Riktigt nummer

Ett reellt tal ( ett reellt tal [1] ) är ett matematiskt objekt som uppstod från behovet av att mäta de geometriska och fysiska storheterna i världen omkring oss, samt att utföra sådana beräkningsoperationer som att extrahera en rot , beräkna logaritmer , lösa algebraiska ekvationer , studera funktioners beteende [2] .

Om naturliga tal uppstod i processen att räkna, rationella tal - från behovet av att arbeta med delar av en helhet, är reella tal avsedda för att mäta kontinuerliga kvantiteter. Sålunda har expansionen av beståndet av siffror under övervägande lett till uppsättningen av reella tal, som förutom rationella tal inkluderar element som kallas irrationella tal .

Visuellt kan begreppet ett reellt tal representeras med en tallinje . Om du väljer en riktning på en rät linje, en startpunkt och en längdenhet för att mäta segment, kan varje reellt tal associeras med en viss punkt på denna räta linje och omvänt kan varje punkt på den räta linjen associeras med något reellt tal, och bara ett. På grund av denna korrespondens används termen " tallinje " vanligtvis som en synonym för uppsättningen av reella tal.

Begreppet ett reellt tal har kommit en lång väg att bli. Till och med i det antika Grekland , i Pythagoras skola , som satte heltal och deras förhållanden som grund för allt, upptäcktes förekomsten av inkommensurabla storheter (inkommensurabiliteten av sidan och diagonalen på en kvadrat), det vill säga i modern terminologi , tal som inte är rationella. Efter detta gjorde Eudoxus av Cnidus ett försök att konstruera en allmän talteori som inkluderade inkommensurable kvantiteter. Efter det, i mer än två tusen år, kände ingen behov av en exakt definition av begreppet ett reellt tal, trots den gradvisa expansionen av detta begrepp [3] . Först under andra hälften av 1800-talet, när utvecklingen av matematisk analys krävde en strikten,rigor av nivåhögre,enav omstrukturering

Ur modern matematiks synvinkel är uppsättningen av reella tal ett kontinuerligt ordnat fält . Denna definition, eller motsvarande axiomsystem , definierar exakt begreppet ett reellt tal i den meningen att det bara finns ett, upp till isomorfism , kontinuerligt ordnat fält .

Uppsättningen av reella siffror har en standardnotation - R ("fet R"), eller , Unicode U+211D : ℝ) ( svart tavla fetstilt "R") från lat. realis - verklig. $\mathbb {R}$ $\mathbf {R}$

Historien om bildandet av begreppet ett reellt tal

Naiv teori om reella tal

Det första utvecklade numeriska systemet, byggt i antikens Grekland , inkluderade endast naturliga tal och deras förhållanden ( proportioner , i modern mening - rationella tal ). Det stod dock snart klart att detta inte var tillräckligt för geometri och astronomi: till exempel kan förhållandet mellan längden på en kvadrats diagonal och längden på dess sida inte representeras av varken ett naturligt eller ett rationellt tal [4] .

För att komma ur situationen introducerade Eudoxus av Cnidus , förutom siffror, ett bredare begrepp om en geometrisk kvantitet , det vill säga längden på ett segment, område eller volym. Teorin om Eudoxus har kommit ner till oss i utläggningen av Euklid (" Begynnelser ", bok V). I huvudsak är teorin om Eudoxus en geometrisk modell av reella tal. Ur en modern synvinkel är antalet med detta tillvägagångssätt förhållandet mellan två homogena storheter - till exempel den undersökta och den enda standarden. Det bör dock betonas att Eudoxus förblev trogen den gamla traditionen - han ansåg inte ett sådant förhållande som ett tal; på grund av detta, i Elementen, bevisas sedan många satser om egenskaperna hos tal på nytt för magnituder. Den klassiska teorin om Dedekind för konstruktion av reella tal är extremt lik i sina principer expositionen av Eudoxus. Eudoxus modell är dock ofullständig i vissa avseenden, som att inte ta med negativa tal.

Situationen började förändras under de första århundradena e.Kr. e. Redan Diophantus av Alexandria , i motsats till tidigare traditioner, betraktar bråk på samma sätt som naturliga tal, och i IV-boken i sin "Aritmetik" skriver han till och med om ett resultat: "Siffran visar sig inte vara rationell" [5] . Efter den antika vetenskapens död kom matematikerna i Indien och islams länder i förgrunden , för vilka varje resultat av mätning eller beräkning ansågs vara ett nummer. Dessa åsikter fick gradvis övertaget i det medeltida Europa [6] , där till en början rationella och irrationella (bokstavligen: ”orimliga”) siffror skiljdes åt (de kallades även imaginära, absurda, döva, etc.). En komplett ekvation i rättigheterna till irrationella tal är förknippad med skrifterna av Simon Stevin (slutet av 1500-talet), som proklamerade [5] :

Vi kommer till slutsatsen att det inte finns några absurda, irrationella, felaktiga, oförklarliga eller döva siffror, men att det bland siffrorna finns en sådan perfektion och enighet att vi behöver meditera dag och natt över deras fantastiska fullständighet.

