Russells paradox

Russells paradox ( Russells antinomy , även Russells paradox - Zermelo ) är en set-teoretisk paradox ( antinomy ), upptäckt 1901 [1] av den brittiske matematikern Bertrand Russell och visar inkonsekvensen i Freges logiska system , vilket var ett tidigt försök. att formalisera George Cantors naiva mängdteori . Tidigare upptäckt men inte publicerad av Ernst Zermelo .

På ett informellt språk kan paradoxen beskrivas på följande sätt. Låt oss komma överens om att kalla en uppsättning "vanlig" om den inte är dess eget element. Till exempel är uppsättningen av alla människor "vanlig" eftersom uppsättningen i sig inte är en person. Ett exempel på en "ovanlig" uppsättning är uppsättningen av alla uppsättningar , eftersom den i sig är en uppsättning, och därför själv är ett riktigt element [2] .

Det är möjligt att överväga en uppsättning som endast består av alla "vanliga" uppsättningar, en sådan uppsättning kallas en Russell-uppsättning . En paradox uppstår när man försöker avgöra om denna mängd är "vanlig" eller inte, det vill säga om den innehåller sig själv som ett element. Det finns två möjligheter.

Vi får i alla fall en motsägelse [2] .

Påstående om paradoxen

Russells paradox kan formuleras i naiv mängdteori . Därför är naiv mängdteori inkonsekvent . Ett kontroversiellt fragment av naiv mängdteori, som kan definieras som en första ordningens teori med en binär medlemsrelation och ett urvalsschema : för varje logisk formel med en fri variabel i naiv mängdteori finns ett axiom

.

Detta schema av axiom säger att det för alla villkor finns en uppsättning som består av de som uppfyller villkoret [3] .

Detta är tillräckligt för att formulera Russells paradox på följande sätt. Låt det finnas en formel (det vill säga, det betyder att mängden inte innehåller sig själv som ett element, eller, i vår terminologi, är en "vanlig" mängd.) Sedan, enligt urvalets axiom, finns det en mängd ( Russell set) sådan att

.

Eftersom detta är sant för alla , så är det också sant för det vill säga

Av detta följer att en motsägelse härleds i naiv mängdlära [3] .

Paradoxen skulle inte uppstå om vi antog att Russell-uppsättningen inte existerar. Detta antagande i sig är dock paradoxalt: i Cantors mängdteori tror man att vilken egenskap som helst bestämmer uppsättningen av element som uppfyller denna egenskap. Eftersom egenskapen för en mängd att vara "vanlig" verkar väldefinierad, måste det finnas en uppsättning av alla "vanliga" mängder. Nu kallas en sådan teori för naiv mängdlära [4] [5] .

Populära versioner av paradoxen

Det finns flera versioner av Russells paradox. Till skillnad från själva paradoxen kan de i allmänhet inte uttryckas i formellt språk .

The Liar's Paradox

Russells paradox är relaterad till lögnarens paradox som är känd sedan urminnes tider, vilket är följande fråga. Givet ett uttalande:

Detta påstående är falskt.

Är detta påstående sant eller inte?

Det är lätt att visa att detta påstående varken kan vara sant eller falskt.

Russell skrev om denna paradox [6] :

Detta är en uråldrig gåta som ingen behandlade mer än som ett skämt tills det upptäcktes att denna fråga har att göra med så viktiga och praktiska problem som förekomsten av det största kardinal- eller ordningsnumret .

Originaltext  (engelska)[ visaDölj] Det är ett uråldrigt pussel, och ingen behandlade den sortens sak som något annat än ett skämt förrän man fann att det hade att göra med så viktiga och praktiska problem som om det finns ett största kardinal- eller ordningstal.

Russell själv förklarade lögnarparadoxen på detta sätt. För att säga något om yttranden måste man först definiera själva begreppet ”yttrande”, utan att använda begrepp som ännu inte har definierats. Således kan påståenden av den första typen definieras som inte säger något om påståenden. Sedan kan man definiera påståenden av den andra typen som talar om påståenden av den första typen, och så vidare. Påståendet "detta påstående är falskt" faller inte under någon av dessa definitioner och är därför inte vettigt [6] .

