Integral av sekant

Integrationen av den trigonometriska sekantfunktionen var föremål för ett av de "olösta problemen under mitten av 1600-talet", som löstes 1668 av James Gregory [1] . År 1599 uppskattade Edward Wright integralen med hjälp av numeriska metoder - vad vi idag kallar Riemanns summor [2] . Han hittade en lösning för kartografins syfte - nämligen att bygga exakta Mercatorprojektioner [1] . På 1640-talet jämförde Henry Bond, en lärare i navigering, lantmäteri och andra matematiska discipliner, Wrights numeriska tabeller av sekantintegraler med tabeller över logaritmer av tangent , och drog hypotetiskt slutsatsen [1] att

\int \sec x\,dx=\ln \left|\operatörsnamn {tg} \left({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right) \right|+C.

Denna hypotes har blivit allmänt känd. Isaac Newton nämner henne i sina brev 1665 [3] [4] .

Även om Gregory bevisade Bonds gissning 1668 i hans Exercitationes Geometricae , löste Isaac Barrow 1670 i Geometrical Lectures problemet med en mer elegant metod. Hans lösning var den tidigaste användningen av bråkexpansion vid integration [1] . I enlighet med modern notation börjar Barrows lösning så här:

\int \sec x\,dx=\int {\frac {dx}{\cos x}}=\int {\frac {\cos x\,dx}{\cos ^{2}x}} =\int {\frac {\cos x\,dx}{1-\sin ^{2}x}}=\int {\frac {dt}{1-t^{2}}}.

Detta förenklar problemet med att hitta antiderivativa rationella funktioner genom att använda expansion av bråk. Den ytterligare lösningen av problemet är som följer:

{\begin{aligned}\int {\frac {dt}{1-t^{2}}}&=\int {\frac {dt}{(1-t)(1+t))) =\int \left({\frac {1/2}{1+t}}+{\frac {1/2}{1-t}}\right)\,dt=\\[10pt]&={ \frac {1}{2}}\ln \left|1+t\right|-{\frac {1}{2}}\ln \left|1-t\right|+C={\frac {1 }{2}}\ln \left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|+C.\end{aligned}}

Och slutligen, efter att ha utfört den omvända substitutionen , återgår vi till funktionen för variabeln x . Slutligen kan integralen skrivas i följande likvärdiga former: $t=\sin x,$

\int \sec x\,dx=\left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {1+\sin x} {1-\sin x}}\right|+C\\[15pt]\ln \left|\sec x+\operatörsnamn {tg} x\right|+C\\[15pt]\ln \left|\operatörsnamn { tg} \left({\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C\\[15pt]\operatörsnamn {arsh} \left(\operatörsnamn {tg} x\right)+C=\operatörsnamn {arch} \left(\sec x\right)+C=\operatörsnamn {arth} \left(\sin x\right)+C\\[15pt]\end {array}}\right\}=\operatörsnamn {lam} x+C.

Här betecknas Lambertian som en funktion invers till Gudermann-funktionen . Mercator-projektionen av en sfär på ett plan beskrivs exakt av denna funktion, som ger beroendet av den vertikala koordinaten y för projektionspunkten på den geografiska latituden x för prototyppunkten: y = lam x . $\operatörsnamn {lam} x$

Integralen kan också tas med den universella trigonometriska substitutionen , men i det här fallet kommer lösningen att se något mer komplicerad ut än den som ges ovan.

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 V. Frederick Rickey och Philip M. Tuchinsky, "An Application of Geography to Mathematics: History of the Integral of the Secant", Mathematics Magazine , volym 53, nummer 3, maj 1980, sidorna 162-166.
↑ Edward Wright , Certaine Errors in Navigation, Rising antingen of the ordinaire orerronous making or vsing of the sea Chart, Compass, Crosse staffe, and Tables of the declination of the Sunne, and fix Starres detekted and corrected , Valentine Simms, London, 1599.
↑ HW Turnbull, redaktör, The Correspondence of Isaac Newton , Cambridge University Press, 1959-1960, volym 1, sidorna 13-16 och volym 2, sidorna 99-100.
↑ D.T. Whiteside, redaktör, The Mathematical Papers of Isaac Newton , Cambridge University Press, 1967, volym 1, sidorna 466-467 och 473-475.

Se även

sekanten

Länkar

Rickey och Tuchinskys papper om denna integrals historia