Cauchy kriterium

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 29 januari 2016; kontroller kräver 4 redigeringar .

Cauchy - kriteriet är ett kriterium för att det finns en gräns . Villkoret för Cauchy-kriteriet liknar definitionen av gränsen, men till skillnad från definitionen använder kriteriet inte ett specifikt gränsvärde någonstans i sitt tillstånd. Detta gör att man kan bevisa att det finns en gräns utan att veta något om dess specifika värde. Det finns många olika formuleringar av Cauchy-kriteriet för olika analysobjekt: sekvenser, serier, integraler, funktioner och så vidare.

Cauchys kriterium för existensen av en gräns för en numerisk sekvens

För det enklaste fallet av en numerisk sekvens formuleras Cauchy-kriteriet enligt följande.

Låta vara en numerisk sekvens (sekvens med element från ). $en$ $\mathbb {R}$

$en$ har en gräns i om och endast om: $\mathbb {R}$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m,n>N\colon |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon

[ett]

Villkoret som ställs på sekvensen i Cauchy-kriteriet kallas Cauchy-villkoret . Vid första anblicken är Cauchy-kriteriet inte mycket enklare än definitionen av gränsen, men så är det inte alls. Definitionen av gränsen är formulerad för det redan kända värdet av gränsen. För att bevisa att det finns en gräns genom en definition måste man i förväg veta vad denna gräns kommer att vara lika med. Att vederlägga villkoret i definitionen av gränsen kommer bara att innebära att just detta värde som vi har övervägt inte är en gräns, men det säger absolut ingenting om huruvida något annat värde är en gräns eller inte. För att bevisa att gränsen inte finns, kommer det att vara nödvändigt att kontrollera alla möjliga värden för gränserna. Cauchy-kriteriet, å andra sidan, har ett liknande tillstånd men utan att använda värdet på gränsen för sekvensen, vilket gör att det kan användas utan att känna till någon information om gränsens möjliga värde.

Kravet under förutsättning att gränsen är ett reellt tal är ganska betydande. Cauchy -kriteriet överförs inte till rationella tal: en sekvens av rationella tal kan konvergera till ett irrationellt tal. Den uppfyller alltså Cauchy-villkoret, men har ingen gräns för rationella tal. Motexempel: Utökad nummerrad . En sekvens som tenderar mot oändligheten uppfyller inte Cauchy-villkoret. Men Cauchy-kriteriet kan fortfarande generaliseras till vissa uppsättningar. Till exempel kan du överallt i formuleringen ersätta med , eller överväga komplexa tal istället för reella. Generaliseringen av Cauchy-kriteriet till andra uppsättningar kommer att diskuteras nedan. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Bevis

Behöver.

Låt sekvensen konvergera till . Låt oss skriva ner definitionen av gränsen. $a_{n}\in \mathbb {R}$ $a\in {\mathbb {R}}$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n>N\colon |a_{n}-a|<{\frac {\varepsilon }{2))

Vi fixar och tar motsvarande till det . Låt oss ta godtyckliga . Sedan: $\varepsilon$ $N$ $m,n>N$

|a_{n}-a_{m}|\leq |a_{n}-a|+|a-a_{m}|<{\frac {\varepsilon }{2))+{\frac { \varepsilon }{2}}<\varepsilon

Lämplighet.

Beviset kan delas upp i 3 delar. I den första delen bevisas sekvensens begränsning. I den andra, med hjälp av Bolzano-Weierstrass-satsen , extraheras en konvergent delsekvens från den. I den tredje delen bevisar vi att gränsen för denna undersekvens är gränsen för hela sekvensen.

1. Begränsad sekvens

Låt oss skriva Cauchy-tillståndet.

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n,m>N\colon |a_{n}-a_{m}|<\varepsilon

Vi fixar och tar motsvarande till det . Fixa . Sedan visar det sig att med utgångspunkt från termen för sekvensen så ligger hela sekvensen i -grannskapet till , vilket betyder att den är avgränsad. $\varepsilon$ $N$ $m>N$ $N+1$ $\varepsilon$ $a_m$

2. Bolzano-Weierstrass teorem

Enligt Bolzano-Weierstrass-satsen har en avgränsad talsekvens en konvergent delföljd . Låt oss beteckna dess gräns som . $en$ $a_{n_{k))$ $a$

3. Gränsen för en efterföljd är gränsen för helheten

Låt oss skriva Cauchy-tillståndet.