Frisörens paradox

Russell nämner följande version av paradoxen, formulerad som en gåta som någon föreslog för honom [6] .

Låt en barberare bo i en viss by, som rakar alla byns invånare som inte rakar sig, och bara dem.

Rakar frisören sig själv?

Varje svar leder till en motsägelse. Russell noterar att denna paradox inte är likvärdig med hans paradox och är lätt att lösa [6] . I själva verket, precis som Russells paradox visar att det inte finns någon Russell-uppsättning, visar barberarens paradox att det inte finns någon sådan frisör. Skillnaden är att det inte finns något förvånande i att en sådan frisör inte finns: inte för någon egendom finns det en frisör som rakar människor med den här egenskapen. Men det faktum att det inte finns någon uppsättning element som ges av någon väldefinierad egenskap motsäger den naiva idén om mängder och kräver förklaring [5] [7] .

Alternativ om kataloger

Närmast i formuleringen till Russells paradox är följande version av hans presentation [8] :

Bibliografiska kataloger är böcker som beskriver andra böcker. Vissa kataloger kan beskriva andra kataloger. Vissa kataloger kan till och med beskriva sig själva.

Är det möjligt att katalogisera alla kataloger som inte beskriver sig själva?

En paradox uppstår när man försöker avgöra om denna katalog ska beskriva sig själv. Trots formuleringarnas uppenbara närhet (detta är faktiskt Russells paradox, där kataloger används istället för set), löses denna paradox, liksom frisörens paradox, enkelt: en sådan katalog kan inte sammanställas.

Grelling-Nelson-paradoxen

Denna paradox formulerades av de tyska matematikerna Kurt Grelling och Leonhard Nelson 1908. Det är i själva verket en översättning av Russells originalversion av paradoxen när det gäller predikatlogik (se brev till Frege nedan ) till ett icke-matematiskt språk.

Vi kommer att kalla ett adjektiv reflexivt om detta adjektiv har en egenskap som bestäms av detta adjektiv. Till exempel har adjektiven "ryska", "flerstaviga" de egenskaper som de definierar (adjektivet "ryska" är ryska, och adjektivet "flerstaviga" är flerstaviga), så de är reflexiva, och adjektiven "tyska", " monosyllabic” är icke-reflexiva .

Kommer adjektivet "icke-reflexiv" att vara reflexivt eller inte?

Varje svar leder till en motsägelse [8] [9] . Till skillnad från frisörens paradox är lösningen på denna paradox inte så enkel. Man kan inte bara säga att ett sådant adjektiv ("icke-reflexiv") inte existerar, eftersom vi just har definierat det. Paradoxen uppstår genom att definitionen av begreppet "icke-reflexiv" är felaktig i sig. Definitionen av denna term beror på innebörden av det adjektiv som det tillämpas på. Och eftersom ordet "icke-reflexiv" i sig är ett adjektiv i definitionen, uppstår en ond cirkel [10] .

Historik

Russell upptäckte förmodligen sin paradox i maj eller juni 1901 [11] . Enligt Russell själv försökte han hitta ett fel i Cantors bevis på det paradoxala faktum (känd som Cantors paradox ) att det inte finns något maximalt kardinaltal (eller mängden av alla uppsättningar ). Som ett resultat fick Russell en enklare paradox [12] . Russell kommunicerade sin paradox till andra logiker, särskilt Whitehead [13] och Peano [14] . I sitt brev till Frege den 16 juni 1902 skrev han att han hade funnit en motsägelse i begreppskalkylen , Freges bok utgiven 1879. Han lade fram sin paradox i termer av logik och sedan i termer av mängdteori, med hjälp av Freges definition av en funktion [14] :

Jag upplevde svårigheter på bara ett ställe. Du hävdar (s. 17) att en funktion själv kan agera som en okänd. Det tyckte jag också. Men nu förefaller denna uppfattning mig tveksam på grund av följande motsägelse. Låt w vara ett predikat: "att vara ett predikat som inte gäller sig självt." Kan w vara tillämplig på sig själv? Alla svar antyder motsatsen. Därför måste vi dra slutsatsen att w  inte är ett predikat. På samma sätt finns det ingen klass (som helhet) av de klasser som, som helhet, inte tillhör dem själva. Av detta drar jag slutsatsen att ibland bildar en viss uppsättning inte en holistisk formation.

