Galileos paradox är ett exempel som illustrerar egenskaperna hos oändliga mängder . I ett nötskal: det finns lika många naturliga tal som det finns kvadrater av naturliga tal , det vill säga i mängden 1, 2, 3, 4 ... det finns lika många element som i mängden 1, 4, 9, 16 ...
I sitt sista verk, De två vetenskaperna, gav Galileo två motstridiga bedömningar om de naturliga talen . För det första är vissa tal exakta kvadrater (det vill säga kvadraterna av andra heltal); andra nummer har inte denna egenskap. Det måste alltså finnas fler perfekta rutor och vanliga tal tillsammans än bara perfekta rutor. Andra bedömningen: för varje naturligt tal finns dess exakta kvadrat, och vice versa - för varje exakt kvadrat finns en heltalskvadratrot , därför bör det finnas samma antal exakta kvadrater och naturliga tal. Detta är ett av de första, men inte det tidigaste, exemplen på användningen av konceptet en-till-en-mappning i sammanhanget med oändliga mängder.
Galileo drog slutsatsen att det är möjligt att bedöma samma antal element endast för ändliga mängder . På 1800-talet visade Georg Cantor , med hjälp av sin mängdlära, att det var möjligt att införa ett "antal element" för oändliga mängder - den så kallade kardinaliteten av en mängd . Samtidigt sammanföll kardinaliteterna för mängden naturliga tal och mängden exakta kvadrater (det andra resonemanget från Galileo visade sig vara korrekt). Galileos paradox kom i konflikt med Euklids axiom , som säger att helheten är större än någon av dess egna delar (med sin egen del menas en del som inte sammanfaller med helheten) [1] . Det är anmärkningsvärt i vilken utsträckning Galileo förutsåg efterföljande arbete inom området för oändliga siffror. Han visade att antalet punkter på ett kort segment av en rät linje är lika med antalet punkter på ett större segment, men han kände naturligtvis inte till Cantors bevis på att dess kardinalitet är större än kardinaliteten för mängden av heltal. Galileo hade mer brådskande uppgifter. Han behandlade motsägelser i Zenos paradoxer för att bana väg för hans matematiska rörelseteori [2] .
| Galileo Galilei | ||
|---|---|---|
| Biografi och vetenskapliga landvinningar | Galilean Process • Galilean Clock Escapement • Galilean Satellites • Galilean Transformations • Undersökning av fallande kroppar • Termoskop • Celatone • Galilean Paradox | |
| Förfaranden | Assayer • Dialog om världens två huvudsystem • Sidereus Nuncius • Samtal och matematiska bevis för två nya vetenskaper | |
| En familj | Vincenzo Galilei (far) • Michelangelo Galilei (bror) • Vincenzo Gamba (son) • Maria Celesta (dotter) • Marina Gamba (sambo) | |