högre matematik. Nummer 13. / Ed. R. N. Bonchkovsky. - M. - L. : ONTI, 1938. - 80 sid. - 5000 exemplar.

Länkar

Weisstein, Eric W. Gudermann -funktionen hos Wolfram MathWorld .

Anteckningar

↑ Namnet "hyperbolisk amplitud" föreslogs av Güell 1864.