Originaltext  (tyska)[ visaDölj] Nur in einem Punkte ist mir eine Schwierigkeit begegnet. Sie behaupten (S. 17) es könne auch die Funktion das unbestimmte Element bilden. Dies habe ich früher geglaubt, jedoch jetzt scheint mir diese Ansicht zweifelhaft, wegen des folgenden Widerspruchs: Sei w das Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von sich selbst nicht prädicirt werden kann. Kann man w von sich selbst prädiciren? Aus jeder Antwort folgt das Gegentheil. Deshalb muss man schließen dass w kein Prädicat ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören. Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bild [15] .

Frege fick brevet precis när han avslutade den andra volymen av The Fundamental Laws of Arithmetic ( tyska:  Grundgesetze der Arithmetik ). Frege hann inte korrigera sin mängdlära. Han lade bara till en appendix till den andra volymen med en utläggning och sin analys av paradoxen, som började med den berömda anmärkningen:

Det är osannolikt att något värre kan hända en vetenskapsman än om marken dras ut under hans fötter i samma ögonblick som han slutför sitt arbete. Det var i denna position som jag befann mig när jag fick ett brev från Bertrand Russell, när mitt arbete redan var avslutat [16] .

Originaltext  (tyska)[ visaDölj] Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, as der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte [17] .

Frege fortsatte med att föreslå följande sätt att korrigera sin teori för att undvika Russells paradox. Istället för ett axiom:

,

som sa att det är möjligt att bygga en uppsättning element som uppfyller egenskapen han föreslog med hjälp av följande axiom:

,

eliminerar därmed möjligheten för en uppsättning att vara medlem i sig själv. En liten modifiering av Russells paradox bevisar dock att detta axiom också leder till en motsägelse: man kan nämligen betrakta mängden av alla singlar så att , då kommer uttalandet att vara en antinomi [18] .

Russell publicerade sin paradox i sin bok Principles of Mathematics 1903 [11] .

Ernst Zermelo påstod sig ha upptäckt denna paradox oberoende av Russell och rapporterade den före 1903 till Hilbert och andra [19] . Detta bekräftades också av Hilbert, som skrev till Frege den 7 november 1903, att han var medveten om denna paradox. Hilbert skrev: "Jag tror att Zermelo hittade det för 3-4 år sedan ... jag hittade andra ännu mer övertygande motsägelser för 4-5 år sedan." Dessutom, 1978, upptäcktes formuleringen av denna paradox i Edmund Husserls tidningar , som Zermelo meddelade Husserl den 16 april 1902. I denna formulering är det bevisat att mängden M som innehåller alla dess delmängder som element leder till en motsägelse. För bevis, överväg en delmängd M , bestående av mängder som inte innehåller sig själva [20] .

Lösningar

Det finns inget misstag i Russells paradox: den bevisar verkligen inkonsekvensen av naiv mängdteori. För att bli av med motsägelsen måste man korrigera mängdteorin så att den inte medger en Russelliansk mängd. Detta kan göras på flera sätt. Det naturligaste sättet är att på ett eller annat sätt förbjuda uppsättningar som kan innehålla sig själva som ett element. Således kommer uppsättningen av alla uppsättningar också att vara förbjuden ( åtminstone uppsättningen av alla uppsättningar kommer inte i sig själv att vara en uppsättning) [21] . Man måste dock komma ihåg att det å ena sidan inte räcker att helt enkelt förbjuda mängden att ha sig själv som ett element för att bli av med motsägelsen (som Freges första försök att korrigera sitt system visade). Å andra sidan, att låta uppsättningar inkludera sig själva som medlemmar leder inte i sig till motsägelser. Till exempel, ingenting hindrar dig från att skapa en katalog som kommer att innehålla alla kataloger, inklusive att beskriva sig själv. Många programmeringsspråk tillåter behållare att inkludera sig själva som ett element [22] . Det finns logiska system fria från paradoxer som Russells som tillåter uppsättningar att innehålla sig själva (t.ex. New Foundations av W. V. O. Quine ) [23] .

