Inversa hyperboliska funktioner

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 21 oktober 2021; kontroller kräver 5 redigeringar .

Inversa hyperboliska funktioner (även kända som areafunktioner eller areafunktioner ) är en familj av elementära funktioner som definieras som inversa funktioner till hyperboliska funktioner . Dessa funktioner bestämmer arean av sektorn för enhetshyperbolen x 2 − y 2 = 1 på samma sätt som de inversa trigonometriska funktionerna bestämmer längden på bågen av enhetscirkeln x 2 + y 2 = 1 . För dessa funktioner används ofta beteckningarna arcsinh, arcsh, arccosh, arcch, etc., även om sådana beteckningar strängt taget är felaktiga, eftersom prefixet arc är en förkortning för arcus (båge) och därför endast avser inversa trigonometriska funktioner , då som ar står för area . Mer korrekta beteckningar är arsinh, arsh, etc. och namnen invers hyperbolisk sinus , areasinus osv. Även [1] används namnen hyperbolisk areasin , hyperbolisk areakosinus , etc., men ordet " hyperbolisk " är överflödigt här, eftersom prefixet " område " tydligt indikerar att funktionen tillhör familjen av inversa hyperboliska funktioner . Ibland skrivs namnen på motsvarande funktioner med ett bindestreck : area-sinus , area-cosinus , etc.

I det komplexa planet är hyperboliska funktioner periodiska, och deras inversa funktioner är flervärdiga. Därför är det, liksom inversa trigonometriska funktioner, vanligt att skriva areafunktioner med stor bokstav om funktionsuppsättningen avses ( logaritmen i motsvarande funktionsdefinition förstås också som det allmänna värdet av logaritmen, betecknad av Ln). Huvudvärdena för motsvarande funktioner skrivs med en liten bokstav.

I rysk litteratur skiljer sig beteckningarna för de flesta direkta och inversa hyperboliska funktioner (liksom delar av trigonometriska funktioner) från de engelska beteckningarna.

Funktionsnamn	Beteckning i rysk litteratur	Beteckning i engelsk litteratur
areainus	arsh	arsinh, sinh −1
areacosinus	båge	arcosh, cosh -1
area tangent	arth	artanh, tanh −1
area tangent	arcth	arcoth, coth -1
areaecance	arsch, arsech	arsech, sech -1
areacosecant	arcsch	arcsch, csch− 1

Funktionsdefinitioner

I det komplexa planet kan huvudvärdena för funktioner bestämmas av formlerna:

areainus

\operatörsnamn {arsh}\,z=\ln(z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,);

areacosinus

\operatörsnamn {arch} \,z=\ln(z+{\sqrt {z^{2}-1)))

area tangent

\operatörsnamn {arth}\,z={\tfrac 12}\ln \left({\frac {1+z}{1-z}}\right);

area tangent

\operatörsnamn {arcth}\,z={\tfrac 12}\ln \left({\frac {z+1}{z-1}}\right);

areaecance

\operatorname {arsech} \,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt ({\frac {1}{z^{2}}}-1}} \höger);

areacosecant

\operatörsnamn {arcsch}\,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt ({\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\ höger).

Kvadratrötterna i dessa formler är de huvudsakliga värdena för kvadratroten (det vill säga om du representerar det komplexa talet z som i ), och de logaritmiska funktionerna är funktioner av den komplexa variabeln. För riktiga argument kan vissa förenklingar göras, till exempel, som inte alltid stämmer för kvadratrötternas huvudvärden. ${\sqrt {z}}={\sqrt {r}}\,e^{i\varphi /2},$ ${\displaystyle z=re^{i\varphi ))$ $-\pi <\varphi \leq \pi$ ${\sqrt {x+1}}{\sqrt {x-1}}={\sqrt {x^{2}-1)),$

Serieexpansion

Inversa hyperboliska funktioner kan utökas till serier :

{\begin{aligned}\operatörsnamn {arsh} \,x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}} +\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\ cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\summa _{n=0}^{\infty } \left({\frac {(-1)^{n}(2n-1)!!}{(2n)!!}}\höger){\frac {x^{2n+1}}{(2n+ 1 )}},\qquad \left|x\right|<1.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatörsnamn {arch} \,x&=\ln 2x-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2 }}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\ frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln 2x-\summa _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2))}\right){\frac { x^{-2n}}{(2n)}},\qquad x>1.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatörsnamn {arth} \,x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{ \frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1 )}},\qquad \left|x\right|<1.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatörsnamn {arcsch} \,x=\operatörsnamn {arsh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1 }{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac { x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7} }{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n }(n!)^{2))}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1. \end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatörsnamn {arsech} \,x=\operatörsnamn {arch} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left (\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4} }\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\summa _{n=1}^{\infty }\left( {\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatörsnamn {arcth} \,x=\operatörsnamn {arth} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{- 3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{ n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1.\end{aligned} }

Den asymptotiska expansionen av arsh x ges av

\operatörsnamn {arsh}\,x=\ln 2x+\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }{\left({-1}\right)^{{n-1}}{\ frac {{\left({2n-1}\right)!!}}{{2n\left({2n}\right)!!}}}}{\frac {1}{{x^{{2n} }}}}.

Derivater

Fungera $f(x)$	Derivat $f'(x)$	Notera
$\mathrm {arsh} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1))))$	Bevis ${\displaystyle (arsh(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}+1)))})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{ 2}+1))))\cdot (x+{\sqrt {x^{2}+1)))'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1))} }\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}+1)))')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1)))) \cdot (1+({\sqrt {x^{2}+1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1 +{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}+1))))\cdot (x^{2}+1)')={\frac {1}{x+{\sqrt { x^{2}+1))))\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+1)))))={\frac {1}{x+{ \sqrt {x^{2}+1))))\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}} )={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}+1}})\cdot ({\sqrt {x^{2} +1)))))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1))))$
$\mathrm {arch} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1))))$	Bevis ${\displaystyle (arch(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}-1)))})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{ 2}-1))))\cdot (x+{\sqrt {x^{2}-1)))'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1))} }\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}-1)))')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1)))) \cdot (1+({\sqrt {x^{2}-1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (1 +{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}-1))))\cdot (x^{2}-1)')={\frac {1}{x+{\sqrt { x^{2}-1))))\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}-1)))))={\frac {1}{x+{ \sqrt {x^{2}-1))))\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {x^{2}-1}}} )={\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})\cdot ({\sqrt {x^{2} -1)))))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {arth} \ x$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2))))$	Bevis $({\displaystyle \mathrm {arth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2))\cdot \ln {\biggl (}{\frac {1+x} {1-x}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\biggl ( }{\frac {1+x}{1-x}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^{2))}={\frac {1}{2} }\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {2}{(1-x)^{2}}}={\frac {1}{1-x^{ 2}}}$
$\mathrm {arcth} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2))))$	Bevis $({\displaystyle \mathrm {arcth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2))\cdot \ln {\biggl (}{\frac {x+1} {x-1}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\biggl ( }{\frac {x+1}{x-1}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)'}{(x-1)^{2))}={\frac {1}{2} }\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {-2}{(x-1)^{2}}}={\frac {1}{1-x^ {2}}}$
$\mathrm {arsech} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {\frac {1-x}{1+x))))))))$
$\mathrm {arcsch} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2))))))))))$