Konstruktiva sätt att definiera ett reellt tal

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 22 augusti 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Med ett konstruktivt förhållningssätt till definitionen av ett reellt tal byggs reella tal utifrån rationella , som anses givna. I alla tre av följande metoder tas rationella tal som grund och nya objekt konstrueras, så kallade irrationella tal . Som ett resultat av deras fullbordande av mängden rationella tal får vi en uppsättning reella tal.

Cantors teori om fundamentala sekvenser

Tillvägagångssättet som beskrivs nedan för definitionen av reella tal föreslogs av G. Kantor i en artikel publicerad 1872 [1] . Liknande idéer uttrycktes av E. Heine och S. Mere .

Cauchys konvergenskriterium och dess användning av Cantor

Utgångspunkten för Cantors teori var följande idé [2] . Vilket reellt tal som helst kan ges av en sekvens av rationella tal

a_{1},a_{2},\ldots,a_{n},\ldots

representerar approximationer till detta reella tal med en ökande grad av noggrannhet, det vill säga konvergerar till detta tal.

Låt oss nu förstå ett reellt tal som något objekt som definieras av en konvergent sekvens av rationella tal . $\alfa$ $a_{1},a_{2},\ldots$

Däremot lurar en ond cirkel här . I definitionen av en konvergent sekvens är ett reellt tal involverat, vilket är dess gräns - själva begreppet som vi vill definiera med hjälp av konvergenta sekvenser:

$\{en}\}$ konvergerar existerar , sådan att $\Longleftrightarrow$ $\alpha \in \mathbb{R}$ $\lim _{{n\to \infty }}a_{n}=\alpha$

För att inte få en ond cirkel är det nödvändigt att ha något tecken som låter dig uttrycka villkoret för en sekvenss konvergens i termer av dess medlemmar, det vill säga utan att prata om själva innebörden av gränsen för sekvensen .

Vid Cantors tid hade ett sådant kriterium redan hittats. Det etablerades i en allmän form av den franske matematikern O. Cauchy [3] . Enligt Cauchy-kriteriet konvergerar en sekvens om och endast om $a_{1},a_{2},\ldots$

\forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon )\;\forall n>N(\varepsilon )\;\forall m>0\;|a_{{n+m}}-a_{n}| <\varepsilon

Figurativt sett är villkoret för konvergensen av en sekvens i Cauchy-kriteriet att dess medlemmar, utgående från ett visst antal, kommer att ligga godtyckligt nära varandra.

Naturligtvis kunde Cauchy inte ge några rigorösa belägg för detta kriterium på grund av frånvaron av teorin om det reella talet.

Kantor vände i viss mening upp och ner på allt. Han uppmärksammade det faktum att detta tecken i sig kännetecknar de interna egenskaperna hos en konvergent sekvens: den kan formuleras och verifieras utan att prata om det reella talet i sig, vilket är gränsen för denna sekvens. Och därför kan den här funktionen användas för att markera den klass av sekvenser genom vilka reella tal kan bestämmas .

Det huvudsakliga steget som Cantor tar för att konstruera teorin om det reella talet är att han betraktar varje sekvens av rationella tal som uppfyller Cauchy-villkoret som en definition av något (rationellt eller irrationellt) reellt tal. $a_{1},a_{2},\ldots$

När jag talar om en numerisk storhet i generaliserad bemärkelse, sker detta i första hand i det fall då en oändlig följd av rationella tal föreslås.

a_{1},a_{2},\ldots,a_{n},\ldots

ges av någon lag och har egenskapen att skillnaden blir oändligt liten som , Oavsett det positiva heltal , eller, med andra ord, att det för ett godtyckligt valt (positivt rationellt) heltal existerar sådan att , och är vilket positivt heltal som helst. $a_{{n+m}}-a_{n}$ $n$ $m$ $\varepsilon$ $n$ $|a_{{n+m}}-a_{n}|<\varepsilon$ $m$ G. Kantor [1]

I modern terminologi kallas en sekvens som uppfyller Cauchy-villkoret Cauchy-sekvensen , eller fundamental sekvens .

Konstruktion av teorin om reella tal enligt Cantor

Två grundläggande sekvenser och kan definiera samma reella tal. Detta sker under villkoret $\{en}\}$ $\{b_{n}\}$

\forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon )\;\forall n>N(\varepsilon )\;|a_{n}-b_{n}|<\varepsilon

Således, på uppsättningen av alla fundamentala sekvenser av rationella tal, etableras en ekvivalensrelation , och i enlighet med den allmänna principen delas alla fundamentala sekvenser in i ekvivalensklasser . Innebörden av denna partition är sådan att sekvenser från samma klass bestämmer samma reella tal, medan sekvenser från olika klasser bestämmer olika. Således finns det en en-till-en-överensstämmelse mellan de reella talen och klasserna av grundläggande sekvenser av rationella tal.