\forall \varepsilon >0\ \exists N_{1}\i \mathbb {N} \ \forall n,m>N_{1}\colon |a_{n}-a_{m}|<{\ frac {\varepsilon }{2}}

Låt oss skriva ner definitionen av gränsen för en efterföljd.

\forall \varepsilon >0\ \exists N_{2}\in \mathbb {N} \ \forall k>N_{2}\colon |a_{n_{k}}-a|<{\frac { \varepsilon }{2}}

Vi fixar . Vi tar motsvarande och . Låt oss ta en sådan . Sedan $\varepsilon$ $N_1$ $N_2$ ${\displaystyle n>N_{1))$ $k>N_{2}$ ${\displaystyle n_{k}>N_{1))$

|a_{n}-a|\leq |a_{n}-a_{n_{k}}|+|a_{n_{k}}-a|<{\frac {\varepsilon }{2} }+{\frac {\varepsilon }{2}}<\varepsilon

Formuleringar av Cauchy-kriteriet för olika analysobjekt

Överallt nedan kan ersättas med , eller . $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb{C}^n$

Cauchys kriterium för existensen av en gräns för en funktion

Låt funktionen definieras , var basen i . $f\colon X\to \mathbb {R}$ ${\mathfrak {B}}$ $X$

Basgränsen för en funktion finns om och endast om $f$ ${\mathfrak {B}}$ $\mathbb {R}$

\forall \varepsilon >0\ \exists b\in {\mathfrak {B}}\forall x_{1},x_{2}\in b\colon |f(x_{1})-f(x_ {2})|<\varepsilon

[2]

Alla Cauchy-kriterier för reella tal är på ett eller annat sätt ett specialfall av Cauchy-kriteriet för en funktion.

Cauchy-kriterium för Riemann-integrerbarhet för en funktion

Låt funktionen definieras . $f\colon [a;b]\to \mathbb {R}$

En funktion är Riemann-integrerbar på om och endast om: $f$ $[a;b]$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall (\tau ',\xi '),(\tau '',\xi '')\i T'[a;b], d(\tau ')<\delta ,d(\tau '')<\delta :|\sigma (f,\tau ',\xi ')-\sigma (f,\tau '',\xi '' )|<\varepsilon

[3]

Kriteriet överförs nästan oförändrat till flera integraler (intervallet ersätts av en Jordan-mätbar uppsättning).

Cauchys kriterium för konvergens av en nummerserie

Låta vara en nummerserie (en serie med element från ). $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\mathbb {R}$

Serien konvergerar om och endast om: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\mathbb {R}$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m>N\ \forall p\in \mathbb {N} \colon \left|\sum _{i=m} ^{m+p}a_{i}\right|<\varepsilon

[fyra]

Cauchy-kriteriet för konvergens av en felaktig integral

Låt en funktion definieras och vid en punkt har den en singularitet av det första eller andra slaget. $f\colon [a;b)\to \mathbb {R}$ $b$

Den felaktiga integralen konvergerar om och endast om: $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in [a;b)\forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b),x_{1}<x_{2} \colon \left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,dx\right|<\varepsilon

[5]

Kriteriet kan också formuleras för fallet om singulariteten är på plats . Då konvergerar den felaktiga integralen om och endast om: $a$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in (a;b]\forall x_{1},x_{2}\in (a;\delta ),x_{1}<x_{2} \colon \left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,dx\right|<\varepsilon

Cauchys kriterium för enhetlig konvergens av en funktionell sekvens

Låta vara en funktionell sekvens, . $f_{n}(x)$ $f_{n}\colon X\to \mathbb {R}$

En sekvens konvergerar enhetligt i någon funktion om och endast om: $f_{n}(x)$ $X$ $f\colon X\to \mathbb {R}$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m,n>N\ \forall x\in X\colon \left|f_{m}(x)-f_{ n}(x)\right|<\varepsilon

[6]

Cauchy-kriteriet för enhetlig konvergens av en familj av funktioner

Låt funktionen definieras , var basen i . $f\colon X\ gånger Y\to \mathbb {R}$ ${\mathfrak {B}}$ $X$

En funktion konvergerar enhetligt till en funktion med avseende på basen om och endast om $f(x,y)$ $Y$ $f\colon Y\to \mathbb {R}$ ${\mathfrak {B}}$