Han, med vissa reservationer, legaliserade negativa tal och utvecklade också teorin och symboliken för decimalbråk , som från det ögonblicket börjar ersätta den obekväma sexagesimalen .

Ett sekel senare ger Newton i sin " Universal Arithmetic " ( 1707 ) den klassiska definitionen av ett (reellt) tal som förhållandet mellan mätresultatet och en enda standard [7] :

Med antal förstår vi inte så mycket en uppsättning enheter som ett abstrakt förhållande av någon kvantitet till en annan kvantitet av samma slag, taget som en enhet.

Länge ansågs denna tillämpade definition tillräcklig, så att praktiskt viktiga egenskaper hos reella tal och funktioner inte bevisades, utan ansågs intuitivt uppenbara (från geometriska eller kinematiska överväganden). Till exempel ansågs det självklart att en kontinuerlig kurva, vars punkter är belägna på motsatta sidor av en viss linje, skär denna linje. Det fanns inte heller någon strikt definition av begreppet kontinuitet [8] . Som en konsekvens innehöll många satser fel, vaga eller alltför breda formuleringar.

Även efter att Cauchy utvecklat en ganska rigorös grund för analys , förändrades inte situationen, eftersom teorin om reella tal, som analysen skulle förlita sig på, inte existerade. På grund av detta gjorde Cauchy många misstag och förlitade sig på intuition där det ledde till felaktiga slutsatser: till exempel trodde han att summan av en serie kontinuerliga funktioner alltid är kontinuerlig.

Skapande av en rigorös teori

Det första försöket att fylla en lucka i matematikens grunder gjordes av Bernard Bolzano i sin artikel "Rent analytiskt bevis på satsen att mellan två värden som ger resultat av motsatt tecken, finns det minst en den verkliga roten av ekvationen " ( 1817 ). Detta banbrytande arbete har ännu inte ett integrerat system av reella tal, men en modern definition av kontinuitet har redan getts och det visas att på grundval av detta kan satsen som nämns i titeln noggrant bevisas [9] . I ett senare arbete [10] ger Bolzano en översikt över den allmänna teorin om reella tal, som i idéer ligger nära Cantors mängdteori [11] , men hans verk förblev opublicerat under författarens livstid och publicerades endast år 1851. Bolzanos åsikter var långt före sin tid och drog inte till sig den matematiska gemenskapens uppmärksamhet.

Den moderna teorin om reella tal byggdes under andra hälften av 1800-talet, främst av Weierstrass , Dedekind och Cantors arbete . De föreslog olika men likvärdiga tillvägagångssätt till teorin om denna viktigaste matematiska struktur och separerade slutligen detta koncept från geometri och mekanik [12] .

Konstruktiva sätt att definiera ett reellt tal

Med en konstruktiv definition av begreppet ett reellt tal på basis av kända matematiska objekt (till exempel uppsättningen av rationella tal ), som tas som givna, byggs nya objekt, som i en viss mening speglar vår intuitiva förståelse för begreppet ett reellt tal. Den väsentliga skillnaden mellan de reella talen och dessa konstruerade objekt är att de förra, till skillnad från de senare, bara förstås av oss intuitivt och ännu inte är ett strikt definierat matematiskt begrepp. $\mathbb {Q}$

Dessa objekt förklaras vara reella tal. För dem introduceras de grundläggande aritmetiska operationerna, ordningsrelationen bestäms och deras egenskaper bevisas.

Historiskt sett var de första rigorösa definitionerna av ett reellt tal just de konstruktiva definitionerna. 1872 publicerades tre verk samtidigt: teorin om grundläggande sekvenser av Cantor , teorin om Weierstrass (i den moderna versionen - teorin om oändliga decimalbråk) och teorin om sektioner i regionen Dedekinds rationella tal [3] [ 13] .

Cantors teori om fundamentala sekvenser

I detta tillvägagångssätt betraktas ett reellt tal som gränsen för en sekvens av rationella tal. För att en sekvens av rationella tal ska konvergera, åläggs den Cauchy-villkoret :

\forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon ):\;\forall n>N(\varepsilon )\;\forall m>0\;|a_{n+m}-a_{n}|< \varepsilon

Innebörden av detta villkor är att medlemmarna i sekvensen, utgående från ett visst antal, kommer att ligga godtyckligt nära varandra. Sekvenser som uppfyller Cauchy-villkoret kallas fundamentala .

Vi betecknar det reella talet som definieras av den grundläggande sekvensen av rationella tal . $\{en}\}$ $[en}]$

Två reella tal

$\alpha =[a_{n}]$ och , $\beta =[b_{n}]$

definieras respektive av grundläggande sekvenser och , kallas lika om $\{en}\}$ $\{b_{n}\}$

\lim _{n\to \infty }\left(a_{n}-b_{n}\right)=0

Om två reella tal och ges , är deras summa och produkt talen som definieras av summan och produkten av sekvenserna respektive : $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\{en}\}$ $\{b_{n}\}$

\alpha +\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}+b_{n}]\qquad \alpha \cdot \beta {\overset {\text{def}}{= }}[a_{n}\cdot b_{n}]

Ordningsrelationen på mängden reella tal fastställs genom en överenskommelse enligt vilken talet per definition är större än talet , det vill säga om $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\alfa >\beta$

\exists \varepsilon >0\;\exists N:\;\forall n>N\;a_{n}\geqslant b_{n}+\varepsilon

Metoden för att konstruera uppsättningen av reella tal med hjälp av grundläggande sekvenser av rationella tal är ett specialfall av fullbordande av konstruktionen av ett godtyckligt metriskt utrymme . Som i det allmänna fallet är uppsättningen av reella tal som erhålls som ett resultat av komplettering i sig redan komplett , det vill säga den innehåller gränserna för alla grundläggande sekvenser av dess element.

Teori om oändliga decimaler

Ett reellt tal definieras som ett oändligt decimaltal , det vill säga ett uttryck för formen

\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

där det finns en av symbolerna eller , som kallas talets tecken, är ett icke-negativt heltal, är en sekvens av decimaler, det vill säga element i den numeriska uppsättningen . $\pm$ $+$ $-$ $a_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots a_{n},\ldots$ $\{0,1,\ldots 9\}$

Ett oändligt decimalbråk tolkas som ett tal som ligger på tallinjen mellan rationella punkter i formen

$\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}$ och för alla $\pm \left(a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}+10^{-n}\right)$ $n=0,1,2,\ldots$

Jämförelse av reella tal i form av oändliga decimalbråk utförs bit för bit. Till exempel med två icke-negativa tal

{\begin{matrix}\alpha &=+a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots \\\beta &=+b_{0},b_{1}b_{ 2}\ldots b_{n}\ldots \end{matris}}

Om , då ; om då . Vid jämställdhet fortsätter de att jämföra nästa siffra. Och så vidare. Om , då efter ett ändligt antal steg kommer den första siffran att påträffas så att . Om , då ; om då . $a_{0}<b_{0}$ $\alfa <\beta$ $a_{0}>b_{0}$ $\alfa >\beta$ $a_{0}=b_{0}$ $\alpha \neq \beta$ $n$ $a_{n}\neq b_{n}$ $a_{n}<b_{n}$ $\alfa <\beta$ $a_{n}>b_{n}$ $\alfa >\beta$

Det bör dock beaktas att antalet Därför, om posten för ett av de jämförda talen, med början från en viss siffra, är en periodisk decimalbråkdel, som har 9 i perioden, bör den ersättas med en motsvarande post, med noll i perioden. $a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}(9)=a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}+10^{-n}$

Aritmetiska operationer på oändliga decimalbråk definieras som en kontinuerlig förlängning [14] av motsvarande operationer på rationella tal. Till exempel, summan av reella tal och kallas ett reellt tal som uppfyller följande villkor: $\alfa$ $\beta$ $\alfa +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \ leqslant b'')\Högerpil (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')

Definierar på liknande sätt operationen att multiplicera oändliga decimalbråk.

Sektionsteori i området för rationella tal

I Dedekinds tillvägagångssätt definieras reella tal med hjälp av sektioner i uppsättningen av rationella tal.

En sektion i uppsättningen av rationella tal är en uppdelning av uppsättningen av alla rationella tal i två icke-tomma klasser - lägre och övre , så att varje tal från den lägre klassen är strikt mindre än något tal från den övre: $\mathbb {Q}$ $A$ $A'$

$\mathbb {Q} =A\cup A'\quad \land \quad A,A'\neq \varnothing \quad \land \quad \forall a\in A,\forall a'\in A'\ ;(a<a')$

Om det finns ett antal som är maximalt i den lägre klassen eller minimalt i den övre klassen, så separerar detta nummer mängderna och : numren för de lägre och övre klassen ligger på motsatta sidor av . Det sägs också att ett rationellt tal producerar en given del av uppsättningen av rationella tal. $\alfa$ $A$ $A'$ $\alfa$ $\alfa$

Om det inte finns något maximalt element i den nedre sektionsklassen och inget minimalt element i den övre sektionsklassen, så finns det inget rationellt tal som skulle skilja uppsättningarna och . I det här fallet, per definition, antas det att den givna sektionen bestämmer något irrationellt tal , som ligger mellan de lägre och övre klasserna, och därmed producerar den givna sektionen. Med andra ord, för varje snitt som inte produceras av något rationellt tal, introduceras ett nytt objekt - ett irrationellt tal, som per definition är större än något tal från den lägre klassen och mindre än något tal från den övre klassen: $A$ $A'$ $\alfa$

$\forall a\in A,\forall a'\in A'\;a<\alpha <a'$

Unionen av alla rationella och alla irrationella tal kallas mängden reella tal , och dess element är reella tal .

Aritmetiska operationer på reella tal definieras som en kontinuerlig förlängning av motsvarande operationer på rationella tal. Till exempel, summan av reella tal och kallas ett reellt tal som uppfyller följande villkor: $\alfa$ $\beta$ $\alfa +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \ leqslant b'')\Högerpil (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')

Axiomatic approach

Det finns många sätt att konstruera en uppsättning reella tal. I Cantors teori är de reella talen klasser av ekvivalenta fundamentala sekvenser av rationella tal, i Weierstrass teori är de oändliga decimalbråk, i Dedekinds teori är de sektioner i området för rationella tal. I alla dessa tillvägagångssätt får vi som ett resultat en viss uppsättning objekt (reella tal) som har vissa egenskaper: de kan adderas, multipliceras, jämföras med varandra. Dessutom, när egenskaperna för dessa objekt väl har fastställts, kan vi inte längre hänvisa till de specifika konstruktioner som de byggdes av.

Inom matematik är det inte objektens specifika karaktär som är viktig, utan bara de matematiska sambanden som finns mellan dem.

För en person som studerar det matematiska konceptet med antalet element spelar det ingen roll vad man ska prata om - om tre äpplen eller tre stenar, och deras ätbarhet eller oätlighet spelar ingen roll. I processen för abstraktion från icke-väsentliga tecken, det vill säga abstraktion ( lat. abstractio - distraktion), kommer han till det gemensamma som tre äpplen och tre stenar har - antalet element. Det är så det abstrakta begreppet ett naturligt tal uppstår . Ur denna synvinkel är tre äpplen och tre stenar två konkreta implementeringar av modellen för det abstrakta konceptet "talet tre".

På samma sätt är klasserna av grundläggande sekvenser av rationella tal, oändliga decimalbråk, sektioner i regionen för rationella tal bara konkreta realisationer, modeller av ett reellt tal. Och själva begreppet ett reellt tal bestäms av de befintliga matematiska relationerna för det. Så snart de är etablerade definieras också begreppet ett reellt tal.

Här är det lämpligt att citera det berömda uttalandet av D. Hilbert , grundaren av den systemaxiomatiska metoden i matematik, som, med hänvisning till geometrins axiomatisering , en gång anmärkte:

Det bör säkerställas att man kan tala med lika framgång istället för poäng, linjer och plan om bord, stolar och ölmuggar.David Gilbert [15]

Axiomatik för reella tal

En mängd kallas en uppsättning reella tal, och dess element kallas reella tal, om följande uppsättning villkor, kallad axiomatik för reella tal, är uppfyllda: $\mathbb {R}$

Fältaxiom

En mappning definieras på en uppsättning ( tilläggsoperation ) $\mathbb {R}$

$+:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

som tilldelar varje ordnat par av element från något element från samma mängd , kallad summan och ( motsvarande notation av ett element i en mängd ). $a,b$ $\mathbb {R}$ $c$ $\mathbb {R}$ $a$ $b$ $a+b$ $c$ $\mathbb {R}$

Dessutom definieras en mappning på uppsättningen ( multiplikationsoperation ) $\mathbb {R}$

$\cdot :\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

som tilldelar varje ordnat par av element från något element , som kallas produkten av och . $a,b$ $\mathbb {R}$ $a\cdot b$ $a$ $b$

I detta fall äger följande egenskaper rum.

{\text{I}}_{1}.

Kommutativitet av addition. För alla

a,b\in \mathbb {R}

a+b=b+a

{\text{I}}_{2}.

Associativitet av addition. För alla

a,b,c\in \mathbb {R}

a+(b+c)=(a+b)+c

{\text{I}}_{3}.

Existensen av noll. Det finns ett element som kallas noll så att för någon

0\in \mathbb {R}

a\in \mathbb {R}

a+0=a

{\text{I}}_{4}.

Förekomsten av ett motsatt element. För alla finns det ett element som kallas motsatsen till sådant

a\in \mathbb {R}

-a\in \mathbb {R}

a

a+(-a)=0

{\text{I}}_{5}.

Kommutativitet av multiplikation. För alla

a,b\in \mathbb {R}

a\cdot b=b\cdot a

{\text{I}}_{6}.

Associativitet av multiplikation. För alla

a,b,c\in \mathbb {R}

a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c

{\text{I}}_{7}.

Förekomsten av en enhet. Det finns ett element som kallas enhet , så att för någon

1\in \mathbb {R}

a\in \mathbb {R}

a\cdot 1=a

{\text{I}}_{8}.

Förekomsten av ett omvänt element. För alla finns det ett element , även betecknat och kallat inversen av , så att

a\in \mathbb {R} ,a\neq 0

a^{-1}\in \mathbb {R}

1/a

a

a\cdot a^{-1}=1

{\text{I}}_{9}.

Multiplikationens distributiva lag med avseende på addition. För alla

a,b,c\in \mathbb {R}

a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c

{\text{I}}_{10}.

Fält icke-trivialitet. Ett och noll är olika element :

\mathbb {R}

$1\neq 0$

Ordningsaxiom

En relation definieras mellan elementen , det vill säga för varje ordnat par av element från , fastställs det om relationen är uppfylld eller inte. I detta fall äger följande egenskaper rum. $\mathbb {R}$ $\leqslant$ $a,b$ $\mathbb {R}$ $a\leqslant b$

{\text{II}}_{1}.

Reflexivitet. För vem som helst

a\in \mathbb {R}

$a\leqslant a$

{\text{II}}_{2}.

Antisymmetri. För alla

a,b\in \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\land (b\leqslant a)\Högerpil (a=b)$

{\text{II}}_{3}.

Transitivitet. För alla

a,b,c\in \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\land (b\leqslant c)\Rightarrow (a\leqslant c)$

{\text{II}}_{4}.

Linjär ordning. För alla

a,b\in \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\lor (b\leqslant a)$

{\text{II}}_{5}.

Samband mellan tillägg och beställning. För alla

a,b,c\in \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\Högerpil (a+c\leqslant b+c)$

{\text{II}}_{6}.

Samband mellan multiplikation och ordning. För alla

a,b\in \mathbb {R}

$(0\leqslant a)\land (0\leqslant b)\Högerpil (0\leqslant a\cdot b)$

Kontinuitetens axiom

{\text{III}}_{1}.

Oavsett de icke-tomma uppsättningarna och , så att för alla två element och ojämlikheten gäller , finns det ett antal så att för alla och relationen gäller

A\subset \mathbb {R}

B\subset \mathbb {R}

a\i A

b\i B

a\leqslant b

\xi \in \mathbb {R}

a\i A

b\i B

a\leqslant \xi \leqslant b

Dessa axiom är tillräckliga för att rigoröst härleda alla kända egenskaper hos reella tal [16] .

I den moderna algebras språk betyder den första gruppens axiom att en mängd är ett fält . Axiom för den andra gruppen - att mängden är en linjärt ordnad mängd ( - ), och ordningsrelationen överensstämmer med fältets struktur - . Mängder som uppfyller axiomen för den första och andra gruppen kallas ordnade fält . Slutligen, den sista gruppen, som består av ett axiom, säger att uppsättningen av reella tal har egenskapen kontinuitet , som också kallas fullständighet . Sammanfattningsvis kan vi ge en ekvivalent definition av mängden reella tal. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ ${\text{II}}_{1}$ ${\text{II}}_{4}$ ${\text{II}}_{5}$ ${\text{II}}_{6}$

Definition. Uppsättningen av reella tal är ett kontinuerligt ordnat fält.

Andra axiomsystem för reella tal

Det finns andra sätt att axiomatisera reella tal. Istället för kontinuitetsakxiomet kan du till exempel använda vilket annat ekvivalent villkor som helst eller en grupp av villkor. Till exempel, i det system av axiom som Hilbert föreslagit, är gruppernas axiom och i huvudsak desamma som de som ges ovan, och följande två villkor används istället för axiomet: ${\text{III}}_{1}.$ ${\text{I}}$ ${\text{II}}$ ${\text{III}}_{1}$

{\text{III}}_{1}'.

Arkimedes Axiom . Låt [17] och. Sedan kan elementetupprepas som en term så många gånger att den resulterande summan överstiger:

a>0

b>0

a

b

$a+a+\ldots +a>b$

{\text{III}}_{2}'.

Axiom för fullständighet (i betydelsen Hilbert). Systemet kan inte utvidgas till något system på ett sådant sätt att, samtidigt som de tidigare relationerna mellan element för , alla axiom - , .

\mathbb {R}

\mathbb {R} ^{*}

\mathbb {R}

\mathbb {R} ^{*}

{\text{I}}

{\text{II}}

{\text{III}}_{1}'.

Således kan följande ekvivalenta definition ges:

Definition. Uppsättningen av reella tal är det maximala arkimediska ordnade fältet

Som ett annat exempel på axiomatisering av reella tal, kan Tarskis axiomatik ges , bestående av endast 8 oberoende axiom.

Egenskaper

Koppling med rationella tal

Uppenbarligen blandas rationella tal med reella tal på tallinjen , och mängden reella tal är i en viss mening "tät" än mängden rationella. En naturlig fråga uppstår, hur ofta rationella och reella tal faller på tallinjen och om vissa tal kan approximeras av andra. Svaret på denna fråga ges av tre lemman , huvudsakligen baserade på Arkimedes axiom . [arton]

Lemma 1. För varje reellt tal och varje positivt rationellt avstånd som tagits i förväg, finns det ett par rationella tal separerade från varandra med mindre än detta avstånd, så att det reella talet ligger på segmentet mellan dessa rationella tal.

\forall a\in \mathbb {R} ~\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} _{+}~\exists q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q} :~(q_{ 1}\leq a\leq q_{2})\land (q_{2}-q_{1}<\varepsilon )

Detta lemma säger att vilket reellt tal som helst kan approximeras från två sidor med en given noggrannhet med rationella tal.

Lemma 2. Mellan två olika reella tal finns ett rationellt tal.

\forall a,b\in \mathbb {R} ,a<b~\exists q\in \mathbb {Q} :a<q<b

En uppenbar konsekvens av detta lemma är det faktum att mellan två icke sammanfallande reella tal finns ett oändligt antal rationella tal. Dessutom är det ännu mer uppenbart att mellan två distinkta rationella tal finns ett reellt tal.

Lemma 3. Den rationella approximationen av ett reellt tal som beskrivs i Lemma 1 identifierar unikt ett reellt tal.

\forall a,b\in \mathbb {R} ~(\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} _{+}~\exists q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q} :~ (q_{1}\leq a\leq q_{2})\land (q_{1}\leq b\leq q_{2})\land (q_{2}-q_{1}<\varepsilon ))\ Högerpil a=b

Dessa lemman säger först och främst att mängden av reella tal inte är så "tät" jämfört med mängden rationella tal, som det kan tyckas. Särskilt tydligt illustrerar detta lemman 2. Alla tre lemman används aktivt för att bevisa olika satser relaterade till operationerna för addition och multiplikation av reella tal.

Mängd-teoretiska egenskaper

Till en början var reella tal en naturlig generalisering av rationella , men för första gången upptäckte de egenskapen oräknelighet, som säger att mängden reella tal inte kan numreras, det vill säga att det inte finns någon bijektion mellan mängderna reella och naturliga. siffror . För att visa oräkneligheten för hela uppsättningen reella tal räcker det att visa intervallets oräknelighet . [arton] $\left(0,1\right)$

Låt alla siffror för det angivna intervallet redan vara uppräknade på något sätt. Sedan kan de skrivas i följande form:

x_{1}=0,a_{11}a_{12}\cdots a_{1m}\cdots

x_{2}=0,a_{21}a_{22}\cdots a_{2m}\cdots

\cdots

x_{k}=0,a_{k1}a_{k2}\cdots a_{km}\cdots

\cdots

Här är den -: e siffran i det -:e numret. Det är uppenbart att alla siffror av den angivna typen verkligen hör till det aktuella intervallet, såvida inte i varje nummer alla siffror är omedelbart nollor eller nio . $a_{{ij}}$ $j$ $i$

Tänk sedan på följande nummer:

x=0,d_{1}d_{2}\cdots d_{m}\cdots

Låt varje siffra i detta nummer uppfylla följande tre egenskaper: $d_{i}$

$d_{i}\neq 0$
$d_{i}\neq 9$
$d_{i}\neq a_{ii}$

Ett sådant tal existerar verkligen på det angivna intervallet, eftersom det är verkligt, inte sammanfaller med vare sig noll eller ett, och decimalsiffror räcker för att den tredje egenskapen ska hålla. Dessutom är det intressant av det faktum att det inte sammanfaller med något av siffrorna som skrivits ovan, för annars skulle den -:e siffran i numret sammanfalla med den -: e siffran i numret . Vi kom fram till en motsägelse, som består i att oavsett hur numren för det betraktade intervallet numreras, kommer det fortfarande att finnas ett nummer från samma intervall som inte tilldelas ett nummer. [arton] $x$ $x_{j}$ $j$ $x$ $j$ $x_{j}$

Detta indikerar att uppsättningen av reella tal inte kan räknas . Dess kraft kallas kontinuumets kraft .

Utökad uppsättning reella tal

I ett antal tillämpningar av matematisk analys är det lämpligt att använda den utökade mängden reella tal , som erhålls genom att komplettera mängden reella tal med en punkt i oändligheten på något av följande sätt [19] . ${\overline {R))$ $R$

Två signerade oändligheter: , $\overline R = R \cup \{ +\infty\} \cup \{ -\infty\}$
En osignerad oändlighet: . ${\overline {R}}=R\cup \{\infty \}$

Signerade oändligheter och , som förekommer i den första definitionen, representerar gränsen för en sekvens av respektive positiva eller negativa tal, som ökar oändligt i modulo. Den andra definitionen använder unsigned infinity , ibland även kallad , som är gränsen för en talföljd (med godtyckliga tecken) som ökar oändligt i absolut värde. Observera att symbolen kan beteckna både oändlig oändlighet och positiv oändlighet . Det framgår oftast av sammanhanget vilken oändlighet som avses, eller så spelar det ingen roll. $+\infty$ $-\infty$ $\infty$ $\pm\infty$ $\infty$ $+\infty$

Generalisering av reella tal

Området reella tal har ständigt tjänat i matematiken som en källa till generaliseringar, och i olika praktiskt viktiga riktningar. Följande varianter av generaliserade numeriska system gränsar direkt till fältet . $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Komplexa siffror . Speciellt fruktbara i algebra och analys används de framgångsrikt inom fysik , elektroteknik , kartografi , hydrodynamik , etc.
Intervallnummer . De används främst i teorin om ungefärliga beräkningar och i sannolikhetsteorin .
Icke-standardiserad analys , som lägger till oändligt små och oändligt stora tal (av olika ordning) till reella tal.

Applikationer

Den matematiska modellen av reella tal används i stor utsträckning inom vetenskap och teknik för att mäta kontinuerligt föränderliga kvantiteter. Detta är dock inte dess huvudsakliga tillämpning, eftersom faktiskt uppmätta storheter alltid har ett ändligt antal decimaler, det vill säga de är rationella tal. Huvudsyftet med denna modell är att tjäna som underlag för analytiska forskningsmetoder. Den enorma framgången för dessa metoder under de senaste tre århundradena har visat att modellen av reella tal i de flesta fall adekvat återspeglar strukturen av kontinuerliga fysiska storheter [20] [21] .

Det som har sagts betyder naturligtvis inte att den reella tallinjen är en exakt bild av en reell kontinuerlig storhet. Till exempel vet modern vetenskap ännu inte om rum och tid är diskreta eller oändligt delbara; Men även i det andra fallet bör modellen av reella tal för dessa storheter betraktas som ungefärlig, eftersom begreppen en punkt i rummet och ett ögonblick i tiden är idealiseringar som inte har någon verklig analog. Denna grundläggande fråga har diskuterats mycket inom vetenskapen, med början med Zenos aporier .

Se även

Kontinuitet för uppsättningen av reella tal
talteori
Decimalavgränsare
Komplext tal
superrealistiskt tal
hyperrealistiskt tal
Direkt Alexandrova
Direkt Suslina

Anteckningar

↑
Namnen " real number " och " real number " är likvärdiga. Historiskt sett användes termen " riktigt tal " i Moskvaskolan för matematik och " riktigt tal " i Leningradskolan . Två klassiska verk kan nämnas som exempel:
- Luzin, N. N. Teori om funktioner för en reell variabel. (Moskva skola)
- Natanson, I. P. Teori om funktioner för en reell variabel. (Leningrad skola)
Moderna universitetsläroböcker använder båda termerna:
- Zorich V. A. Matematisk analys. ( MGU, mekhmat ) — verkligt tal
- Ilyin V. A., Poznyak V. G. Fundamentals of Mathematical Analysis. ( Moscow State University, Fakulteten för fysik ) — verkligt tal
- Kudryavtsev, L. D. Kurs i matematisk analys. ( MIPT ) är ett reellt tal
- Fikhtengol'ts, G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl. ( St. Petersburg State University ) — verkligt tal
↑ Se L. D. Kudryavtsev, Course of Mathematical Analysis. - T. 1. - S. 35-36. , samt Bourbaki N. Essays on the history of mathematics. - S. 146.
↑ 1 2 3 Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Vägar och labyrinter. Essäer om matematikens historia. - S. 287-289.
↑ Bourbaki N. . Matematikens arkitektur. Essäer om matematikens historia. - S. 147.
↑ 1 2 Bourbaki N. . Matematikens arkitektur. Essäer om matematikens historia. - S. 150-151.
↑ Matematikens historia. - T. I. - S. 190-191, 304-305.
↑ Matematikens historia. - T. II. - S. 35.
↑ Bourbaki N. . Matematikens arkitektur. Essäer om matematikens historia. - S. 154.
↑ Läsare om matematikens historia. Matematisk analys. Sannolikhetsteori / Ed. A. P. Jusjkevitj . - M . : Utbildning, 1977. - S. 171-178. — 224 sid.
↑ Bernard Bolzano. Paradoxer i det oändliga. Arkiverad 13 april 2014 på Wayback Machine
↑ Rykhlik Karel. Teori om reella tal i Bolzanos handskrivna arv // IMI, 1958. Nr 11. P. 515-532.
↑ Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. P. Algebra och början av analys. Lärobok för 10-11 årskurser på gymnasiet. - M., Education, 1994. - ISBN 5-09-006088-6 . - C. 162-165
↑ Rybnikov K. A. Matematikens historia. - T. 2. - S. 196.
↑ Eftersom den linjära ordningsrelationen redan har införts på mängden reella tal, kan vi definiera topologin för den reella linjen: som öppna mängder tar vi alla möjliga unionsintervaller av formen $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Reid C. Gilbert. - S. 79.
↑ Se L. D. Kudryavtsev, Course of Mathematical Analysis. - T. 1.
↑ $(a>0)\;{\overset {\text{def}}{\Leftrightarrow }}\;(a\geqslant 0)\land (a\neq 0)$
↑ 1 2 3 V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Kapitel 2. Reella tal // Matematisk analys / Ed. A.N. Tikhonova . - 3:e uppl. , reviderad och ytterligare - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 44-45, 63 - 64. - 672 sid. — ISBN 5-482-00445-7 .
↑ Kudryavtsev L. D., 2005 , sid. 19.
↑ Matematik, dess innehåll, metoder och betydelse (i tre volymer). - Sovjetunionens vetenskapsakademi, 1956. - T. 1. - S. 29-31. — 296 sid.
↑ Stewart, Ian . Professor Stewarts otroliga siffror = Professor Stewarts otroliga siffror. - M . : Alpina facklitteratur, 2016. - S. 209-210. — 422 sid. - ISBN 978-5-91671-530-9 .

Litteratur

Referenser

Arnold IV Teoretisk aritmetik. — M .: UCHPEDGIZ, 1938.

Bourbaki N. Essays on the history of mathematics / transl. från franska I.G. Bashmakova, red. K. A. Rybnikova. - M . : Förlag för utländsk litteratur, 1963.

Hilbert D. Foundations of Geometry = Grundlagen der Geometrie / per. från den 7:e tyska upplagan av I. S. Gradshtein, red. P.K. Rashevsky. - M. - L .: Statens förlag för teknisk och teoretisk litteratur, 1948.

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Vägar och labyrinter. Essäer om matematikens historia. — Trans. från franska - M. : MIR, 1986. - 432 sid.

Dedekind R. Kontinuitet och irrationella tal = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4:e reviderade upplagan. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 sid.

Zorich V. A. Matematisk analys. Del I. - 4:e uppl., Rev. - M. : MTSNMO, 2002. - XVI + 664 sid. — ISBN 5-94057-056-9 .