Nu kan vi formulera huvuddefinitionen av Cantors teori om reella tal.

Definition. Ett reellt tal är en ekvivalensklass av fundamentala sekvenser av rationella tal.

Det reella talet (ekvivalensklassen) som definieras av den grundläggande sekvensen av rationella tal betecknas med . $\{en}\}$ $[en}]$

Aritmetiska operationer med reella tal introduceras enligt följande. Om två reella tal och ges , definieras av grundläggande sekvenser och , så att $\alfa$ $\beta$ $\{en}\}$ $\{b_{n}\}$

$\alpha =[a_{n}]$ och $\beta =[b_{n}]$

då är summan det reella talet som definieras av sekvensen , det vill säga ekvivalensklassen som innehåller denna sekvens: $\alfa$ $\beta$ $\{a_{n}+b_{n}\}$

\alpha +\beta {\overset {{\text{def}}}{=}}[a_{n}+b_{n}]

Det är lätt att kontrollera att denna definition är korrekt, det vill säga att den inte beror på valet av specifika sekvenser från klassen och från klassen . $\{en}\}$ $\alfa$ $\{b_{n}\}$ $\beta$

Skillnad, produkt och kvot av reella tal definieras på liknande sätt.

Ett reellt tal är per definition större än ett tal , det vill säga om $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\alfa >\beta$

\exists \varepsilon >0\;\exists N\;\forall n>N\;a_{n}\geqslant b_{n}+\varepsilon

Denna definition beror inte på valet av sekvenser från klassen och från klassen . $\{en}\}$ $\alfa$ $\{b_{n}\}$ $\beta$

Systemet med rationella tal ingår i systemet med reella tal genom ett tilläggsavtal, enligt vilket sekvensen

a,a,\ldots a,\ldots

alla medlemmar av vilka är lika med samma rationella tal bestämmer detta tal själv, så att . Med andra ord, varje klass som innehåller en stationär sekvens identifieras med ett nummer . Således är den konstruerade mängden reella tal en förlängning av mängden rationella. $a$ $[a]{\overset {{\text{def}}}{=}}a$ $[a]$ $a,a,\ldots a,\ldots$ $a$

Detta slutför konstruktionen av uppsättningen av reella tal. Vidare, på basis av de införda definitionerna, kan man bevisa de kända egenskaperna hos reella tal.

Fullständighet av uppsättningen av reella tal

Det följer av definitionen att varje grundläggande sekvens av rationella tal konvergerar till något reellt tal. Denna princip ligger till grund för definitionen av ett reellt tal. Tack vare honom fylldes uppsättningen av rationella tal på med nya element - irrationella tal - gränserna för de grundläggande sekvenserna av rationella tal, som inte hade någon gräns i den gamla uppsättningen av rationella tal.

En naturlig fråga uppstår om det är möjligt att utföra en liknande påfyllningsprocedur igen, redan för den konstruerade uppsättningen av reella tal: att bilda grundläggande sekvenser av reella tal och fylla på uppsättningen av reella tal med gränserna för de av dem som inte hade några gräns innan.

Det visar sig att detta inte går att göra. Varje grundläggande sekvens av reella tal har en gräns i uppsättningen av reella tal. Med andra ord innehåller uppsättningen av reella tal gränserna för alla grundläggande sekvenser av dess element. Denna egenskap hos uppsättningen av reella tal kallas fullständighet . Och själva uttalandet om konvergensen av någon grundläggande sekvens av reella tal är huvudinnehållet i Cauchy-konvergenskriteriet , som är den centrala satsen i Cantors teori.

Idén att komplettera uppsättningen av rationella tal med gränser för fundamentala sekvenser, som användes av Cantor för att "skapa" irrationella tal, användes senare av F. Hausdorff för att bevisa den berömda metriska rymdkompletterande teoremet .

Teori om oändliga decimaler

Teorin om oändliga decimalbråk går tillbaka till K. Weierstrass . Omkring 1863 utvecklade han teorin om reella tal, som publicerades från anteckningarna från hans föreläsningar 1872 [4] . Den ursprungliga versionen av Weierstrass teori skiljer sig dock något från teorin om oändliga decimalbråk som presenteras i moderna läroböcker för matematisk analys (se Historisk kommentar nedan ).

Rationella tal och decimaler

Liksom i fallet med Cantors teori antar vi att mängden rationella tal är given . Det är känt att vilket rationellt tal som helst kan delas upp i ett decimaltal , som vi kommer att skriva i formen: $\mathbb {Q}$ $p/q\in {\mathbb {Q}}$

p/q\sim \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

Om nedbrytningsprocessen avbryts efter ett ändligt antal steg kommer decimalfraktionen att vara ändlig , annars blir den oändlig .