\forall \varepsilon >0\ \exists b\in {\mathfrak {B}}\forall x_{1},x_{2}\in b\ \forall y\in Y\colon |f(x_{ 1},y)-f(x_{2},y)|<\varepsilon

[7]

Cauchys kriterium för enhetlig konvergens av en funktionell serie

Låt vara en funktionell serie, . $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ $f_{n}\colon X\to \mathbb {R}$

En serie konvergerar enhetligt i någon funktion om och endast om: $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ $X$ $f\colon X\to \mathbb {R}$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m>N\ \forall p\in \mathbb {N} \ \forall x\in X\colon \left|\ summa _{i=m}^{m+p}f_{i}(x)\right|<\varepsilon

[6]

Cauchy-kriteriet för enhetlig konvergens av en felaktig integral med parametern

Låt en funktion definieras och vid en punkt har den en singularitet av det första eller andra slaget. $f\colon [a;b)\ gånger Y\to \mathbb {R}$ $b$

En felaktig integral med en parameter konvergerar enhetligt om och endast om: $\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\,dx$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in [a;b)\forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b),x_{1}<x_{2} \ \forall y\in Y\colon \left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(x,y)\,dx\right|<\varepsilon

[åtta]

Låt en funktion definieras och vid en punkt har den en singularitet av det första eller andra slaget. $f\colon (a;b]\ gånger Y\to \mathbb {R}$ $a$

En felaktig integral med en parameter konvergerar enhetligt om och endast om: $\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\,dx$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in (a;b]\ \forall x_{1},x_{2}\in (a;\delta ),x_{1}<x_{2 }\ \forall y\in Y\colon \left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(x,y)\,dx\right|<\varepsilon

Cauchys kriterium och Cantors definition av reella tal

Som nämnts tidigare överförs inte Cauchy-kriteriet till rationella tal . Ännu mer kan sägas: uppfyllandet av Cauchy-kriteriet är själva egenskapen som skiljer reella tal från rationella. Detta bör förstås på det sättet att lägga till nya element till de rationella talen på ett sådant sätt att Cauchy-kriteriet är uppfyllt kommer att producera en uppsättning reella tal. Cantors definition av reella tal är baserad på detta faktum .

Av det ovanstående följer att Cauchy-kriteriet inte överförs till någon uppsättning där ett sådant villkor kan övervägas. Låt vara ett antal nummer. Sekvensen av element i denna uppsättning som uppfyller Cauchy-villkoret kallas den fundamentala (eller Cauchy-sekvensen). Det vill säga, en fundamental sekvens är en sekvens för vilken följande villkor är uppfyllt: $X$ $en$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m,n>N\colon |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon

Varje konvergerande sekvens av element är grundläggande. Men samtidigt konvergerar inte någon grundläggande sekvens av element i . Ett exempel på en sådan situation är uppsättningen . Tänk på följande sekvens av rationella tal: $X$ $X$ $X$ $X$ $\mathbb {Q}$

0.1;0.101;0.101001;0.1010010001;\ldots

Det är uppenbart att det konvergerar till ett irrationellt tal , vilket betyder att det är fundamentalt. Men samtidigt, i uppsättningen av rationella tal, har denna sekvens ingen gräns. Således anger Cauchy-kriteriet att varje fundamental sekvens konvergerar i reella tal. $0.101001000100001\ldots$

Alla reella tal är gränsen för någon grundläggande sekvens av rationella tal. Denna egenskap tillåter oss att konstruera Cantors definition av reella tal. Det är helt enkelt omöjligt att tilldela ett reellt tal till varje icke-konvergent i grundsekvensen: olika sekvenser kan konvergera till samma tal. Det är dock uppenbart att skillnaden mellan sådana sekvenser kommer att vara lika med . Vi identifierar de grundläggande sekvenserna av rationella tal vars skillnad tenderar till noll. Varje uppsättning identifierade sekvenser kommer att motsvara exakt ett reellt tal. Således är det möjligt att definiera reella tal som samma mängder. Operationer av summa, skillnad, multiplikation av reella tal motsvarar operationer av summa, skillnad, multiplikation av sekvenser. $\mathbb {Q}$ $0$

Cauchy-kriterium i metriskt utrymme

Begreppet en fundamental sekvens kan generaliseras till vilket metriskt utrymme som helst . Låt vara ett metriskt utrymme. En sekvens av element kallas fundamental om följande villkor är uppfyllt för den: $(X,\rho)$ $en$ $X$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m,n>N\colon \rho (a_{m},a_{n})<\varepsilon

Detta generaliserar uppfattningen om en grundläggande sekvens för en taluppsättning. Fundamentalitet beror på rummets måttenhet: en fundamental sekvens i en måttenhet kanske inte är fundamental i en annan. För en sifferuppsättning kan du också ange ett annat mått än standarden, och definitionen av en grundläggande sekvens kommer att skilja sig från definitionen i föregående avsnitt. Därför, på tal om en fundamental sekvens, är det nödvändigt att fastställa i vilken metrik den fundamentala naturen antas.

