Verziera Agnesi

Verziera (versiera) Agnesi (ibland Agnesis lås ) är en plan kurva , platsen för punkter som förhållandet gäller , där är cirkelns diameter, är halvkordet i denna cirkel, vinkelrätt mot . Agnesi versiera fick sitt namn för att hedra den italienska matematikern Maria Gaetana Agnesi , som studerade denna kurva. $M$ $\textstyle {\frac {BM}{BC}}={\frac {OA}{OB}}$ $OA$ $före Kristus$ $OA$

Historik

Pierre Fermat hittade 1630 området i regionen mellan kurvan och dess asymptot. År 1703 beskrev Guido Grandi , oberoende av Fermat, konstruktionen av denna kurva, och i sitt arbete från 1718 kallade han den för en versiera ( italienska Versiera , från latin Versoria ), eftersom sinus-mot- funktionen användes i dess konstruktion . [ett]

1748 publicerade Maria Agnesi det välkända generaliserande verket Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana , där kurvan, liksom i Grandis verk, kallades en versionr. Av en slump hade det italienska ordet Versiera/Aversiera , härlett från latinets Adversarius , också betydelsen "häxa" (engelska häxa ) [2] . Kanske av denna anledning har Cambridge-professorn John Colson, som översatte Agnesis verk till engelska, felöversatt detta ord, vilket resulterade i att kurvan i engelsk litteratur ofta omnämns som häxan från Agnesi .

Ekvationer

$O=(0,0)$ , $A=(0,a)$

I ett rektangulärt koordinatsystem:

y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}

Slutsats

Koordinaterna för punkten som ligger på versionen är , . och per definition bygger vi proportionen $M$ $x=BM$ $y=OB$ $OA=a$

\textstyle {\frac {x}{BC}}={\frac {a}{y}}

Härifrån

\textstyle BC={\frac {xy}{a}}

Å andra sidan kan hittas från cirkelekvationen: $före Kristus$

\textstil \left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}+x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}

Vi vet , så vi uttrycker : $y=OB$ $x^{2}$

\textstyle x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}

Jämställ båda uttrycken för : $före Kristus$

\textstyle {\frac {x^{2}y^{2}}{a^{2}}}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac { a}{2}}\right)^{2}

Kvadratering, översättning och parentesering: $y^{2}$

\textstil \left({\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1\right)y^{2}=ay

Vi uttrycker y (y=0 är inte lämpligt per definition):

\textstil y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}

Om - detta inte är diametern utan cirkelns radie , då är ekvationen: $a$

\textstil y={\frac {8a^{3}}{4a^{2}+x^{2}}}

Parametrisk ekvation:

{\begin{cases}x=a\,\operatörsnamn {tg}\,\varphi \\y=a\cos ^{2}\varphi \end{cases))

, var är vinkeln mellan och

\varphi

OA

OC

Slutsats

Koordinaterna för en punkt bestäms unikt av vinkeln mellan och . Om , och , då enligt definitionen av en versioner, kan man komponera proportionen $M$ $\varphi$ $OB$ $OC$ $OB=y$ $BM=x$

\textstyle {\frac {OA}{y}}={\frac {x}{BC}}

$OA$ genom antagande är lika med . Från triangeln : , då $a$ $OBC$ $BC=y\,\operatörsnamn {tg}\,\varphi$

\textstyle {\frac {a}{y}}={\frac {x}{y\,\operatörsnamn {tg}\,\varphi }}

härifrån . Vi ersätter denna formel i ekvationen för kurvan: $x=a\,\operatörsnamn {tg}\,\varphi$

\textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+a^{2}\,\operatörsnamn {tg}^{2}\,\varphi }}

\textstyle y={\frac {a}{1+\,\operatörsnamn {tg}^{2}\,\varphi }}

Genom att använda identiteten får vi

y=a\cos ^{2}\varphi

I det polära systemet är versionra-ekvationen ganska komplicerad: för att hitta den måste du lösa kubikekvationen :

\textstyle \rho \sin {\varphi }={\frac {a^{3}}{a^{2}+\rho ^{2}\cos ^{{2}}\varphi }}

\textstyle \rho ^{3}(\cos ^{2}\varphi \sin \varphi )+\rho (a^{2}\sin \varphi )-a^{3}=0

Den resulterande formeln kommer dock att vara för komplex och besvärlig för att ha något praktiskt värde.