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentals of matematisk analys: Om 2 timmar Del I. - 7:e upplagan. - M. : FIZMATLIT, 2005. - 648 sid. - ISBN 5-9221-0536-1 .

Matematikens historia från antiken till början av 1800-talet. I tre volymer / ed. Jusjkevitj. - M. : NAUKA, 1970. - T. 1.

Kantor G. Arbetar med mängdlära / red. A. N. Kolmogorov, F. A. Medvedev, A. P. Yushkevich,. - M . : SCIENCE, 1985. - (Vetenskapens klassiker).

A. N. Kolmogorov. Om motiveringen av teorin om reella tal // Uspekhi Mat . - 1946. - T. 1 , nummer. 1(11) . - S. 217-219 .
Kudryavtsev L. D. Kurs i matematisk analys. - 5:e uppl. - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 sid. - ISBN 5-7107-4119-1 .

Kudryavtsev L. D. Kort kurs i matematisk analys. - 3:e uppl. reviderad .. - M . : FIZMATLIT, 2005. - T. 1. - 400 sid. — ISBN 5-9221-0184-6 .

Reed K. Gilbert / övers. från engelska. I.V. Dolgachev, red. R. V. Gamkrelidze. — M .: NAUKA, 1977.

Rybnikov K. A. Matematikens historia. - M . : Moscow Universitys förlag, 1963. - T. 2.

Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. En kurs i matematisk analys. — 3:e uppl., rättad. - M. : FIZMATLIT, 2001. - 672 sid. — ISBN 5-9221-0008-4 .

Fikhtengol's G.M. Fundamentals of Mathematical Analysis. - 7:e uppl. - M. : FIZMATLIT, 2002. - T. 1. - 416 sid. — ISBN 5-9221-0196-X .

Rekommenderad läsning

från historien om bildandet av begreppet ett reellt tal:

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Vägar och labyrinter. Essäer om matematikens historia.
Matematikens historia, redigerad av A. P. Yushkevich i tre volymer, M .: Nauka.

Volym 1 Från antiken till början av modern tid. (1970)
Volym 2 1600-talets matematik. (1970)
Volym 3 1700-talets matematik. (1972) Arkiverad 24 mars 2017 på Wayback Machine

En detaljerad presentation av teorin om att konstruera reella tal med hjälp av grundläggande sekvenser , liksom teorin om att konstruera reella tal med hjälp av sektioner i regionen för rationella tal, finns i följande:

Arnold IV Teoretisk aritmetik . Arkiverad 25 februari 2010 på Wayback Machine

De som vill bekanta sig med R. Dedekinds ursprungliga tankegång kan rekommendera en broschyr där Dedekind 1872 redogjorde för sin teori om det verkliga talet. Den här boken är fortfarande en av de bästa och mest tillgängliga utställningarna av ämnet hittills. Det finns en rysk översättning:

Dedekind, R. Kontinuitet och irrationella tal = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4:e reviderade upplagan. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 sid.

Det finns också en utmärkt presentation av Dedekinds teori i den klassiska läroboken:

Fikhtengol'ts, G. M. Fundamentals of Mathematical Analysis. - 7:e uppl. - M. : FIZMATLIT, 2002. - T. 1. - 416 sid. — ISBN 5-9221-0196-X .

Konstruktionen av teorin om det reella talet med oändliga decimaler kan hittas i böckerna:

Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. En kurs i matematisk analys.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Grunderna för matematisk analys: Om 2 timmar. Del I.

en axiomatisk presentation av teorin om det reella talet finns i böckerna:

Kudryavtsev, L. D. Kurs i matematisk analys. - 5:e uppl. - M . : Drofa, 2003. - T. 1. - 704 sid. - ISBN 5-7107-4119-1 .
Zorich, V. A. Matematisk analys. Del I. - Red. 4:e, rev. - M. : "MTsNMO", 2002. - 657 sid. — ISBN 5-94057-056-9 .

Kärnan i den axiomatiska metoden och dess jämförelse med den konstruktiva metoden presenteras av D. Hilbert på flera sidor i ”Bilaga VI. On the concept of number" i följande utgåva av det klassiska verket:

Hilbert D. Foundations of Geometry = Grundlagen der Geometrie. - per. från den 7:e tyska upplagan av I. S. Gradshtein, red. P.K. Rashevsky. - M. - L .: Statens förlag för teknisk och teoretisk litteratur, 1948.

Ordböcker och uppslagsverk

I bibliografiska kataloger
BNF : 11977586x GND : 4202628-3 J9U : 987007538747105171 LCCN : sh85093221 NDL : 00574870 NKC : ph125164

Numeriska system
Räknebara set	Naturliga tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationell ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beräknarbar Aritmetisk
Reella tal och deras anknytningar	Riktig ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonjoner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Ändringar Dubbel Hyperkomplex Superrealistiskt Hypermaterial surrealistiskt
Numeriska förlängningsverktyg	Cayley-Dixon procedur Frobenius teorem Hurwitz teorem
Andra nummersystem	grundtal Ordningstal (transfinita, ordningstal) p-adic Övernaturliga siffror intervallnummer
se även	dubbla siffror Irrationella siffror transcendentala tal nummerstråle Biquaternion