Varje konvergent sekvens av ett metriskt utrymme är fundamental, men inte varje fundamental sekvens konvergerar till ett element från dess utrymme. Det utrymme där varje fundamental sekvens konvergerar kallas komplett . Således är ett komplett metriskt utrymme, men inte. $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$

Således är Cauchy-kriteriet uppfyllt för varje komplett metriskt utrymme. Det bör förstås att dess implementering i ett komplett metriskt utrymme trivialt följer av definitionen, helt enkelt för att utrymmet då är komplett när Cauchy-kriteriet är uppfyllt i det. Dess uppfyllelse på mängden reella tal följer inte trivialt av definitionen: det faktum att mängden reella tal är ett komplett metriskt utrymme kräver bevis. Således är beviset för Cauchy-kriteriet för reella tal ett bevis på deras fullständighet, och dess uppfyllelse i det mer allmänna fallet med ett godtyckligt komplett metriskt utrymme kräver inte bevis alls.

Cantors konstruktion av reella tal kan tillämpas generellt på vilket metriskt utrymme som helst. På liknande sätt, genom att identifiera de fundamentala sekvenserna vars skillnad tenderar till noll, får vi ett superrymd över det ursprungliga rummet, som då kommer att vara komplett. En sådan operation kallas påfyllning . De reella siffrorna är inget annat än fullbordandet av de rationella. Kompletteringsoperationen fullbordar inte utrymmet med alla möjliga begränsningar av sekvenser, inte ens i betydelsen en partiell gräns: sekvensen av naturliga tal, till exempel, har inte en partiell gräns i . $\mathbb {R}$

Det bör förstås att Cauchy-kriteriet endast är vettigt för metriska utrymmen. Till exempel: sekvensen av naturliga tal tenderar att vara i . Det är dock inte grundläggande. Detta händer eftersom det inte är ett metriskt utrymme, vilket innebär att begreppet en fundamental sekvens inte kan definieras för det alls. Grundläggande beror på måttet, men inte på måttet. Sekvensen av naturliga tal är inte grundläggande i metriken , men det är ingen mening att säga något djupgående i . Trots detta kan ett mått anges i ett topologiskt utrymme. Att begränsa det till kommer naturligtvis inte att sammanfalla med standardmåttet , men samtidigt kommer sekvensen av naturliga tal redan i ett sådant mått att vara grundläggande. I det här fallet, i den vanliga definitionen av fundamentalitet för numeriska sekvenser, kommer skillnadsmodulen att ersättas med formeln för metriken som definieras på . $+\infty$ ${\overline {R))$ ${\overline {R))$ ${\overline {R))$ $\mathbb {R}$ ${\overline {R))$ ${\overline {R))$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ ${\overline {R))$

Cauchys kriterium för existensen av en gräns för en funktion, med värden i ett komplett metriskt utrymme

Det mest allmänna Cauchy-kriteriet kan formuleras för funktioner med värden i ett komplett metriskt utrymme. Alla andra kriterier är specialfall av detta.

Låt en funktion definieras , vara en bas i , vara ett komplett metriskt utrymme. $f\kolon X\till Y$ ${\mathfrak {B}}$ $X$ $Y$

Basgränsen för en funktion finns om och endast om $f$ ${\mathfrak {B}}$ $Y$

\forall \varepsilon >0\ \exists b\in {\mathfrak {B}}\forall x_{1},x_{2}\in b\colon \rho (f(x_{1}),f (x_{2}))<\varepsilon

Detta kriterium följer inte trivialt av definitionen av fullständighet. För ett godtyckligt metriskt utrymme behöver en funktion som uppfyller detta villkor inte konvergera till ett element i det, men det kommer att konvergera till ett element i några av dess kompletteringar.

Bevis

Låt ett metriskt utrymme ges $(Y,\rho )$

Behöver.