Varje decimalbråk, ändlig eller oändlig, kan betraktas som en formell serie av formen

\pm \sum _{{k}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

där indexet löper genom antingen den naturliga seriens initiala segment eller hela den naturliga serien . Det kan visas att serien som erhålls genom att expandera ett rationellt tal till ett decimalbråk alltid konvergerar, och dess summa är lika med det givna rationella talet. $k$ $0,1,\ldots ,n$ $0,1,2,\ldots$ $p/q$

Viktigt för vidare presentation är det faktum att om ett oändligt decimaltal erhålls vid nedbrytning av ett rationellt tal, så kommer detta bråk alltid att vara periodiskt .

Det finns alltså en överensstämmelse mellan rationella tal och decimalbråk, där varje rationellt tal motsvarar ett enda decimaltal, men för vissa bråk (nämligen oändliga icke-periodiska) finns det inget rationellt tal som motsvarar dem. Det är naturligt att anta att dessa bråk även motsvarar några hypotetiska tal som inte är rationella. Genom att ta hänsyn till dessa hypotetiska siffror, som vi kommer att kalla irrationella , tycks vi fylla i luckorna i helheten av alla decimalbråk.

I grunden för teorin om ett reellt tal lägger vi alltså antagandet (idén) att varje decimalbråk är expansionen av något, rationellt eller irrationellt, reellt tal : $\alfa$

\alpha \sim \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

Samtidigt tolkar vi denna expansion på samma sätt som i fallet med rationella tal, det vill säga vi anser att ett reellt tal är summan av en serie $\alfa$

\pm \sum _{{k}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

Konstruktion av teorin om oändliga decimalbråk

Definition. Ett reellt tal är ett oändligt decimaltal, det vill säga ett uttryck för formen

\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

där det finns en av symbolerna eller , kallat taltecken, är ett icke-negativt heltal, är en sekvens av decimaler (det vill säga delar av den numeriska uppsättningen ). $\pm$ $+$ $-$ $a_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots a_{n},\ldots$ $\{0,1,\ldots 9\}$

Samtidigt anser vi , per definition , att bråken och representerar samma antal, liksom samma antal representerar bråkdelar av formen och . Innebörden av denna konvention är uppenbar, eftersom de rationella talen som motsvarar dessa bråk är desamma. [5] $+0,00\ldots$ $-0,00\ldots$ $\pm a_{0},a_{1}\ldots a_{n}999\ldots$ $\pm a_{0},a_{1}\ldots (a_{n}+1)000\ldots ,\;(a_{n}\neq 9)$

Det är naturligt att omedelbart hålla med om att periodiska oändliga decimalbråk representerar de rationella talen som motsvarar dem. Med andra ord identifierar vi periodiska bråk med rationella tal. Enligt denna konvention är mängden rationella tal en delmängd av mängden av alla reella tal.

Nedan är en skiss över konstruktionen av teorin om oändliga decimalbråk.

Först bestäms ordningen på mängden av alla oändliga decimalbråk. Detta görs på basis av en sekventiell jämförelse av siffrorna i siffror från det högsta till det lägsta. Till exempel med två icke-negativa tal

{\begin{matrix}\alpha &=+a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots \\\beta &=+b_{0},b_{1}b_{ 2}\ldots b_{n}\ldots \end{matris}}

Låt och vara de första icke-sammanfallande tecknen i decimalnotation och . Sedan om , då per definition , och om , då . Baserat på jämförelsen av två icke-negativa tal, bestäms jämförbarheten av två reella tal. $en$ $b_n$ $\alfa$ $\beta$ $a_{n}<b_{n}$ $\alfa <\beta$ $a_{n}>b_{n}$ $\alfa >\beta$

Det kan visas att den introducerade jämförelserelationen definierar strukturen för en linjärt ordnad mängd på mängden av oändliga decimalbråk . Det kan också visas att för periodiska bråk sammanfaller den etablerade ordningsrelationen med den redan existerande jämförbarhetsrelationen för rationella tal. $<$

Efter införandet av ordningsrelationen på mängden oändliga decimalbråk, bevisar vi satsen om den exakta övre gränsen , vilket är grundläggande för konstruktionen av teorin om det reella talet . Detta teorem uttrycker det faktum att en ordnad samling av reella tal har egenskapen kontinuitet (fullständighet) enligt Dedekind.

Nu utvidgas de aritmetiska operationer som redan införts på delmängden av rationella tal till hela uppsättningen av reella tal genom kontinuitet .

