Binär logaritm

Den binära logaritmen är logaritmen med bas 2. Med andra ord är den binära logaritmen för ett tal lösningen på ekvationen $b$ $2^{x}=b.$

Den binära logaritmen för ett reellt tal existerar om det enligt ISO 31-11 betecknas med [1] eller . Exempel: $b$ $b>0.$ $\operatörsnamn {lb} b,$ $\operatörsnamn {lb} (b)$ $\log _{2}b$

\operatörsnamn{lb} 1=0;\, \operatörsnamn{lb} 2=1;\, \operatörsnamn{lb} 16=4

\operatörsnamn{lb} 0{,}5=-1;\, \operatörsnamn{lb} \frac{1}{256}=-8

Historik

Historiskt sett fann binära logaritmer sin första användning inom musikteorin när Leonhard Euler slog fast att den binära logaritmen för förhållandet mellan frekvenserna för två musikaliska toner är lika med antalet oktaver som skiljer en ton från en annan. Euler publicerade också en tabell över de binära logaritmerna för heltalen 1 till 8, upp till sju decimaler [2] [3] .

Med intåget av datavetenskap blev det klart att binära logaritmer behövdes för att bestämma antalet bitar som krävs för att koda ett meddelande . Andra områden där den binära logaritmen ofta används inkluderar kombinatorik , bioinformatik , kryptografi , sportturneringar och fotografi . En standardfunktion för att beräkna den binära logaritmen finns i många vanliga programmeringssystem.

Algebraiska egenskaper

Följande tabell antar att alla värden är positiva [4] :

	Formel	Exempel
Arbete	$\operatörsnamn {lb} (xy)=\operatörsnamn {lb} (x)+\operatörsnamn {lb} (y)$	$\operatörsnamn {lb} (256)=\operatörsnamn {lb} (16\cdot 16)=\operatörsnamn {lb} (16)+\operatörsnamn {lb} (16)=4+4=8$
Delningskvoten	$\operatörsnamn {lb} \!\left({\frac {x}{y}}\right)=\operatörsnamn {lb} (x)-\operatörsnamn {lb} (y)$	$\operatörsnamn{lb} \left(\frac{1}{32}\right) = \operatörsnamn{lb} (1) - \operatörsnamn{lb} (32) = 0 - 5 = -5$
Grad	$\operatörsnamn {lb} (x^{p})=p\operatörsnamn {lb} (x)$	$\operatörsnamn {lb} (1024)=\operatörsnamn {lb} (2^{10})=10\operatörsnamn {lb} (2)=10$
Rot	$\operatörsnamn {lb} {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\operatörsnamn {lb} (x)}{p}}$	$\operatörsnamn{lb} \sqrt{8} = \frac{1}{2}\operatörsnamn{lb} 8 = \frac{3}{2} = 1{,}5$

Det finns en uppenbar generalisering av formlerna ovan till fallet när negativa variabler är tillåtna, till exempel:

\operatörsnamn{lb} |xy| = \operatörsnamn{lb} (|x|) + \operatörsnamn{lb} (|y|),

\operatörsnamn{lb} \!\left|\frac xy \right| = \operatörsnamn{lb} (|x|) - \operatörsnamn{lb} (|y|),

Formeln för en produkts logaritm kan lätt generaliseras till ett godtyckligt antal faktorer:

\operatörsnamn{lb}(x_1 x_2 \dots x_n) = \operatörsnamn{lb} (x_1) + \operatörsnamn{lb} (x_2) + \dots + \operatörsnamn{lb} (x_n)

Förhållandet mellan binära, naturliga och decimala logaritmer:

\operatörsnamn{lb} x \approx 1{,}442695 \ln x

\operatörsnamn{lb} x \approx 3{,}321928 \lg x

Den binära logaritmfunktionen

Om vi betraktar det logaritmiska talet som en variabel får vi den binära logaritmfunktionen: . Den är definierad för alla värdeintervall: . Grafen för denna funktion kallas ofta logaritmen , det är inversen av funktionen . Funktionen är monotont ökande, kontinuerlig och differentierbar var den än definieras. Derivatan för det ges av formeln [5] : $y=\operatörsnamn {lb} x$ $x>0,$ $E(y)=(-\infty ;+\infty )$ $y=2^{x}$

\frac {d} {dx} \operatörsnamn{lb} x = \frac {\operatörsnamn{lb} e} {x}

Y- axeln är en vertikal asymptot eftersom: $(x=0)$

\lim_{x \to 0+0} \operatörsnamn{lb} x = - \infty

Applikation

Informationsteori

Den binära logaritmen för ett naturligt tal låter dig bestämma antalet siffror i den interna datorns ( bit ) representation av detta tal: $N$ $b(N)$

b(N) = \lgolv \operatörsnamn{lb} N \rgolv + 1

(parenteser anger heltalsdelen av talet)

Informationsentropi är ett mått på mängden information , även baserat på den binära logaritmen

Komplexiteten hos rekursiva algoritmer

Uppskattning av den asymptotiska komplexiteten hos rekursiva divide - and -eröv-algoritmer [6] såsom quicksort , fast Fourier-transform , binär sökning etc.

