Funktionell ekvation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 3 december 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

En funktionell ekvation är en ekvation som uttrycker förhållandet mellan värdet av en funktion vid en punkt och dess värden vid andra punkter. Många egenskaper hos funktioner kan bestämmas genom att undersöka de funktionella ekvationer som dessa funktioner uppfyller. Termen "funktionell ekvation" används ofta för ekvationer som inte kan reduceras på ett enkelt sätt till algebraiska ekvationer . Denna irreducerbarhet beror oftast på det faktum att argumenten för den okända funktionen i ekvationen inte är de oberoende variablerna själva, utan vissa data för funktionen från dem.

Exempel

Funktionell ekvation:

f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f( 1-s)

var är Eulers gammafunktion , uppfyller Riemanns zetafunktion . $\Gamma(z)$ $\zeta$

Gammafunktionen är den enda lösningen på detta system med tre ekvationer:

{\displaystyle f(x)={f(x+1) \över x))

f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {{\sqrt {\pi }}}{2^{{2y-1}}}}f( 2 år)

{\displaystyle f(z)f(1-z)={\pi \över \sin(\pi z)))

( Eulers komplementformel )

Funktionell ekvation:

f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)

var är heltal som uppfyller likheten , det vill säga: $a,b,c,d$ $ad-bc=1$

{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}\,=1

definieras som en modulär form av beställning . $f$ $k$

Funktionella Cauchy-ekvationer:

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ — uppfyller alla linjära homogena funktioner , $f(x)=ax$
$f(x+y)=f(x)f(y)$ — uppfylla alla exponentialfunktioner , $f(x)=\exp \left(\alpha x\right)=a^{x}$
$f(xy)=f(x)+f(y)$ — uppfyller alla logaritmiska funktioner , $f(x)=\alpha \log \left(x\right)=\log _{a}\left(x\right)$
$f(xy)=f(x)f(y)$ — uppfylla alla kraftfunktioner . ${\displaystyle f(x)=\exp \left(\alpha \log \left(x\right)\right)=x^{a))$

Cauchy funktionella ekvationer reduceras till varandra. Så, ekvationen reduceras till ekvationen efter ersättningen (för detta är det naturligtvis nödvändigt att det inte är identiskt noll). I klassen av kontinuerliga funktioner och i klassen av monotona funktioner är de givna lösningarna de enda, förutom den degenererade lösningen . Men i bredare klasser av funktioner är mycket exotiska lösningar möjliga, se artikeln "Hamel's Basis" . $f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$ $g(y_{1}+y_{2})=g(y_{1})+g(y_{2})$ $g(y)=\log \left|f(\exp y)\right|$ $f(x)$ $f(x) \ekvivalent 0$

Övrig:

$f(x+y)+f(xy)=2[f(x)+f(y)]$ är en andragradsekvation eller parallellogramidentitet , uppfyller , ${\displaystyle f(x)=kx^{2))$
$f\left({\frac {x+y}{2}}\right)={\frac {f(x)+f(y)}{2}}$ är Jensens ekvation, uppfyller alla linjära funktioner , $f(x)=ax+b$
${\displaystyle f(x+y)f(xy)=f(x)^{2))$ är Lobachevsky-ekvationen (version av Jensen-ekvationen), uppfyller , ${\displaystyle f(x)=ac^{x))$
$f(x+y)+f(xy)=2[f(x)f(y)]$ är d'Alemberts ekvation,
$f(h(x))=f(x)+1$ — Abel ekvation ,
$f(h(x))=cf(x)$ är Schroeder-ekvationen , lösningen är Koenigs-funktionen associerad med funktionen . $\textstyle h(x)$

Återkommande relationer

En speciell typ av funktionella ekvationer är en rekursiv relation som innehåller en okänd funktion av heltal och en skiftoperator .

Linjära återfallsrelationer:

a(n)=\sum _{i=1,k}c_{i}\cdot a(ni)

(där är konstanter oberoende av ) har en teori analog med teorin för linjära differentialekvationer. Till exempel, för en linjär återkommande relation: ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{k))$ $n$

a(n)=3a(n-1)+4a(n-2)

det räcker med att hitta två linjärt oberoende lösningar, alla andra lösningar kommer att vara deras linjära kombinationer.

För att hitta dessa lösningar är det nödvändigt att ersätta en testfunktion med en obestämd parameter i återfallsrelationen och försöka hitta de för vilka denna återkommande relation kommer att vara uppfylld. För det givna exemplet får vi en andragradsekvation med två olika rötter , och därför kommer den allmänna lösningen för denna återkommande relation att vara en formel (konstanterna och väljs så att för och formeln ger de önskade värdena för kvantiteterna och ). I fallet med flera rötter av ett polynom fungerar funktioner och så vidare som ytterligare försökslösningar . ${\displaystyle a(n)=\lambda ^{n))$ $\lambda$ $\lambda$ $\lambda ^{2}=3\lambda +4$ $\lambda =-1$ $\lambda =4;$ ${\displaystyle a(n)=d_{1}4^{n}+d_{2}(-1)^{n))$ $d_{1}$ $d_{2}$ $n=1$ $n=2$ $a(1)$ $a(2)$ $n\lambda ^{n},$ $n^{2}\lambda ^{n}$

En av de välkända återfallsrelationerna är , som definierar Fibonacci-sekvensen . $a(n)=a(n-1)+a(n-2)$

Lösning av funktionella ekvationer

Det finns några generella metoder för att lösa funktionella ekvationer.

I synnerhet kan det vara användbart att tillämpa begreppet involution , det vill säga användningen av egenskaper hos funktioner för vilka ; de enklaste involutionerna: $f(f(x)) = x$

f(x) = -x

, , , .

f(x)={\frac {1}{x}}

f(x)={\frac {1}{1-x}}+1

f(x)=1-x

Exempel . För att lösa ekvationen:

f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}

för alla och , vi sätter : . Sedan och . Därefter sätter du : $x,y\in \mathbb {R}$ $f:\mathbb {R} \to R$ $x=y=0$ ${\displaystyle f(0)^{2}=f(0)^{2}+f(0)^{2))$ $f(0)^{2}=0$ $f(0)=0$ $y=-x$

{\displaystyle f(xx)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2))

{\displaystyle f(0)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2))

{\displaystyle 0=f(x)^{2}+f(-x)^{2))

Kvadraten på ett reellt tal är icke-negativt, och summan av icke-negativa tal är lika med noll om och endast om båda talen är lika med 0. Därför är , för alla och den enda lösningen på denna ekvation. $f(x)^{2}=0$ $x$ $f(x)\equiv 0$

Litteratur

Golovinskiy IA Tidig historia av analytiska iterationer och funktionella ekvationer. // Historisk och matematisk forskning. Moskva: Nauka, vol. XXV, 1980, sid. 25-51.
Kuczma M. På den funktionella ekvationen φn(x) = g(x). Ann. Polon. Matematik. 11 (1961) 161-175 .
Kuczma M. En introduktion till teorin om funktionella ekvationer och ojämlikheter. Warszawa-Krakow-Katowice: Polish Scientific Publishers & Silesian University, 1985.
Likhtarnikov LM Elementär introduktion till funktionella ekvationer. St Petersburg: Lan, 1997.

Länkar

Funktionella ekvationer: Exakta lösningar på EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Funktionella ekvationer: Index på EqWorld: The World of Mathematical Equations.
IMO-kompendiumtext om funktionella ekvationer vid problemlösning.