Nämligen låt och vara två reella tal. Deras summa är ett reellt tal som uppfyller följande villkor: $\alfa$ $\beta$ $\alfa +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \ leqslant b'')\Högerpil (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')

Det kan visas att ett reellt tal som uppfyller detta villkor existerar och är unikt.

Multiplikationen av tal definieras på liknande sätt . Produkten av två positiva reella tal och kallas ett reellt tal som uppfyller följande villkor: $\alfa$ $\beta$ $\alpha \cdot \beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'>0)\land (b'>0)\land (a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'\cdot b'\leqslant \alpha \cdot \beta \leqslant a''\cdot b'')

Liksom i fallet med addition finns ett nummer som uppfyller detta villkor och är unikt. Efter det är det lätt att definiera multiplikationen av två reella tal med godtyckliga tecken.

Det kan verifieras att operationerna för addition och multiplikation som introduceras på uppsättningen av reella tal sammanfaller med operationerna för addition och multiplikation av rationella tal.

Detta fullbordar konstruktionen av teorin om oändliga decimalbråk. Vidare, med hjälp av de introducerade definitionerna, kan man bevisa de kända egenskaperna hos reella tal relaterade till aritmetiska operationer och jämförelserelationen.

Sammanfattningsvis noterar vi att genom att definiera begreppet gränsen för en sekvens och summan av en serie reella tal, kan vi bevisa påståendet som tillkännagavs när begreppet reellt tal introducerades. Nämligen: vilket reellt tal som helst är summan av en serie av dess decimalexpansion. Det vill säga om

\alpha \sim \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

sedan

$\alpha =\pm \sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}$

Historisk kommentar

Som noterats ovan ansåg Weierstrass själv en något annorlunda konstruktion [4] [6] .

Teorin för reella tal som presenteras ovan kan kortfattat definieras som teorin om formens formella serier

$\pm \sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}$

där är ett icke-negativt heltal och är decimaler $a_{0}$ $a_{k},k=1,2,\ldots$

Weierstrass, å andra sidan, ansåg formella serier av en mer allmän form:

$\pm \sum _{{n=0}}^{{\infty }}a_{n}\cdot 1/n$

där är godtyckliga icke-negativa heltal. $a_{n},n=1,2,\ldots$

Uppenbarligen kan i en sådan konstruktion ett reellt tal representeras på oändligt många sätt. Dessutom är det tydligt att inte alla sådana serier kan tilldelas ett numeriskt värde. Till exempel en rad

$\sum _{{n=1}}^{{\infty }}1/n$

avviker.

Därför betraktar Weierstrass för det första endast konvergenta serier - han definierar sådana serier som serier med begränsade partialsummor (se kriteriet för konvergens av en serie med icke-negativa termer) och för det andra introducerar en ekvivalensrelation på denna mängd. Ett reellt tal definieras som en klass av ekvivalenta konvergenta serier.

Naturligtvis är metoden för att bestämma reella tal med hjälp av decimalbråk, det vill säga att använda expansion inte i alla alikvotbråk (det vill säga bråkdelar av formen ), utan endast i tiopotenser , eftersom detta uppnår unikheten hos representerar ett reellt tal i form av en serie. Men om vi återvänder till den allmänna Weierstrass-metoden, så blir analogin mellan Weierstrass-metoden och Cantors ansats uppenbar. Cantor definierade ett reellt tal som en ekvivalensklass av konvergenta sekvenser av rationella tal, och han använde Cauchy-kriteriet för att bestämma konvergensen av en sekvens. Weierstrass gjorde detsamma, bara istället för konvergenta sekvenser ansåg han konvergenta serier, och istället för Cauchy-kriteriet för en sekvenss konvergens använde han kriteriet för konvergens av en serie med icke-negativa termer (förresten, motsvarande teorem om gränsen för en monoton sekvens är uppkallad efter Weierstrass). $1/n$ $1/10^{k}$

Sektionsteori i området för rationella tal

Dedekinds teori är den enklaste och historiskt sett den första rigorösa teorin om det reella talet. Till skillnad från Cantors och Weierstrass analytiska tillvägagångssätt är Dedekinds teori baserad på geometriska överväganden; därav dess synlighet.

Värdet av Dedekinds teori ligger i det faktum att den, förutom att konstruera reella tal, var den första som avslöjade den matematiska essensen av begreppet kontinuitet - ett begrepp som ligger till grund för matematisk analys och som hade använts i århundraden, med hänvisning till bevis eller överväganden av geometrisk karaktär.

Dedekinds teori, byggd 1858, publicerades 1872 i en liten broschyr som heter "Kontinuitet och irrationella tal" ( tyska "Stetigkeit und irrationale Zahlen" ). Än i dag är den här boken en av de bästa när det gäller tydlighet och tillgänglighet i presentationen av ämnet. Nedan i den här artikeln kommer vi främst att följa Dedekinds tankegångar.

