Haar funktion

Haar-funktionen är en styckvis konstant funktion. Bestäms på intervallet . Sekvensen av Haar-funktioner bildar ett ortogonalt system. Det byggdes först av Alfred Haar [1] . Vilken funktion som helst som är Lebesgue-integrerbar på intervallet kan utökas till en serie Haar-funktioner som liknar expansionen till Fourier-serien : . $\left[0,1\right)$ $\left[0,1\right)$ $f(x)\sim c_{0}\chi _{0}^{(0)}(x)+\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{k=1} ^{2m}c_{m}^{(k)}\chi _{m}^{(k)}(x)$

Definition

De två första Haar-funktionerna definieras enligt följande:

\chi _{0}^{(0)}(x)=1

\chi _{0}^{(1)}(x)={\begin{cases}1,x\in \left[0,{\frac {1}{2}}\right)\\ 0,x={\frac {1}{2}}\\-1,x\in \left({\frac {1}{2}},1\right]\end{cases}}

Andra Haar-funktioner är definierade för alla naturliga : ${\displaystyle m\geqslant 1,1\leqslant k\leqslant 2^{m))$

\chi _{m}^{(k)}(x)={\begin{cases}{\sqrt {2^{m))},x\in \left({\frac {k-1 }{2^{m))},{\frac {k-{\frac {1}{2}}}{2^{m}}}\right)\\-{\sqrt {2^{m} )),x\in \left({\frac {k-{\frac {1}{2}}}{2^{m}}},{\frac {k}{2^{m}}}\ höger)\\0,x\in \left({\frac {l-1}{2^{m}}},{\frac {l}{2^{m}}}\right)\end{case }}

Här: . ${\displaystyle l\neq k,1\leqslant l\leqslant 2^{m))$

Egenskaper

Uppsättningen av Haar-funktioner är ett ortonormalt system [2] .
För en funktion som är Lebesgue-integrerbar konvergerar Haar-expansionen till denna funktion nästan överallt.
Haar-expansionen för en funktion konvergerar till den funktionen vid varje kontinuitetspunkt för den funktionen, och konvergerar enhetligt på varje intervall där funktionen är enhetligt kontinuerlig.

Anteckningar

↑ Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Functionsysteme, Dissertation (Gottingen, 1909); Matematik. Ann. 69 (1910), 331-371, 71 (1912), 33-53
↑ Aleksich, 1963 , sid. 55.

Litteratur

Aleksich G. Problem med konvergens av ortogonala serier. - M . : Utländsk litteratur, 1963. - 359 sid.