Combinatorics

Om ett binärt träd innehåller noder, är dess höjd inte mindre än (likhet uppnås om är en potens av 2) [7] . Följaktligen överstiger inte Strahler-Filosofov-talet för ett flodsystem med bifloder [8] . $n$ $\log _{2}n$ $n$ $n$ $\log _{2}n+1$

Den isometriska dimensionen av en partiell kub med hörn är inte mindre än antalet kanter på kuben inte mer än jämlikhet gäller när den partiella kuben är en hyperkubgraf [9] . $n$ $\log _{2}n.$ ${\frac {1}{2}}n\log _{2}n,$

Enligt Ramseys teorem innehåller en oriktad vertexgraf antingen en klick eller en oberoende uppsättning vars storlek beror logaritmiskt på . Den exakta storleken på denna uppsättning är okänd, men för närvarande innehåller bästa uppskattningar binära logaritmer. $n$ $n.$

Andra användningsområden

Antalet spelomgångar enligt det olympiska systemet är lika med den binära logaritmen för antalet deltagare i tävlingen [10] .

För att lösa frågan om hur många delar som ska delas en oktav krävs inom musikteori att hitta en rationell approximation för Om vi expanderar detta tal till en fortsatt bråkdel , tillåter den tredje konvergenta bråkdelen (7/12) oss för att motivera den klassiska uppdelningen av oktaven i 12 halvtoner [11] . $\log_2 \frac {3}{2} \approx 0{,}585.$

Anteckningar

↑ Ibland, särskilt i tyska upplagor, betecknas den binära logaritmen (från latinets logarithmus dyadis ), se Bauer, Friedrich L. Ursprung och grunder för beräkningar: I samarbete med Heinz Nixdorf MuseumsForum (engelska) . - Springer Science & Business Media , 2009. - P. 54. - ISBN 978-3-642-02991-2 . $\operatörsnamn {ld} b$
↑ Euler, Leonhard (1739), kapitel VII. De Variorum Intervallorum Receptis Appelationibus , Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae , Saint Petersburg Academy, sid. 102-112 , < http://eulerarchive.maa.org/pages/E033.html > Arkiverad 11 oktober 2018 på Wayback Machine .
↑ Tegg, Thomas (1829), Binära logaritmer , London encyclopaedia; eller, Universell ordbok för vetenskap, konst, litteratur och praktisk mekanik: omfattande en populär syn på det nuvarande kunskapsläget, Volym 4 , sid. 142–143 , < https://books.google.com/books?id=E-ZTAAAAYAAJ&pg=PA142 > Arkiverad 23 maj 2021 på Wayback Machine .
↑ Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics, 1978 , sid. 187..
↑ Logaritmisk funktion. // Matematisk uppslagsbok (i 5 volymer) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3.
↑ Harel, David; Feldman, Yishai A. Algoritmik: datorandan . - New York: Addison-Wesley, 2004. - S. 143 . - ISBN 978-0-321-11784-7 .
↑ Leiss, Ernst L. (2006), En programmerares följeslagare till algoritmanalys , CRC Press, sid. 28, ISBN 978-1-4200-1170-8 , < https://books.google.com/books?id=E6BNGFQ6m_IC&pg=RA2-PA28 > Arkiverad 12 augusti 2020 på Wayback Machine
↑ Devroye, L. & Kruszewski, P. (1996), On the Horton-Strahler number for random tries , RAIRO Informatique Théorique et Applications vol 30 (5): 443-456, doi : 10.1051/ita/199643005 , < https ://eudml.org/doc/92635 > Arkiverad 7 oktober 2015 på Wayback Machine .
↑ Eppstein, David (2005), The lattice dimension of a graph , European Journal of Combinatorics vol. 26 (5): 585–592 , DOI 10.1016/j.ejc.2004.05.001
↑ Kharin A. A. Organisation och hållande av tävlingar. Metodguide . - Izhevsk: UdGU, 2011. - S. 27.
↑ Shilov G. E. Enkel gamma. Musik skala enhet. Arkivexemplar daterad 22 februari 2014 på Wayback Machine M.: Fizmatgiz, 1963. 20 sid. Serien "Populära föreläsningar i matematik", nummer 37.

Litteratur

Vygodsky M. Ya. Handbok i elementär matematik . - ed. 25:e. - M .: Nauka, 1978. - ISBN 5-17-009554-6 .
Korn G., Korn T. Handbok i matematik (för forskare och ingenjörer) . - M . : Nauka, 1973. - 720 sid.
Fikhtengol'ts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl. - ed. 6:a. — M .: Nauka, 1966. — 680 sid.

Länkar

Tabell över binära logaritmer för heltal från 1 till 100. Arkiverad 12 augusti 2019 på Wayback Machine