Uttalande av frågan

För att förstå problemet från Dedekind, låt oss i allmänna termer beskriva tillståndet inom matematisk analys som ägde rum vid den tiden.

När man presenterade differentialkalkylens förlopp , som till största delen utfördes med rigorösa metoder, för att bevisa vissa påståenden, var man fortfarande tvungen att tillgripa geometrisk klarhet.

Till exempel, för att bevisa satsen om gränsen för en monoton sekvens, ritades en rät linje, där punkter markerades som representerar medlemmarna i sekvensen . Vidare uttalades fraser av följande slag: "uppenbarligen" , det finns en punkt dit punkterna närmar sig oändligt, eller "bör" det finnas en sådan punkt, eftersom tallinjen är "kontinuerligt fylld med punkter" . Vidare, eftersom något rationellt eller irrationellt tal motsvarar vilken punkt som helst på linjen, så har vi för talet som motsvarar punkten : . $En}$ $en$ $A$ $En}$ $A$ $a$ $\lim a_{n}=a$

Det sägs ofta att differentialkalkylen handlar om kontinuerliga storheter, men ingenstans ges denna kontinuitet, och även i den mest rigorösa framställningen av differentialkalkylen vilar bevisen inte på kontinuitet, utan vädjar, mer eller mindre medvetet, antingen till geometriska representationer eller representationer som har sitt ursprung i geometrin, eller, slutligen, basera beviset på satser som i sig aldrig har bevisats med rent aritmetiska medel.R. Dedekind, "Kontinuitet och irrationella tal"

Behovet av att involvera överväganden av geometrisk karaktär för att bevisa ett rent aritmetiskt (på tal) förslag orsakar en viss känsla av missnöje och indikerar en "brist på motivering för aritmetik" , det vill säga frånvaron av en rigorös och fullständig teori om siffra. Men även om vi medger möjligheten till geometriska resonemang, uppstår en annan fråga: om kontinuiteten med avseende på själva den räta linjens punkter. Och, som det visar sig, saknar begreppet kontinuitet i en rät linje en logisk definition här.

Baserat på denna analys satte Dedekind följande två uppgifter:

1. Hitta en logisk formulering av huvudegenskapen för en rät linje, som finns i våra visuella representationer av "kontinuerlig fyllning av räta linjer" 2. Konstruera en rigorös rent aritmetisk talteori , så att dessa egenskaper hos talsystemet, för vars berättigande de tidigare tillgripit visuella geometriska representationer, nu följer av den allmänna definitionen av tal

Jämförelse av rationella tal med punkter på en rät linje

Dedekind utgår från mängden rationella tal vars egenskaper antas vara kända. Han jämför systemet med rationella tal med uppsättningen av punkter på en rät linje för att avslöja egenskaperna hos den senare. $\mathbb {Q}$ ${\mathbb {L}}$

Rationella tal bildar en samling på vilken de aritmetiska operationerna addition och multiplikation ges, vilka har vissa egenskaper. Men för ytterligare presentation är det faktum att samlingen är linjärt ordnad extremt viktigt : för två olika nummer , och vi kan säga att ett av dem är mindre än det andra. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $a$ $b$

Uppsättningen av punkter på en rak linje är också en linjärt ordnad uppsättning. Ordningsrelationen mellan två punkter och här tar sig uttryck i att den ena punkten ligger till vänster om den andra . ${\mathbb {L}}$ $sid$ $q$ $sid$ $q$

Denna likhet mellan rationella tal och punkter på en linje kan utvecklas genom att upprätta en överensstämmelse mellan dem. Som du vet, för detta väljs en viss startpunkt på en rak linje , en viss längdenhet för att mäta segment, såväl som en positiv riktning . För varje , kan du bygga motsvarande längd, och genom att skjuta upp den från startpunkten till höger eller vänster, beroende på om talet är positivt eller inte, får vi en viss punkt som motsvarar ett rationellt tal . $a\in {\mathbb {Q}}$ $a$ $p\in {\mathbb {L}}$ $a$

Således kan varje rationellt tal associeras med en viss punkt . I det här fallet kommer olika nummer att motsvara olika punkter. Dessutom, om talet är mindre än , kommer punkten som motsvarar att ligga till vänster om punkten som motsvarar . Med andra ord, det etablerade förhållandet bevarar ordningen. $a\in {\mathbb {Q}}$ $p\in {\mathbb {L}}$ $a$ $b$ $sid$ $a$ $q$ $b$