Nedan är några av de möjliga tillvägagångssätten för att konstruera ett system av axiom fritt från Russells paradoxer.

Russells typteori

Russell själv var den första som föreslog en teori fri från Russells paradox. Han utvecklade en teori om typer, vars första version dök upp i Russell's Principles of Mathematics 1903 24] . Denna teori är baserad på följande idé: enkla objekt i denna teori har typ 0, uppsättningar av enkla objekt har typ 1, uppsättningar av uppsättningar av enkla objekt har typ 2, och så vidare. Således kan ingen uppsättning ha sig själv som ett element. Varken mängden av alla mängder eller Russell-mängden kan definieras i denna teori. En liknande hierarki införs för uttalanden och egenskaper. Propositioner om enkla objekt tillhör typ 1, propositioner om egenskaperna hos propositioner av typ 1 tillhör typ 2, och så vidare. I allmänhet är en funktion per definition av en högre typ än de variabler som den beror på. Detta tillvägagångssätt tillåter oss att bli av med inte bara Russell-paradoxen, utan också många andra paradoxer, inklusive lögnarparadoxen ( se ovan ), Grelling-Nelson- paradoxen, Burali-Forti-paradoxen . Russell och Whitehead visade hur man reducerar all matematik till typteorins axiom i deras tre-volymer Principia Mathematica , publicerad 1910-1913 [25] .

Detta tillvägagångssätt mötte dock svårigheter. I synnerhet uppstår problem med att definiera sådana begrepp som den minsta övre gränsen för uppsättningar av reella tal. Per definition är en minsta övre gräns den minsta av alla övre gränser. Därför, när man bestämmer den minsta övre gränsen, används uppsättningen av reella tal. Därför är den minsta övre gränsen ett objekt av högre typ än de reella talen. Detta betyder att det inte i sig är ett reellt tal. För att undvika detta var vi tvungna att införa det så kallade axiomet för reducerbarhet . På grund av dess godtycke vägrade många matematiker att acceptera reduceringsaxiomet, och Russell kallade det själv för en defekt i sin teori. Dessutom visade sig teorin vara mycket komplex. Som ett resultat av detta har den inte fått någon bred tillämpning [25] .

Zermelo-Fraenkel mängdteori

Det mest kända förhållningssättet till axiomatisering av matematik är Zermelo-Fraenkel (ZF) mängdteorin, som uppstod som en förlängning av Zermelos teori (1908). Till skillnad från Russell behöll Zermelo de logiska principerna och ändrade endast mängdlärans axiom [26] . Tanken med detta tillvägagångssätt är att det är tillåtet att endast använda mängder byggda från redan byggda mängder med hjälp av en viss uppsättning axiom [5] . Således säger till exempel ett av Zermelos axiom att det är möjligt att konstruera en mängd av alla delmängder av en given mängd ( det booleska axiomet ). Ett annat axiom ( urvalsschema ) säger att från varje mängd är det möjligt att välja en delmängd av element som har en given egenskap. Detta är huvudskillnaden mellan Zermelo mängdlära och naiv mängdteori: i naiv mängdlära kan man överväga mängden av alla element som har en given egenskap, medan man i Zermelo mängdlära bara kan välja en delmängd från en redan konstruerad mängd . I Zermelo mängdlära kan man inte konstruera mängden av alla mängder . Således kan Russell-uppsättningen inte konstrueras där heller [21] .

Klasser

Ibland i matematik är det användbart att betrakta alla mängder som en helhet, till exempel för att överväga helheten av alla grupper . För att göra detta kan mängdteorin utökas med föreställningen om en klass , som till exempel i Neumann-Bernays-Gödel (NBG)-systemet. I denna teori är samlingen av alla uppsättningar en klass . Denna klass är dock inte en uppsättning och är inte en del av någon klass, vilket undviker Russells paradox [27] .

