Ortogonalt system

Ett ortogonalt system av element i ett vektorrum med en inre produkt är en delmängd av vektorer så att två av dem är ortogonala , det vill säga deras inre produkt är noll: $\left\{\varphi _{i}\right\}\subset H$

(\varphi _{i},\varphi _{j})=0

Ett ortogonalt system, om det är komplett, kan användas som grund för utrymme. I det här fallet kan nedbrytningen av vilket element som helst beräknas med formlerna: , där . $\vec a$ ${\vec a}=\summa _{{k}}\alpha _{i}\varphi _{i}$ $\alpha _{i}={\frac {({\vec {a)),\varphi _{i})}{(\varphi _{i},\varphi _{i))))))$

Det fall då normen för alla element kallas ett ortonormalt system . $||\varphi _{i}||=1$

Ortogonalisering

För alla linjärt oberoende system kan ett ortonormalt system konstrueras genom att tillämpa Gram-Schmidt-ortogonaliseringsprocessen .

Varje fullständigt linjärt oberoende system i ett ändligt dimensionellt utrymme är en bas. Från en enkel grund kan man därför gå över till en ortonormal basis.

Ortogonal nedbrytning

Vid nedbrytning av vektorerna i ett vektorrum på ortonormal basis förenklas beräkningen av skalärprodukten: , var och . ${\displaystyle ({\vec {a)),{\vec {b)))=\summa _{k}\alpha _{k}\beta _{k))$ ${\vec {a}}=\sum _{k}\alpha _{k}\varphi _{k}$ ${\vec {b}}=\sum _{k}\beta _{k}\varphi _{k}$

Ortogonalt system

Ortogonalisering

Ortogonal nedbrytning

Se även