De Moivres formel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 19 april 2021; verifiering kräver 1 redigering .

De Moivres formel för komplexa tal säger att $z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$

z^{n}=r^{n}(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n}=r^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi )

[ett]

för någon . $n\in \mathbb {N}$

Historiskt sett bevisades De Moivres formel tidigare än Eulers formel :

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

följer dock omedelbart därav.

Applikation

En liknande formel är också tillämplig när man beräknar de n :te rötterna av ett komplext tal som inte är noll:

z^{1/n}={\big [}r{\big (}\cos(\varphi +2\pi k)+i\sin(\varphi +2\pi k){\big ) }{\big ]}^{1/n}=r^{1/n}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n))+i\sin {\frac {\ varphi +2\pi k}{n}}\right),

var . $k=0,1,\dots ,n-1$

Det följer av denna formel att de th rötterna av ett komplext tal som inte är noll alltid existerar, och deras antal är lika med . På det komplexa planet, som kan ses från samma formel, är alla dessa rötter hörn av en regelbunden n - gon inskriven i en cirkel med radie centrerad på noll. $n$ $n$ ${\sqrt[{n}]{r))$

När du från Moivre-formeln kan härleda värdena för trigonometriska funktioner för flera argument (till exempel sinus och cosinus för dubbla, trippel, etc. vinklar). $r=1$

Historik

Upptäckt av den engelske matematikern Abraham de Moivre .

Se även

Anteckningar

↑ § 3. Att höja ett komplext tal till en potens och extrahera en rot från ett komplext tal . scask.ru . Hämtad: 27 mars 2022. (obestämd)