Nödvändighet kräver inte ens att det metriska utrymmet är fullständigt . Låt funktionen konvergera till . Låt oss skriva ner definitionen av gränsen. $Y$ $f(x)\colon X\to Y$ $a\in Y$

\forall \varepsilon >0\ \exists b\in {\mathfrak {B))\ \forall x\in B\colon \rho (f(x),a)<{\frac {\varepsilon }{ 2}}

Vi fixar och tar motsvarande till det . Låt oss ta godtyckliga . Sedan: $\varepsilon$ $b$ $x_{1},x_{2}\in b$

\rho (f(x_{1}),f(x_{2}))\leq \rho (f(x_{1}),a)+\rho (a,f(x_{2}) )<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}<\varepsilon

Lämplighet.

Den här gången är utrymmets fullhet viktigt . Beviset är detsamma som vid en numerisk sekvens uppdelad i delar. Den första delen innehåller en konvergent sekvens, och den andra delen bevisar att gränsen för denna sekvens är gränsen för hela funktionen med avseende på basen. $Y$

1. Sekvensval

Den första delen av beviset är baserad på axiomet för countable choice ). Låt oss skriva Cauchy-tillståndet.

\forall \varepsilon >0\ \exists b\in {\mathfrak {B}}\ \forall x_{1},x_{2}\in b\colon \rho (f(x_{1}), f(x_{2}))<\varepsilon

Låt oss ta en godtycklig och fixa den. Låt oss ta motsvarande . Låt oss beteckna med . Låt oss välja en godtycklig punkt . Därför har vi valt en punkt för varje . $n\in {\mathbb {N}}$ $b_{n}\in {\mathfrak {B}}$ $\epsilon ={\frac {1}{n}}$ ${\displaystyle b_{n}'\subset b_{1}\cap \ldots \cup b_{n))$ $b_{n}'$ $en$ $n$ $en$

Se det som en sekvens. Med utgångspunkt från elementet ligger medlemmarna i sekvensen i , dvs , och därmed . Således är sekvensen grundläggande, vilket betyder att den konvergerar. $en$ $n$ $b_n$ ${\displaystyle \forall m>=n\colon a_{m}\in b_{n))$ $\forall k,m>=n\colon \rho (f(a_{k}),f(a_{m}))<{\frac {1}{n))$ $f(a_{n})$

2. Gränsen för en sekvens är gränsen för hela funktionen

Sekvens - konvergerar till något element . Vi skriver definitionen av gränsen och tar : $f(a_{n})$ $c\in Y$ $\varepsilon ={\frac {1}{2n))$

\forall n\in \mathbb {N} \ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m>N\colon \rho (f(a_{m}),c)<{\frac { 1}{2n}}

Vi fixar . Vi tar för det motsvarande och godtyckliga så att . Sedan: $n\in \mathbb {N}$ $N$ $m>N$ $m>2n$

\rho (f(a_{m}),c)<{\frac {1}{n))

Vi tar det som det definierades i första delen. Sedan, för vilken som helst $b_{m}$ ${\displaystyle x\in b_{m))$

\rho (f(x),f(a_{m}))<{\frac {1}{m))<{\frac {1}{2n))

Äntligen får vi:

\rho (f(x),c)\leq \rho (f(x),f(a_{m}))+\rho (f(a_{m}),c)<{\frac { 1}{2n}}+{\frac {1}{2n}}={\frac {1}{n}}

Faktum är att beviset för Cauchy-kriteriet för numeriska sekvenser också använder axiomet för countable choice, endast implicit. Dess bevis använder Bolzano-Weierstrass-satsen, som beror på axiomet för det räknebara valet, eller mer exakt, på axiomet för det räknebara valet för delmängder . $\mathbb {R}$

Anteckningar

↑ Arkhipov, 1999 , sid. 56.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 66.
↑ Kudryavtsev, 2003 , sid. 539.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 334.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 231.
↑ 1 2 Arkhipov, 1999 , sid. 374.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 416.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 419.

Litteratur

Arkhipov G.I. , Sadovnichiy V.A. , Chubarikov V.N. Föreläsningar om matematisk analys / Ed. V. A. Sadovnichy. - 1:a uppl. - M . : Higher School , 1999. - 695 sid. - ISBN 5-06-003596-4 .
Kudryavtsev L. D. Kurs i matematisk analys. I 3 volymer. T. 1. Differential- och integralkalkyl av funktioner för en variabel - M. : Drofa, 2003. - 704 sid.