Kontinuitet i rak linje

Samtidigt visar det sig att det finns oändligt många punkter på linjen som inte motsvarar något rationellt tal. Detta följer av förekomsten av inkommensurabla segment, som var kända för de gamla (till exempel inkommensurabiliteten av diagonalen och sidan av kvadraten, det vill säga irrationalitet ). ${\mathbb {L}}$ ${\sqrt {2}}$

Bildligt talat är den räta linjen tätare fylld med punkter än uppsättningen av rationella tal är fylld med siffror. Vi ser att det i uppsättningen av rationella tal finns tomrum , luckor som motsvarar de punkter på linjen för vilka det inte fanns något motsvarande rationellt tal, medan vi säger om linjen att den "kontinuerligt fylls med punkter" . ${\mathbb {L}}$ $\mathbb {Q}$

Den tidigare jämförelsen av regionen av rationella tal med den räta linjen ledde till upptäckten i den första av brister (Lückenhaftigkeit), ofullständighet eller diskontinuitet, medan vi till den räta linjen tillskriver fullständighet, frånvaro av luckor, kontinuitet.R. Dedekind, "Kontinuitet och irrationella tal"

Vad är egentligen denna kontinuitet? Hur kan denna egenskap hos en rät linje uttryckas matematiskt ?

Dedekind gör följande observation. Om det finns en viss punkt på linjen, faller alla punkter på linjen in i två klasser: de som ligger till vänster och de som ligger till höger ; själva punkten kan godtyckligt tilldelas antingen den första eller den andra klassen. Men för punkter på en rät linje, sker den motsatta principen: $sid$ $sid$ $sid$ $sid$

Om punkterna på en linje är uppdelade i två klasser så att varje punkt i den första klassen ligger till vänster om varje punkt i den andra klassen, så finns det en och bara en punkt som producerar denna uppdelning av linjen i två klasser, detta är dissektion av linjen i två delar.R. Dedekind, "Kontinuitet och irrationella tal"

Geometriskt verkar detta förslag uppenbart, men vi kan inte bevisa det. Dedekind påpekar att i verkligheten är denna princip inget annat än ett postulat, som uttrycker essensen av kontinuitetsegenskapen hos en rät linje. Genom att acceptera det tillskriver vi en rät linje den egenskap som vi kallar dess kontinuitet.

Godkännandet av denna egenskap hos en rät linje är inget annat än ett axiom, med hjälp av vilket vi ensamma erkänner dess kontinuitet som en rät linje, och mentalt investerar kontinuitet i en rät linje.R. Dedekind, "Kontinuitet och irrationella tal"

Låt oss förklara innehållet och den geometriska tolkningen av Dedekind-principen. Föreställ dig att alla punkter på linjen är färgade i två färger - grön och röd, så att varje grön punkt ligger till vänster om varje röd punkt.

Det är geometriskt uppenbart att det måste finnas en sådan punkt på linjen där färgerna kommer i kontakt. Det är denna punkt som "delar linjen i två klasser": alla gröna punkter ligger till vänster om den, och alla röda punkter ligger till höger. Detta är principen för Dedekind.

Samtidigt måste själva punkten för "korsningen av färger" vara av en viss färg, eftersom alla punkter på linjen är målade utan undantag. Denna punkt måste antingen vara grön, i detta fall den sista gröna pricken, eller röd, vara den första röda pricken. Som det är lätt att se utesluter dessa två alternativ varandra: i det första fallet finns det ingen första röda prick - det finns röda prickar godtyckligt nära korsningen, men den första är inte bland dem, och i det andra fallet , av liknande skäl finns det ingen sista gröna prick.

Låt oss nu uppmärksamma vilka logiska möjligheter som kan ske teoretiskt, vi har uteslutit, vädjar till geometrisk klarhet. Det är lätt att se att det bara finns två av dem: för det första kan det hända att både den sista gröna och den första röda pricken existerar samtidigt; för det andra kan det hända att det varken finns den sista gröna eller den första röda pricken.

Den första situationen sägs vara ett hopp . En sådan bild är möjlig för en rak linje från vilken ett helt intervall av mellanliggande punkter har utelämnats.

Termen gap används för att beskriva den andra situationen . En sådan bild kan ske för en rak linje från vilken ett helt segment, inklusive dess ändar, har tagits bort - i synnerhet om en enda punkt har tagits bort.

Således innebär kontinuiteten för en linje att det inte finns några hopp eller luckor i den - kort sagt, det finns inga tomrum.

Anmärkningsvärt är att ovanstående definition av kontinuitet gäller alla ordnade uppsättningar av element.

Dedekind kontinuitet

Låt oss nu ge en exakt formulering av Dedekind-kontinuitet tillämplig på en godtyckligt linjärt ordnad uppsättning.