Egenskaper

Verzier är en kurva av tredje ordningen.
Diametern är kurvans enda symmetriaxel . $OA$
Kurvan har ett maximum - och två inflexionspunkter - $A(0;a)$ $\textstyle P_{{1,2}}\left(\pm {\frac {a}({\sqrt {3))));{\frac {3a}{4}}\right)$
I närheten av vertexet närmar sig versionen en cirkel med diameter . Punkten berörs, och kurvan sammanfaller med cirkeln. Detta visas av värdet på krökningsradien vid punkten : . $A$ $OA$ $A$ $A$ $\textstyle R_{A}={\frac {a}{2}}$
Arean under grafen . Den beräknas genom att integrera ekvationen över allt . $S=\pi a^{2}$ $\textstyle {\mathbb {R}}$
Volymen av versionens rotationskropp runt dess asymptot (axel ) . $OXE$ $\textstyle V={\frac {\pi ^{2}a^{3}}{2}}$

Byggnad

En cirkel med diameter och en tangent till den konstrueras. På en tangent väljs ett referenssystem med origo i kontaktpunkten. En rät linje byggs genom den valda tangentpunkten och cirkelpunkten mitt emot tangentpunkten. Denna linje skär cirkeln någon gång. En linje parallell med tangenten dras genom denna punkt . Versionrpunkten ligger vid skärningspunkten för denna linje och vinkelrät mot tangenten vid den valda punkten. $a$

Intressanta fakta

Springboard - rampen för det ryska hangarfartyget Admiral of the Fleet of the Soviet Union Kuznetsov bildades av versioner Agnesi. När planet lämnar rampen är det i den ideala attackvinkeln med en hastighet av 180-200 km/h (för Su-27 ). Teoretiskt sett kan ett flygplan av vilken startvikt som helst lyfta från en språngbräda. [3]

Se även

Litteratur

Vygodsky M. Ya. Handbok för högre matematik. — M .: AST : Astrel , 2006.

Länkar

I. M. Vinogradov. Agnesi curl // Mathematical Encyclopedia. — M.: Sovjetiskt uppslagsverk . - 1977-1985. (ryska)
Enhetlig samling av digitala utbildningsresurser . Hämtad: 13 januari 2012. (obestämd)
Konstruktionsanimation . _ Tillträdesdatum: 13 januari 2012. Arkiverad från originalet den 14 mars 2012.
Artikel i Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (fr.) . Hämtad 15 juni 2010. Arkiverad från originalet 14 mars 2012.
Artikel på Wolfram MathWorlds webbplats . Hämtad: 15 juni 2010.
XahLee.org (engelska) . Hämtad: 13 januari 2012.
Leslie Pacher. Den matematiska "häxan" (eng.) (inte tillgänglig länk) . Tillträdesdatum: 13 januari 2012. Arkiverad från originalet den 14 mars 2012.

Anteckningar

↑ C. Truesdell . Rättelse och tillägg för 'Maria Gaetana Agnesi // Archive for History of Exact Science. - 1991. - Vol. 43. - s. 385-386. - doi : 10.1007/BF00374764 .
↑ Pietro Fanfani . Vocabolario dell' uso toscano, sid. 334 Arkiverad 2 maj 2014 på Wayback Machine
↑ En skönhets krullning och en jättes armborst: trådsimulatorn - det förflutna och framtiden . Hämtad 21 augusti 2012. Arkiverad från originalet 20 april 2012. (obestämd)

Ordböcker och uppslagsverk	Stor norsk Britannica (online) Treccani

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje inverterad välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta