Aporia Zeno

Aporiorna "Dichotomy" och "Arrow" påminner om följande paradoxala aforismer som tillskrivs den ledande representanten för den forntida kinesiska "namnskolan" ( ming jia ) Gongsun Long (mitten av 400-talet f.Kr.  - mitten av III-talet f.Kr. ):

• "I den snabba [flygningen] av en pil finns det ett ögonblick av frånvaro av både rörelse och stopp."
• "Om en pinne [längd] av en chi tas bort varje dag med hälften, kommer den inte att slutföras ens efter 10 000 generationer."

Aristoteles kritik av aporierna

Aristoteles ( 300-talet f.Kr. ) ansåg att materia var kontinuerlig och obestämbart delbar. I bok IV (kapitel 2, 3), VI (kapitel 2, 9) och VIII (kapitel 8) i hans "Fysik" analyserar och förkastar han Zenons argument [23] . När det gäller rörelsens aporier, betonar Aristoteles att även om ett tidsintervall kan delas på obestämd tid, kan det inte bestå av isolerade punkter-ögonblick och det är omöjligt att korrelera oändlig tid med denna oändliga delbarhet:

Zeno har fel. Om alltid - säger han - varje [kropp] är i vila när den är på samma plats [till sig själv], och en rörlig [kropp] i ögonblicket "nu" alltid är [på en plats lika med sig själv], så flygande pil är orörlig. Men detta är inte sant, eftersom tiden inte består av odelbart "nu", och inte heller någon annan kvantitet.
Det finns fyra resonemang av Zeno om rörelse, som ger stora svårigheter för dem som försöker lösa dem. Den första handlar om att rörelse inte existerar med motiveringen att den rörliga [kroppen] måste nå hälften innan den når slutet.<…> Den andra är den så kallade "akilles": den består i att den långsammaste [ varelse] kan aldrig överträffas i flykten av den snabbaste, ty förföljaren måste först komma till den plats från vilken förföljaren redan har flyttat, så att den långsammare alltid måste vara före [förföljaren] med ett [avstånd] ]. Och detta resonemang bygger på att dela på mitten, men skiljer sig [från det föregående] genom att värdet som tas inte delas i två lika delar.<...>
Det tredje, som nyss nämnts, är att den flygande pilen står still; det följer av antagandet att tiden består av [separata] "nu"; om detta inte känns igen kommer syllogismen att misslyckas.

Diogenes rapporterar att Aristoteles och Heraclides av Pontus hade skrifter som hette "Against the Teachings of Zeno", men de har inte överlevt.

Åsikterna från historiker och kommentatorer om Aristoteles argument var delade: vissa ansåg dem tillräckliga, andra kritiserade dem för att vara föga övertygande och sakna djup. I synnerhet förklarade inte Aristoteles hur en ändlig tidsperiod kan bestå av ett oändligt antal delar [16] . V. Ya. Komarova skriver [24] :

Aristoteles ståndpunkt är tydlig, men inte oklanderlig – och framför allt för att han själv inte lyckades upptäcka logiska fel i bevisen, inte heller att ge en tillfredsställande förklaring till paradoxerna... Aristoteles misslyckades med att vederlägga argumenten av den enkla anledningen att Zenos bevis är logiskt oklanderligt.

Atomistiskt tillvägagångssätt

Den första forntida grekiska atomisten , Leucippus , var en elev till Zeno och en av lärarna till en annan stor atomist, Demokritos . Den mest detaljerade beskrivningen av forntida atomism är Epikuros system , IV - III århundraden f.Kr. e.  - kom till oss i presentationen av Lucretius Cara . Till skillnad från Aristoteles ansåg Epikurus att världen var diskret , bestående av evigt rörliga odelbara atomer och tomhet. Av särskilt intresse är det epikuriska begreppet isotachy , enligt vilket alla atomer rör sig med samma hastighet [25] . Med tanke på att det i Epikuros värld är omöjligt att mäta något mindre än en atom, följer det att det också finns ett minsta mätbart tidsintervall. Den matematiska idealiseringen av denna modell representerade vilken kropp, figur eller linje som helst som en förening av ett oändligt antal oändligt små odelbara (detta tillvägagångssätt som " metoden för odelbara " utvecklades speciellt under 1500- och 1600 - talen ).

Som en konsekvens blir den observerade rörelsen från kontinuerligt abrupt. Alexander av Afrodisias , en kommentator om Aristoteles, sammanfattade åsikterna från Epikuros anhängare på detta sätt: "De hävdar att både rymden, rörelsen och tiden består av odelbara partiklar, hävdar de också att en rörlig kropp rör sig genom hela rymden, som består av av odelbara delar, och på var och en finns inga odelbara delar av rörelsen, utan endast resultatet av rörelsen” [26] . Ett sådant tillvägagångssätt devalverar omedelbart Zenos paradoxer, eftersom det tar bort alla oändligheter därifrån.

Diskussion i modern tid

Kontroversen kring de zenoniska aporierna fortsatte in i modern tid. Fram till 1600-talet fanns inget intresse för aporia, och deras aristoteliska bedömning var allmänt accepterad. Den första seriösa studien genomfördes av den franske tänkaren Pierre Bayle , författare till den berömda Historical and Critical Dictionary ( 1696 ). I en artikel om Zeno kritiserade Bayle Aristoteles ståndpunkt och kom fram till att Zeno hade rätt: begreppen tid, förlängning och rörelse är förknippade med svårigheter som är oöverstigliga för det mänskliga sinnet [27] .

Ämnen som liknar aporier berörs i Kants antinomier . Hegel betonade i sin History of Philosophy att Zenons dialektik av materien "inte har vederlagts förrän idag" ( ist bis auf heutigen Tag unwiderlegt ) [2] . Hegel berömde Zeno som "dialektikens fader" inte bara i den antika utan också i den hegelianska betydelsen av ordet dialektik . Han noterade att Zeno skiljer mellan sensuellt uppfattad och tänkbar rörelse. Den senare, i enlighet med sin filosofi, beskrev Hegel som en kombination och konflikt av motsatser, som en dialektik av begrepp [28] . Hegel svarar inte på frågan om hur denna analys är tillämplig på verklig rörelse, utan begränsar sig till slutsatsen: "Zeno insåg definitionerna i våra idéer om rum och tid och upptäckte motsägelserna i dem" [29]

Under andra hälften av 1800-talet var många vetenskapsmän engagerade i analysen av Zenos paradoxer och uttryckte en mängd olika synpunkter. Bland dem [2] :

• tysk filosof Eduard Zeller ;
• den franske vetenskapshistorikern Paul Tannery , som ansåg Zenons paradoxer som ett argument i kritiken av pytagoreanismen [30] ;
• den franske historikern Victor Brochard , enligt vilken Zenos logik är oklanderlig;

och många andra.

Modern tolkning

Ganska ofta förekom (och fortsätter att dyka upp) försök att matematiskt motbevisa Zenos resonemang och därigenom "stänga ämnet". Till exempel, genom att konstruera en serie av minskande intervall för aporien "Akilles och sköldpaddan", kan man enkelt bevisa att den konvergerar, så att Akilles kommer att gå om sköldpaddan. I dessa "bestridelser" ersätts emellertid tvistens kärna. I Zenos aporier talar vi inte om en matematisk modell, utan om verklig rörelse, och därför är det meningslöst att begränsa analysen av paradoxen till intramatematiska resonemang – Zeno ifrågasätter ju bara tillämpbarheten av idealiserade matematiska begrepp på verkliga rörelse [16] [31] . Om problemet med den verkliga rörelsens tillräcklighet och dess matematiska modell, se nästa avsnitt i denna artikel.

D. Hilbert och P. Bernays i monografin "Fundamentals of Mathematics" ( 1934 ) anmärker om aporian "Akilles och sköldpaddan" [32] :

Vanligtvis försöker folk komma runt denna paradox genom att hävda att summan av ett oändligt antal av dessa tidsintervall konvergerar och därmed ger ett ändligt tidsintervall. Detta resonemang berör dock absolut inte ett i grunden paradoxalt ögonblick, nämligen paradoxen, som består i det faktum att något oändligt sekvens av händelser följer efter varandra, en sekvens vars fullbordande vi inte ens kan föreställa oss (inte bara fysiskt, utan åtminstone i princip) , i själva verket borde det fortfarande sluta .

Allvarliga studier av Zenos aporier överväger de fysiska och matematiska modellerna tillsammans. R. Courant och G. Robbins anser att för att lösa paradoxer är det nödvändigt att avsevärt fördjupa vår förståelse av fysisk rörelse [33] . Med tiden passerar en rörlig kropp successivt alla punkter i sin bana, men om det för ett intervall av rum och tid som inte är noll är det inte svårt att ange intervallet efter den, så är det för en punkt (eller ett ögonblick) omöjligt att ange punkten efter den, och detta bryter mot sekvensen. "Det kvarstår en oundviklig skillnad mellan den intuitiva idén och det exakta matematiska språket utformat för att beskriva dess huvudlinjer i vetenskapliga, logiska termer. Zenos paradoxer avslöjar tydligt denna diskrepans.

Gilbert och Bernays uttrycker åsikten att paradoxernas väsen ligger i otillräckligheten hos en kontinuerlig, oändligt delbar matematisk modell, å ena sidan, och fysiskt diskret materia, å andra sidan [34] : "vi behöver inte nödvändigtvis tro att den matematiska rum-tidsrepresentationens rörelse har en fysisk betydelse för godtyckligt små intervall av rum och tid. Med andra ord, paradoxer uppstår på grund av den felaktiga tillämpningen på verkligheten av de idealiserade begreppen "rumspunkt" och "tidsögonblick", som inte har några analoger i verkligheten, eftersom varje fysiskt objekt har dimensioner som inte är noll, inte noll varaktighet och kan inte vara delbar på obestämd tid.

Liknande synpunkter finns hos Henri Bergson och Nicolas Bourbaki . Enligt Henri Bergson [35] :

De motsättningar som påpekats av den eletiska skolan gäller inte så mycket själva rörelsen som sådan, utan den konstgjorda omvandlingen av rörelsen som vårt sinne utför.

Bergson menade att det finns en grundläggande skillnad mellan rörelse och tillryggalagd sträcka. Den tillryggalagda sträckan kan delas upp godtyckligt, medan rörelsen inte kan delas godtyckligt. Varje steg av Achilles och varje steg av sköldpaddan måste betraktas som odelbart. Detsamma gäller för flygningen av en pil:

Sanningen är att om en pil lämnar punkt A och träffar punkt B, så är dess rörelse AB lika enkel, lika oupplöslig - eftersom det är rörelse - som spänningen i bågen som skjuter den.

Enligt Nicolas Bourbaki [36] :

Frågan om rymdens oändliga delbarhet (utan tvekan ställd av de tidiga pytagoreerna) ledde, som ni vet, till betydande svårigheter inom filosofin: från Eleatics till Bolzano och Cantor , matematiker och filosofer var oförmögna att lösa paradoxen - hur ett ändligt värde kan bestå av ett oändligt antal punkter, utan storlek.

Bourbakis anmärkning innebär att det är nödvändigt att förklara hur en fysisk process tar oändligt många olika tillstånd under en begränsad tid. En möjlig förklaring är att rum-tid faktiskt är diskret , det vill säga det finns minimala delar ( kvanta ) av både rum och tid [37] . Om det är så försvinner alla oändlighetens paradoxer i aporias. Richard Feynman sa [38] :

Teorin att rymden är kontinuerlig förefaller mig fel, eftersom det [inom kvantmekaniken] leder till oändligt stora mängder och andra svårigheter. Dessutom svarar den inte på frågan om vad som bestämmer storleken på alla partiklar. Jag misstänker starkt att enkla representationer av geometri, utvidgade till mycket små ytor i rymden, är fel.

Diskret rum-tid diskuterades aktivt av fysiker redan på 1950-talet,  i synnerhet i samband med projekten för en enhetlig fältteori [39] , men inga betydande framsteg gjordes längs denna väg.

S. A. Vekshenov menar att för att lösa paradoxer är det nödvändigt att införa en numerisk struktur som är mer förenlig med intuitiva fysiska begrepp än Cantors punktkontinuum [40] . Ett exempel på en icke-kontinuumteori om rörelse föreslogs av Sadeo Shiraishi [41] .

Maurice Kline skriver i sina kommentarer om Zenos aporier: "Det är viktigt att tydligt inse att naturen och den matematiska beskrivningen av naturen inte är samma sak, och skillnaden beror inte bara på det faktum att matematik är en idealisering .. Naturen är kanske ojämförligt mer komplex, eller dess struktur har ingen speciell regelbundenhet” [42] .

" Mathematical Encyclopedic Dictionary " anser att essensen av aporias är ganska djup, och överväger olika sätt att lösa problemet [43] :

Det är möjligt att ifrågasätta bekvämligheten eller lämpligheten av den faktiska rörelsen av en vanlig matematisk modell. För att studera begreppet fysiska oändligt stora och oändligt stora kvantiteter har man upprepade gånger försökt konstruera en teori om reella tal där Arkimedes axiom inte håller. Hur som helst är teorin om icke-arkimediska ordnade fält en mycket meningsfull del av modern algebra.

Nästa avsnitt av den här artikeln innehåller en mer detaljerad diskussion om detta ämne.

Tillräckligheten av den analytiska teorin om rörelse

Den allmänna teorin om rörelse med variabel hastighet utvecklades i slutet av 1600-talet av Newton och Leibniz . Den matematiska grunden för teorin är matematisk analys , ursprungligen baserad på begreppet en oändlig storhet. I diskussionen om vad som utgör en infinitesimal har två uråldriga tillvägagångssätt återupplivats [44] [45] .

• Det första tillvägagångssättet, som Leibniz tog, dominerade hela sjuttonhundratalet . I likhet med forntida atomism, betraktar han infinitesimals som en speciell sorts tal (större än noll, men mindre än något vanligt positivt tal). En rigorös motivering för detta tillvägagångssätt (den så kallade icke-standardiserade analysen ) utvecklades av Abraham Robinson på 1900-talet . Grunden för Robinsons analys är ett utökat talsystem ( hyperreala tal ). Naturligtvis har Robinsons infinitesimaler liten likhet med forntida atomer, om så bara för att de är oändligt delbara, men de tillåter oss att korrekt betrakta en kontinuerlig kurva i tid och rum som bestående av ett oändligt antal oändligt små sektioner.
• Det andra tillvägagångssättet föreslogs av Cauchy i början av 1800-talet . Dess analys bygger på vanliga reella tal , och begreppet gräns används för att analysera kontinuerliga beroenden . En liknande åsikt om motiveringen av analysen hade Newton , D'Alembert och Lagrange , även om de inte alltid var konsekventa i denna åsikt.

Båda tillvägagångssätten är praktiskt taget likvärdiga, men ur fysikens synvinkel är den första mer bekväm; läroböcker i fysik innehåller ofta fraser som "låt dV  vara en oändlig volym...". Å andra sidan är frågan om vilken av tillvägagångssätten som ligger närmast den fysiska verkligheten inte löst. I det första tillvägagångssättet är det inte klart vad infinitesimala tal motsvarar i naturen. I det andra fallet hindras den fysiska och matematiska modellens tillräcklighet av det faktum att operationen att passera till gränsen är en instrumentell forskningsteknik som inte har någon naturlig analog. I synnerhet är det svårt att tala om den fysiska lämpligheten hos oändliga serier, vars element refererar till godtyckligt små intervall av rum och tid (även om sådana modeller ofta och framgångsrikt används som en ungefärlig modell av verkligheten) [5] [46 ] . Slutligen har det inte bevisats att tid och rum är ordnade på något sätt som liknar de matematiska strukturerna för reella eller hyperreala tal [40] .

Ytterligare komplexitet infördes i frågan av kvantmekaniken , som visade att diskrethetens roll ökar kraftigt i mikrovärlden. Därmed är diskussionerna om strukturen av rum, tid och rörelse, initierade av Zeno, aktivt pågående och långt ifrån över.

Andra aporier av Zenon

Ovanstående (mest kända) aporier av Zenon gällde tillämpningen av begreppet oändlighet på rörelse, rum och tid. I andra aporier visar Zeno andra, mer allmänna aspekter av oändligheten. Men till skillnad från de tre berömda aporiorna om fysisk rörelse är andra aporier mindre tydligt angivna och berör huvudsakligen rent matematiska eller allmänna filosofiska aspekter. Med tillkomsten av den matematiska teorin om oändliga mängder föll intresset för dem avsevärt.

Stadium

Aporia "Stadium" (eller "Rounds") i Aristoteles ("Physics", Z, 9) är inte helt klart formulerad:

Det fjärde [argumentet] handlar om lika kroppar som rör sig runt stadion i motsatta riktningar parallellt med lika [kroppar]; några [rör sig] från slutet av scenen, andra från mitten med samma hastighet, varav, som han tror, ​​det följer att halva tiden är dubbelt.

Forskare har erbjudit olika tolkningar av denna aporia. L. V. Binnikov formulerade det på följande sätt [47] :

S. A. Yanovskaya erbjuder en annan tolkning baserat på atomistiska premisser [48] :

Låt tiden bestå av odelbara förlängda atomer. Låt oss föreställa oss två löpare i motsatta ändar av loppet, så snabba att var och en av dem behöver bara en tidsatom för att springa från ena änden av loppet till den andra. Och låt båda rinna ut samtidigt från motsatta ändar. När de möts kommer tidens odelbara atom att delas på mitten, det vill säga kroppar kan inte flytta in i tidens atomer, som antogs i "Pil"-aporian.

Enligt andra tolkningar liknar idén med denna aporia Galileos paradox eller "Aristoteles hjul" : en oändlig mängd kan vara likvärdig med dess del [49] .

Pluralitet

En del av aporierna ägnas åt diskussionen om frågan om världens enhet och mångfald [17] .

Liknande frågor diskuteras i Platons dialog Parmenides [50] , där Zeno och Parmenides förklarar sin position i detalj. I modernt språk betyder detta resonemang av Zenon [17] att multipelvarelse inte kan vara faktiskt oändlig och därför måste vara ändlig, men nya saker kan alltid läggas till existerande saker, vilket motsäger ändligheten. Slutsats: vara kan inte vara plural.

Kommentatorer uppmärksammar det faktum att denna aporia i sitt schema påminner extremt om mängdteorins antinomier som upptäcktes vid 1800- och 1900 - talens skiftning [17] [51] , särskilt Cantors paradox : å ena sidan kardinalitet av mängden av alla uppsättningar är större än kardinalitet av någon annan uppsättning , men å andra sidan, för varje uppsättning är det inte svårt att specificera en uppsättning av större kardinalitet ( Cantors sats ). Denna motsägelse, helt i Zenons aporias anda, löses entydigt: abstraktionen av mängden av alla uppsättningar erkänns som oacceptabel och obefintlig som ett vetenskapligt begrepp.

Mät

Simplicius beskriver denna aporia på följande sätt [14] .

Med andra ord, om att dela en sak på mitten bevarar dess kvalitet, så får vi i gränsen att saken är både oändligt stor (eftersom den är oändligt delbar) och oändligt liten. Dessutom är det inte klart hur en befintlig sak kan ha oändligt små dimensioner.

Mer detaljerat finns samma argument i Philopons kommentarer [52] . Liknande resonemang av Zenon citeras och kritiseras av Aristoteles i hans "Metaphysics" [53] :

Om det ena i sig är odelbart så måste det enligt Zenos ståndpunkt vara ingenting. Faktum är att om att lägga till något till en sak inte gör den större och att ta bort den från den inte gör den mindre, då, säger Zeno, hänvisar detta något inte till det existerande, eftersom man tydligt tror att det existerande är en storhet, och eftersom storleken, så är något kroppsligt: ​​trots allt är det kroppsliga ett väsen i fullt mått; dock ökar andra kvantiteter, såsom planet och linjen, om de läggs till i det ena fallet, men inte i det andra; punkt och enhet gör inte detta på något sätt. Och eftersom Zeno argumenterar oförskämt, och eftersom något odelbart kan existera, och dessutom på ett sådant sätt att det på något sätt kommer att skyddas från Zenons resonemang (för om en sådan odelbar läggs till så ökar den verkligen inte, utan förökar sig) , då frågas det hur från en sådan singel eller flera ska få värdet? Att anta att detta är som att säga att en linje består av punkter.

Om platsen

I presentationen av Aristoteles säger aporien: om allt som existerar placeras i ett känt rum ( plats , grekiska topos ), så är det klart att det kommer att finnas ett rymdrum, och så går det till oändligheten [54] . Aristoteles anmärker på detta att en plats inte är en sak och inte behöver en egen plats. Denna aporia möjliggör en utökad tolkning, eftersom eleatikerna inte kände igen rymden separat från de kroppar som fanns i den, det vill säga de identifierade materia och det utrymme som den upptog [16] . Även om Aristoteles förkastar Zenos resonemang, kommer han i sin "Fysik" till i huvudsak samma slutsats som Eleatiken: en plats existerar endast i förhållande till kropparna i den. Samtidigt förbigår Aristoteles i tysthet den naturliga frågan om hur ett platsbyte sker när en kropp rör sig [55] .

Medimne korn

Zenos formulering har kritiserats, eftersom paradoxen lätt kan förklaras genom att hänvisa till tröskeln för ljuduppfattning  - ett enskilt korn faller inte tyst, utan väldigt tyst, så ljudet av fallet hörs inte. Meningen med aporia är att bevisa att delen inte är lik helheten (kvalitativt olik den) och därför är oändlig delbarhet omöjlig [57] . Liknande paradoxer föreslogs på 300-talet f.Kr. e. Eubulides  - paradoxerna "Bald" och " Heap ": "ett korn är inte en hög, att lägga till ett korn förändrar inte saker, med hur många korn börjar en hög?"

Den historiska betydelsen av Zenons aporier

"Zeno avslöjade de motsättningar som tänkandet hamnar i när man försöker förstå det oändliga i begreppen. Hans aporier är de första paradoxerna som uppstod i samband med begreppet det oändliga . Aristoteles tydliga distinktion mellan potentiell och faktisk oändlighet är till stor del resultatet av att förstå Zenos aporier. Andra historiska fördelar med de eletiska paradoxerna:

• ”Zenos resonemang, i exakt och tydlig prosa, är det första exemplet på rent logiska bevis i historien. Det är detta som avgör Zenons exceptionellt viktiga plats i vetenskapens historia” [58] . Resonemang genom analogi och poetiska fantasier, karakteristiska för filosoferna från föregående generation, ersattes av strikt deduktiv logik.
• En tydlig indikation på att vår förståelse av verkligheten (inklusive matematisk) kan vara otillräcklig för denna verklighet [59] ; Därefter stötte vetenskapen på många exempel på giltigheten av denna avhandling.
• Uttalande av det faktum att uppdelningen av kontinuitet i separata punkter (moment), det vill säga en blandning av kontinuitet och diskretitet, är en motsägelse [7] .

Som nämnts ovan var bildandet av forntida atomism ett försök att svara på frågorna som ställdes av aporias. I framtiden var matematisk analys , mängdlära , nya fysiska och filosofiska tillvägagångssätt involverade i studiet av frågan ; ingen av dem har blivit en allmänt accepterad lösning på problemet, men själva faktumet av ett kontinuerligt stort intresse för ett uråldrigt problem visar dess heuristiska fruktbarhet.

Olika kontaktpunkter för Zenos aporias med modern vetenskap diskuteras i artikeln av Zurab Silagadze [46] . I slutet av denna artikel avslutar författaren:

De problem som uppstod för två och ett halvt årtusende sedan och sedan dess upprepade gånger studerat har ännu inte uttömts. Zenos paradoxer berör verklighetens grundläggande aspekter - lokalisering, rörelse, rum och tid. Då och då upptäcks nya och oväntade aspekter av dessa koncept, och varje århundrade finner det nyttigt att återvända om och om igen till Zeno. Processen att nå sin slutliga lösning verkar vara oändlig, och vår förståelse av världen omkring oss är fortfarande ofullständig och splittrad.

Zenos aporier i litteratur och konst

A. S. Pushkin ägnade dikten "Rörelse" ( 1825 ) åt Zenons paradoxer [60] .

I denna historiska anekdot är den "skäggiga vismannen" en anhängare av Zeno (kommentatorn Elius, som nämnts ovan, tillskrev argumentet till Zeno själv [3] ), och hans motståndare i olika versioner av anekdoten är Diogenes eller Antisthenes (båda av dem levde mycket senare än Zeno, så kunde inte argumentera med honom). En version av anekdoten, som nämns av Hegel , säger att när Eleatus erkände Diogenes argument som övertygande, slog Diogenes honom med en käpp för att han förlitade sig för mycket på bevis [61] .

Lewis Carroll skrev en logisk pusseldialog med titeln "Vad sa sköldpaddan till Achilles?" [62] .

Leo Tolstoj återberättar i tredje volymen av eposet " Krig och fred " (början av tredje delen) paradoxen om Akilles och sköldpaddan och erbjuder sin egen tolkning: du kan inte dela upp kontinuerlig rörelse i "separata enheter", istället behöver du att använda apparaten av summerbara "oändligt små kvantiteter". Tolstoj noterar vidare: "i sökandet efter den historiska rörelsens lagar händer exakt samma sak" och kritiserar försök att betrakta historiens fortlöpande förlopp som att de äger rum på godtycklighet hos individuella inflytelserika historiska personer eller att reducera historien till enskilda stora historiska händelser.

Paul Valéry skrev i sin dikt "The Cemetery by the Sea" ( Le Cimetiere Marin , 1920) [63] :

Handlingen i F. Dicks fantastiska berättelse "About the Tireless Frog" är baserad på aporian "Dichotomy".

Aporian om Akilles nämns upprepade gånger i Borges verk . Den paradoxala situation som beskrivs i den återspeglades också i olika humoristiska verk . Takeshi Kitano regisserade Achilles and the Tortoise 2008 .

Se även

• Antinomi
• Quantum Zeno-effekt
• Zeno maskin
• Hög paradox

Anteckningar

1. ↑ History of Mathematics, 1970 , sid. 90.
2. ↑ 1 2 3 Makovelsky A. O., 1999 , del 14.
3. ↑ 1 2 Fragments of Early Greek Philosophers, 1989 , sid. 302.
4. ↑ Komarova, 1988 , sid. 15-16.
5. ↑ 1 2 3 Yanovskaya S. A., 1963 , sid. 116-118.
6. ↑ Ivin A. A. Enligt logikens lagar . - M . : Ung garde, 1983. - 208 sid. - ( "Eureka" ). Arkiverad kopia (inte tillgänglig länk) . Hämtad 7 mars 2010. Arkiverad från originalet 19 november 2007. (obestämd) 
7. ↑ 1 2 Rozhansky I. D. Antik vetenskap. - M. : Nauka, 1980. - S. 52. - 198 sid. — (Vetenskapens och teknikens historia).
8. ↑ 1 2 Stora sovjetiska encyklopedin // Aporia. - 2:a uppl. - T. 2.
9. ↑ A. V. Lebedev. Parmenides  // New Philosophical Encyclopedia  : i 4 volymer  / föregående. vetenskaplig-ed. råd av V. S. Stepin . — 2:a uppl., rättad. och ytterligare - M .  : Tanke , 2010. - 2816 sid.
10. ↑ A. V. Lebedev. Eleatic School  // New Philosophical Encyclopedia  : i 4 volymer  / föregående. vetenskaplig-ed. råd av V. S. Stepin . — 2:a uppl., rättad. och ytterligare - M .  : Tanke , 2010. - 2816 sid.
11. ↑ 1 2 Rozhansky I. D. Tidig grekisk filosofi // Fragment av tidiga grekiska filosofer
12. ↑ Makovelsky A. O., 1999 , del 16.
13. ↑ Losev A.F. Zenon från Elea // Philosophical Encyclopedia . - M . : Soviet Encyclopedia, 1962. - T. 2.
14. ↑ 1 2 3 Gaidenko P.P., 1980 .
15. ↑ Asmus V.F. Elean school // Antik filosofi. - M . : Högre skola, 2005. - 408 sid. — ISBN 5-06-003049-0 .
16. ↑ 1 2 3 4 5 6 Makovelsky A. O., 1999 , del 15.
17. ↑ 1 2 3 4 5 Aporia of Zeno (Philosophical Encyclopedia), 1962 .
18. ↑ Zeno of Elea // Stanford Encyclopedia of Philosophy.
19. ↑ Komarova, 1988 , sid. 50-52.
20. ↑ Diogenes Laertes. Liv, läror och talesätt från kända filosofer, kapitel "Pythagoras" .
21. ↑ Kuznetsov B. G., 1961 , sid. 18-20.
22. ↑ Komarova, 1988 , sid. 21.
23. ↑ "Fysik" av Aristoteles.
24. ↑ Komarova, 1988 , sid. 29-30.
25. ↑ Kuznetsov B. G., 1961 , sid. 38.
26. ↑ Lurie S. Essäer från den antika vetenskapens historia. — M. — L .: Ed. AN SSSR, 1947. - S. 181. - 403 sid.
27. ↑ Komarova, 1988 , sid. 31-35.
28. ↑ Komarova, 1988 , sid. 35-41.
29. ↑ Hegel G. V. F. Verk i 14 vol. - M . : Sotsekgiz, 1959. - T. IX. - S. 244.
30. ↑ Tannery P. De första stegen i antik grekisk vetenskap. - St Petersburg. , 1902.
31. ↑ Papa-Grimaldi, Alba. Varför matematiska lösningar av Zenos paradoxer missar poängen: Zenos ett och många förhållande och Parmenides förbud . Genomgången av metafysik . Hämtad 17 augusti 2011. Arkiverad från originalet 28 augusti 2011. (obestämd)
32. ↑ Hilbert D., Bernays P. Matematiks grunder. Logisk kalkyl och formalisering av aritmetik. - M. , 1979. - S. 40.
33. ↑ Courant R, Robbins G. Vad är matematik . - 3:e uppl. - M. : MTSNMO, 2001. - S. 353. - 568 sid. - ISBN 5-900916-45-6 .
34. ↑ History of Mathematics, 1970 , sid. 93.
35. ↑ Citerad. Citerat från: Danzig, Tobias. Siffror är vetenskapens språk . - M . : Technosfera, 2008. - S.  111 . - ISBN 978-5-94836-172-7 .
36. ↑ Nicolas Bourbaki . Matematikens arkitektur. Essäer om matematikens historia. - M . : Utländsk litteratur, 1963. - S. 38.
37. ↑ van Bendegem, Jean Paul. Diskussion: Zenos paradoxer och kakelargumentet  // Science Philosophy. - Belgien, 1987. - T. 54 . - S. 295-302 .
38. ↑ Feynman R. Fysikaliska lagars natur . - Ed. 2:a. - M . : Nauka, 1987. - S.  152 -153. — 160 s. - (Bibl. Quantum, nummer 62).
39. ↑ Kuznetsov B. G. Einstein. Liv. Död. Odödlighet. - 5:e uppl., reviderad. och ytterligare - M . : Nauka, 1980. - S. 368-374.
40. ↑ 1 2 Vekshenov, 2008 .
41. ↑ Shiraishi, 1954 .
42. ↑ Kline M. Matematik. Förlust av säkerhet . - M .: Mir, 1984. - S. 401-402. Arkiverad kopia (inte tillgänglig länk) . Tillträdesdatum: 15 mars 2010. Arkiverad från originalet den 12 februari 2007. (obestämd) 
43. ↑ Dragalin A. G. Antinomy // Mathematical Encyclopedic Dictionary. - M . : Soviet Encyclopedia, 1988. - S. 73-75. — 847 sid.
44. ↑ Uspensky V. A. Vad är icke-standardiserad analys. — M .: Nauka, 1987.
45. ↑ Gaidenko P.P. Begreppet tid och problemet med kontinuumet . Hämtad: 10 januari 2011. (obestämd)
46. ↑ 1 2 Silagadze , ZK Zeno möter modern vetenskap  . Hämtad 30 december 2010. Arkiverad från originalet 14 augusti 2011.
47. ↑ Binnikov L.V. Brief Dictionary of Philosophical Personalities . Hämtad: 30 april 2010. (obestämd)
48. ↑ Yanovskaya S. A., 1963 , sid. 127.
49. ↑ Bogomolov S. A. Faktisk oändlighet (Zenon of Elea, Is. Newton, G. Kantor). - L.-M.: ONTI, 1934. - S. 53. - 78 sid.
50. ↑ Parmenides, 1968-1972 .
51. ↑ Zenos paradoxer , Stanford Encyclopedia of Philosophy.
52. ↑ Zeno av Elea . - Encyclopedia Around the World. Hämtad 30 december 2010. Arkiverad från originalet 14 augusti 2011. (obestämd)
53. ↑ Aristoteles. Metafysik , bok I, kapitel IV.
54. ↑ Aristoteles. Fysik, IV, 1, 209a.
55. ↑ Komarova, 1988 , sid. 124-129.
56. ↑ Ivin A. A. Logik. Handledning, kapitel 7 .
57. ↑ Komarova, 1988 , sid. 122-124.
58. ↑ Fragment of Early Greek Philosophers, 1989 , sid. 27.
59. ↑ History of Mathematics, 1970 , sid. 89.
60. ↑ RÖRELSE.
61. ↑ Kuznetsov B. G., 1961 , sid. 19.
62. ↑ Carroll, Lewis. Tvådelad uppfinning, eller vad sköldpaddan sa till Achilles // Kunskap är makt .  - 1991. - Nr 9. - S. 6-12.
63. ↑ Valerie, Paul. Kyrkogård vid havet.

Litteratur

Forntida författare

• Forntida filosofer om Zeno . Hämtad: 21 december 2010. (obestämd)
• Aristoteles. Fysik . — I samlingen: Greklands filosofer. Grunderna i grunderna: logik, fysik, etik. - Kharkov: EKSMO, 1999. - 1056 sid. - ISBN 5-04-003348-6 .
• Platon. Parmenides . - I samlingen: Platon, Verk i tre volymer. - M . : Tanke, 1968-1972. — ( Filosofisk arv ).
• Fragment av tidiga grekiska filosofer. Del I. Från episka teokosmogonier till uppkomsten av atomism . — M .: Nauka, 1989. — 576 sid. Arkiverad 23 december 2008 på Wayback Machine

Böcker av samtida författare

• Asmus VF Historia om antik filosofi. - M . : Högre skola, 1965. - S. 40-45.
• Gaidenko P. P. Utveckling av begreppet vetenskap (bildning och utveckling av de första vetenskapliga programmen). Kapitel "ELEAAN-SKOLAN OCH DET FÖRSTA UTTALANDET OM OENDIGHETSPROBLEMET" och vidare . - M . : Nauka, 1980. Arkivexemplar av 21 december 2016 på Wayback Machine
• Matematikens historia / Redigerad av A. P. Yushkevich , i tre volymer. - M . : Nauka, 1970. - T. I. - S. 88-93.
• Komarova V. Ya. Teachings of Zeno of Elea: ett försök att rekonstruera systemet av argument // Bulletin of Leningrad State University. - L. , 1988.
• Kuznetsov BG Filosofins historia för fysiker och matematiker. — M .: Nauka , 1974. — 352 sid. — (Världskulturens historia). — 20 000 exemplar.
• Kuznetsov B.G. Utvecklingen av bilden av världen. - 1:a uppl. (2:a upplagan: URSS, 2010). - M . : Förlag för USSR:s vetenskapsakademi, 1961. - 352 s. — (Ur det världsfilosofiska tänkandets arv: vetenskapsfilosofi). - ISBN 978-5-397-01479-3 .
• Makovelsky A. O. Presocratics. I 3 volymer . - Minsk: Harvest, 1999. - 784 sid. — (Klassisk filosofisk tanke).
• Smorodinov R. A. Filosofi om konsekvent tvivel. - Volgograd: Tryck, 2006. - S. 41-68.
• Grünbaum A. Modern vetenskap och Zenons paradoxer. - Allen & Unwin, 1968. - 153 sid. — ISBN 978-0045130047 .
• Guenon R. Les Principes du Calcul infinitesimal. - Gallimard, 1946 och många nytryck.  — "Principer för beräkning av infinitesimals".
• Lax-WC (redaktör). Zenons paradoxer. — 2:a uppl. — Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc., 2001. - 320 sid. - ISBN 978-0872205604 .

Kort bibliografi över vetenskapliga artiklar med analys av aporier

Litteraturen är listad i kronologisk ordning.