Definition. Låt vara en linjärt ordnad uppsättning. Ett ordnat par av uppsättningar och kallas en sektion i , och själva uppsättningarna kallas de lägre respektive övre klasserna i den givna sektionen , om följande villkor är uppfyllda: ${\mathsf {L}}$ $A$ $A'$ ${\mathsf {L}}$ $A$ $A'$

1. Klasserna är inte tomma:

$A\neq \varnothing ,A'\neq \varnothing$

2. Varje element tillhör minst en av klasserna

{\mathsf {L}}

$A\cup A'={\mathsf {L}}$

3. Varje element i den lägre klassen är mindre än något element i den övre klassen :

$\forall a\in A,\forall a'\in A'\;(a<a')$

Vi kommer att beteckna avsnittet . $A|A'$

Definition. En linjärt ordnad mängd kallas kontinuerlig (enligt Dedekind) om vilken sektion det än är, eller i den lägre klassen av sektionen finns det största elementet, och i det övre finns det inget minsta; eller i överklassen finns ett minsta element, och i den lägre finns det inget största (sådana sektioner kallas Dedekind ). ${\mathsf {L}}$

Som ett exempel, betrakta uppsättningen av rationella tal. Det är lätt att se att det inte kan finnas några hopp i den: om är det maximala elementet i den lägre klassen, är det minsta elementet i överklassen, då talet som ligger mitt emellan och kan inte tillhöra varken den lägre eller överklass, vilket strider mot definitionen av ett avsnitt. $a$ $b$ $(a+b)/2$ $a$ $b$

Samtidigt finns det luckor i uppsättningen av rationella tal – just på de ställen där irrationella tal ska finnas. Betrakta till exempel avsnittet som definieras av uppsättningarna $A|A'$

$A=\{x\in \mathbb {Q} :x\leq 0\lor (x>0\land x^{2}<2)\},A'=\{x\in \mathbb { Q} :x>0\land x^{2}>2\}$

Det är lätt att se att detta verkligen är en sektion, men det finns inget maxelement i den lägre klassen och inget minimumelement i den övre. Det vill säga vi har en lucka.

Konstruktion av irrationella tal

Således är uppsättningen av rationella tal, till skillnad från en rät linje, inte kontinuerlig: den har luckor. I ljuset av det föregående blir det tydligt att för att konstruera en uppsättning reella tal, vars element är associerade med punkterna på en rät linje, är det nödvändigt att fylla i alla tomma platser i uppsättningen av rationella tal.

För varje sektion av en uppsättning rationaler av typrymd, lägger vi till mängden ett nytt element (ett irrationellt tal) , som per definition är större än något tal från den lägre klassen, och mindre än något tal från överklassen . Således fyller vi i det tomma utrymmet mellan sektionsklasserna. Vi kommer att säga att snittet bestämmer det irrationella talet , eller att det irrationella talet producerar snittet . $A|A'$ $\mathbb {Q}$ $\alfa$ $a$ $a'$ $A|A'$ $\alfa$ $\alfa$ $A|A'$

Genom att kombinera alla möjliga fall kan vi säga att varje nedskärning i sfären av rationella tal bestämmer något rationellt eller irrationellt tal som denna nedskärning producerar.

Definition. Ett irrationellt tal är vilken sektion som helst i uppsättningen av rationella tal, i den lägre klassen där det inte finns något största element, och i överklassen det inte finns det minsta.

Definition. Uppsättningen av reella tal är föreningen av uppsättningarna av rationella och irrationella tal. Varje element i uppsättningen av reella tal kallas ett reellt tal .

Uppsättningen av reella tal är, som det är lätt att se, linjärt ordnad enligt den införda ordningsrelationen. Följande faktum är av grundläggande betydelse.

Sats. Uppsättningen av reella tal är Dedekind kontinuerlig.

Denna mening följer inte automatiskt av definitionen av irrationella tal, som fyllde i luckorna i uppsättningen av rationella. Det kräver bevis.

Operationerna addition och multiplikation introduceras på mängden reella tal genom kontinuitet (precis som i teorin om oändliga decimalbråk). Summan av två reella tal kallas nämligen ett reellt tal som uppfyller följande villkor: $\alfa$ $\beta$ $\gamma$

$\forall a,a',b,b'\;(a\leqslant \alpha \leqslant a')\land (b\leqslant \beta \leqslant b')\Högerpil (a+b\leqslant \gamma \leqslant a'+b')$

Det följer av kontinuiteten i reella tal att ett sådant reellt tal existerar och är unikt. Dessutom, om och är rationella tal, så sammanfaller denna definition med den vanliga definitionen av summan av två rationella tal. Multiplikation introduceras på liknande sätt och egenskaper hos operationer och ordningsrelationer bevisas. $\gamma$ $\alfa$ $\beta$

