Kantors paradox

Cantors paradox är en paradox inom mängdteorin , som visar att antagandet om existensen av en mängd av alla mängder leder till motsägelser och därför är en teori där konstruktionen av en sådan mängd är möjlig inkonsekvent.

Formulering

Antag att uppsättningen av alla uppsättningar existerar. I det här fallet är det sant att varje uppsättning är en delmängd av . Men det följer av detta att kardinaliteten för någon uppsättning inte överstiger kardinaliteten av . $V=\{x\mid x=x\}$ $\forall x\forall T(x\i T\högerpil x\i V)$ $T$ $V$ $\forall T\;|T|\leqslant |V|$ $V$

Men i kraft av axiomet för mängden av alla delmängder, för , liksom alla uppsättningar, finns det en mängd av alla delmängder , och av Cantors sats , som motsäger det tidigare uttalandet. Därför kan den inte existera, vilket strider mot den "naiva" hypotesen att varje syntaktisk korrekt logiskt villkor definierar en mängd, d.v.s. det för vilken formel som helst som inte innehåller gratis. $V$ ${\mathcal {P}}(V)$ $|{\mathcal {P}}(V)|=2^{|V|}>|V|$ $V$ $\exists y\forall z(z\i y\vänsterhögerpil A)$ $A$ $y$

Annan formulering

Det finns inget maximalt kardinalnummer . Sannerligen: låt det existera och vara lika med . Sedan genom Cantors sats . $\mu$ $2^{\mu }>\mu$

Slutsatser

Denna paradox, upptäckt av Cantor runt 1899 , avslöjade behovet av att revidera "naiv mängdteori" ( Russells paradox upptäcktes något senare, runt 1901 ) och stimulerade utvecklingen av en rigorös axiomatik av mängdteori . Systemet med axiom avvisades som motsägelsefullt; istället utvecklades ett system med begränsningar av typen av tillstånd som ges av formeln . $\exists y\forall z(z\i y\vänsterhögerpil A)$ $A$

Kantors paradox

Formulering

Annan formulering

Slutsatser

Se även