• Svatkovsky V.P. Zenos paradox om en flygande pil // Journal of the Ministry of National Education . - 1888. - N:o 4 avd. 5 . - S. 203-239 .
• Chersonsky N. Kh. Vid kunskapsteorins ursprung. Angående Zenos argument mot rörelsen // Journal of the Ministry of National Education. - 1911. - Nr XXXIV (augusti) avd. 2 . - S. 207-221 .
• Bolzano B. Det oändligas paradoxer . - Odessa, 1911.
• Bogomolov S. A. Argument från Zeno av Elea i ljuset av läran om faktisk oändlighet // Journal of the Ministry of National Education. - 1915, ny serie. - Nej. LVI (april) . - S. 289-328 .
• Dmitriev G. Än en gång om Zenons paradox "Akilles och sköldpaddan" och V. Friedmans förvirring // Under marxismens fana. - 1928. - Nr 4 .
• Bogomolov S.A. Faktisk oändlighet: Zeno of Elea, Isaac Newton och Georg Kantor. - L.-M., 1934.
• Yanovskaya S. A. Aporia of Zeno // Philosophical Encyclopedia . - M . : Soviet Encyclopedia, 1962. - T. 2.
• Yanovskaya S.A. Har modern vetenskap övervunnit de svårigheter som kallas "Zenos aporias"? // Problem med logik. - M. , 1963. - S. 116-136 .
• Bogomolov A.S. "The Flying Arrow" and the Law of Contradiction // Filosofiska vetenskaper. - 1964. - Nr 6 .
• Narsky I.S. Till frågan om reflektionen av rörelsens dialektik i begrepp: (återigen om paradoxen "Flygande pil") // Formell logik och vetenskapens metodologi. - M. , 1964. - S. 3-51 .
• Tsekhmistro I. Z. Aporia från Zenon genom XX-talets ögon  // Filosofis frågor. - 1966. - Nr 3 . (ryska)
• Panchenko AI Zenos aporier och modern filosofi  // Filosofis frågor. - 1971. - Nr 7 . (ryska)
• Maneev A. K. Filosofisk analys av Zenons aporier. - Minsk, 1972.
• Kuznetsov G. A. Kontinuitet och Zenos paradoxer "Akilles" och "Dikotomi" // Theory of Logical Inference. — M .: Nauka, 1973.
• Smolenov H. Zenos aporier som heuristik för atomism och dialektik // Logisk och metodologisk analys av vetenskaplig kunskap. - M. , 1979. - S. 76-90.
• Shirokov V.S. Jean Buridan om Zenons aporier // Filosofiska vetenskaper. - 1982. - Nr 4 . - S. 94-101 .
• Koire A. Anteckningar om Zenons paradoxer // Essays on the history of philosophical thought. Om filosofiska begrepps inflytande på utvecklingen av vetenskapliga teorier. — M. : Framsteg, 1985.
• Solodukhina A. O. Löste Aidukevich Zenons aporia "Pil"? // Vetenskaplig konferens "Modern logic: problem of theory, history and application in science". - St Petersburg. , 1996.
• Anisov A. M. Zenos aporier och rörelseproblemet // Proceedings of the Research Seminar of the Logical Center of the Institute of Physics of the Russian Academy of Sciences, vol. XIV . - M. , 2000. - S. 139-155.
• Smirnov A. V. Är rationalitetens grunder jämförbara i olika filosofiska traditioner? Jämförande studie av Zenoniska aporier och läror från den tidiga kalam // Jämförande filosofi. - M. , 2000. - S. 167-212.
• Vilesov Yu. V. Zenos aporier och Heisenbergs osäkerhetsrelation  // Bulletin of Moscow State University, serie 7 (filosofi). - M. , 2002. - Nr 6 . - S. 20-28 . Arkiverad från originalet den 9 november 2019.
• Vekshenov S. A. Matematik och fysik i rum-tidskontinuumet  // Grunderna för fysik och geometri. - M . : Förlag för det ryska universitetet för folkens vänskap, 2008. - S. 89-118 . Arkiverad från originalet den 13 maj 2012.

• Shiraishi, Sadeo. Strukturen av kontinuiteten i psykologiska upplevelser och den fysiska världen // Tankevetenskapen. - Tokyo, 1954. - Nr 1 . - S. 12-24.
• Chambers, Connor J. Zeno från Elea och Bergsons försummade avhandling // Journal of the History of Philosophy. - 1974. - Vol. 12, nr 1 (januari) . - S. 63-76.
• Vlastos GA Platons vittnesmål angående Zeno av Elea // Journal of the History of Ideas (New York. - 1975. - Vol. XLV. - P. 136-162.
• Vlastos GA En anteckning av Zenons pil // Phronesis. - 1996. - Vol. XI. - S. 3-18.
• Smirnov A. Överensstämmer grunderna för rationalitet i olika filosofiska traditioner? En jämförande studie av Zenos paradoxer och läror i tidiga Kalām // Islam - West Philosophical Dialogue: artiklarna som presenterades vid världskongressen om Mulla Sadra (1999). - Teheran: Sadra Islamic Philosophy Research Institute, 2004. - S. 109-120.

Länkar

• Skallig syllogism // Small Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron  : i 4 volymer - St. Petersburg. , 1907-1909.
• Aporia av Zenon . på warrax.net. Hämtad: 21 december 2010. (obestämd)
• Zeno av Elea . - Encyclopedia Around the World. Hämtad 30 december 2010. Arkiverad från originalet 14 augusti 2011. (obestämd)
• Khazarzar, Ruslan. Aporia av Zenon . Hämtad: 21 december 2010. (obestämd)
• Dowden, Bradley. Zenons paradoxer  . — Internet Encyclopedia of Philosophy. Hämtad 21 december 2010. Arkiverad från originalet 14 augusti 2011.
• Huggett, Nick. Zenons paradoxer  . — Stanford Encyclopedia of Philosophy. Hämtad 30 december 2010. Arkiverad från originalet 14 augusti 2011.
• Silagadze ZK Zeno möter modern vetenskap  (engelska) . Hämtad 30 december 2010. Arkiverad från originalet 14 augusti 2011.

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	BNF : 12135409n SUDOC : 029806550