Anteckningar

↑ 1 2 Kantor G. Arbetar med mängdlära / red. A. N. Kolmogorov, F. A. Medvedev, A. P. Yushkevich,. - M. : NAUKA, 1985. - S. 9-10. - (Vetenskapens klassiker).
↑ Arnold I. V. Teoretisk aritmetik. - S. 277.
↑ Faktum är att Cauchy fastställde ett kriterium för konvergens av en serie, som också bär hans namn, men från vart och ett av dessa två kriterier följer lätt ett annat
↑ 1 2 Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Vägar och labyrinter. Essäer om matematikens historia. — S. 287-289.
↑ Ibland, för att överensstämmelsen mellan mängden reella tal och mängden oändliga decimalbråk ska vara en-till-en, betraktar de inte alla, utan bara tillåtna oändliga decimalbråk, och förstår som sådana alla de som inte har en period bestående av en nio, och även bland vilken bråkdel inte ingår $-0,00\ldots$
↑ Rybnikov K. A. Matematikens historia. - T. 2. - S. 197.

Litteratur

Referenser

Arnold V. I. Teoretisk aritmetik. — M .: UCHPEDGIZ, 1938.

Bourbaki N. Essays on the history of mathematics / transl. från franska I.G. Bashmakova, red. K. A. Rybnikova. - M . : Förlag för utländsk litteratur, 1963.

Hilbert D. Foundations of Geometry = Grundlagen der Geometrie / per. från den 7:e tyska upplagan av I. S. Gradshtein, red. P.K. Rashevsky. - M. - L .: Statens förlag för teknisk och teoretisk litteratur, 1948.

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Vägar och labyrinter. Essäer om matematikens historia. — Trans. från franska. - M . : MIR, 1986. - 432 sid.

Dedekind R. Kontinuitet och irrationella tal = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4:e reviderade upplagan. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 sid.

Zorich V. A. Matematisk analys. Del I. - 4:e upplagan, Rev. - M . : MTSNMO, 2002. - XVI + 664 sid. — ISBN 5-94057-056-9 .

Ilyin V. A., Poznak E. G. Fundamentals of Mathematical Analysis: In 2 hours. Del I. - 7:e upplagan - M . : FIZMATLIT, 2005. - 648 sid. - ISBN 5-9221-0536-1 .

Matematikens historia från antiken till början av 1800-talet. I tre volymer / ed. Jusjkevitj. - M. : NAUKA, 1970. - T. 1.

Kantor G. Arbetar med mängdlära / red. A. N. Kolmogorov, F. A. Medvedev, A. P. Yushkevich,. - M . : SCIENCE, 1985. - (Vetenskapens klassiker).

Kudryavtsev L. D. Kurs i matematisk analys. - 5:e uppl. - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 sid. - ISBN 5-7107-4119-1 .

Reed K. Gilbert / övers. från engelska. I.V. Dolgachev, red. R. V. Gamkrelidze. — M .: NAUKA, 1977.

Rybnikov K. A. Matematikens historia. - M . : Moscow Universitys förlag, 1963. - T. 2.

Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. En kurs i matematisk analys. - 3:e uppl., korrigerad .. - M . : FIZMATLIT, 2001. - 672 sid. — ISBN 5-9221-0008-4 .

Fikhtengol's G.M. Fundamentals of Mathematical Analysis. - 7:e uppl. - M. : FIZMATLIT, 2002. - T. 1. - 416 sid. — ISBN 5-9221-0196-X .

Föreslagen läsning

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Vägar och labyrinter. Essäer om matematikens historia.
Matematikens historia från antiken till början av 1800-talet. I tre volymer / ed. Jusjkevitj. - T. 1.
Arnold V. I. Teoretisk aritmetik.
Dedekind R. Kontinuitet och irrationella tal = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 44 s.
Fikhtengol's G.M. Fundamentals of Mathematical Analysis.
Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. En kurs i matematisk analys.
Ilyin V. A., Poznak E. G. Fundamentals of matematisk analys: Om 2 timmar. Del I.

Numeriska system
Räknebara set	Naturliga tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationell ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beräknarbar Aritmetisk
Reella tal och deras anknytningar	Riktig ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonjoner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Ändringar Dubbel Hyperkomplex Superrealistiskt Hypermaterial surrealistiskt
Numeriska förlängningsverktyg	Cayley-Dixon procedur Frobenius teorem Hurwitz teorem
Andra nummersystem	grundtal Ordningstal (transfinita, ordningstal) p-adic Övernaturliga siffror intervallnummer
se även	dubbla siffror Irrationella siffror transcendentala tal nummerstråle Biquaternion