Ett starkare system som gör att man kan ta kvantifierare efter klass, och inte bara efter mängder, är till exempel Morse-Kelly mängdteori (MK) [28] . I denna teori är huvudkonceptet begreppet en klass , inte en uppsättning . Uppsättningar i denna teori är de klasser som själva är delar av vissa klasser [29] . I denna teori anses formeln vara likvärdig med formeln

.

Eftersom det i denna teori betyder att en klass är en mängd , måste denna formel förstås som vad som är klassen för alla mängder (och inte klasser) så att . Russells paradox i denna teori löses av det faktum att inte varje klass är en uppsättning [30] .

Du kan gå längre och överväga samlingar av klasser - konglomerat , samlingar av konglomerat, och så vidare [31] .

Inflytande på matematik

Axiomatisering av matematik

Russells paradox, tillsammans med andra matematiska antinomier [4] som upptäcktes i början av 1900-talet, stimulerade en revidering av matematikens grunder, vilket resulterade i konstruktionen av axiomatiska teorier för att motivera matematiken, av vilka några nämns ovan.

I alla nya axiomatiska teorier som konstruerades eliminerades de paradoxer som kändes till vid mitten av 1900-talet (inklusive Russells paradox) [32] . Men att bevisa att nya liknande paradoxer inte kan upptäckas i framtiden (detta är problemet med konsistensen av de konstruerade axiomatiska teorierna) visade sig vara omöjligt i den moderna förståelsen av detta problem [33] [34] (se Gödels ofullständighet) satser ).

Intuitionism

Parallellt uppstod en ny trend inom matematiken, kallad intuitionism , vars grundare är L. E. Ya. Brouwer . Intuitionismen uppstod oberoende av Russells paradox och andra antinomier. Upptäckten av antinomier i mängdteorin ökade emellertid intuitionisternas misstro mot logiska principer och påskyndade bildandet av intuitionism [25] . Intuitionismens huvudtes säger att för att bevisa existensen av något objekt är det nödvändigt att presentera en metod för dess konstruktion [35] . Intuitionister avvisar sådana abstrakta begrepp som mängden av alla uppsättningar. Intuitionismen förnekar lagen om den uteslutna mitten , men det bör noteras att lagen om den uteslutna mitten inte behövs för att härleda en motsägelse från Russells antinomi eller någon annan (i vilken antinomi som helst är det bevisat att negation innebär och negation innebär , dock , även i intuitionistisk logik följer en motsägelse) [36] . Det är också värt att notera att man i senare axiomatiseringar av intuitionistisk matematik hittade paradoxer liknande Russells, som till exempel Girards paradox i den ursprungliga formuleringen av Martin-Löfs intuitionistiska typteori [37] .

Diagonalt argument (självtillämpning)

Trots det faktum att Russells resonemang leder till en paradox, används huvudidén för detta resonemang ofta i beviset för matematiska teoremer. Som nämnts ovan fick Russell sin paradox genom att analysera Cantors bevis på att det inte finns något största kardinalnummer . Detta faktum motsäger existensen av en uppsättning av alla uppsättningar, eftersom dess kardinalitet måste vara maximal. Men enligt Cantors teorem har mängden av alla delmängder av en given mängd mer kardinalitet än själva mängden. Beviset för detta faktum är baserat på följande diagonala argument:

Låt det vara en en-till-en överensstämmelse , som tilldelar varje element i mängden en delmängd av mängden Låt vara en uppsättning bestående av element så att ( diagonal set ). Då kan komplementet till denna uppsättning inte vara något av A, därför var korrespondensen inte en-till-en.

Cantor använde det diagonala argumentet för att bevisa oräkneligheten av reella tal 1891. (Detta är inte hans första bevis på att reella tal är oräkneliga, utan det enklaste) [38] .

Cantors paradox erhålls genom att applicera detta argument på mängden av alla mängder. Faktum är att Russell-uppsättningen är Cantors diagonaluppsättning [39] . Det diagonala argumentet användes före Russell och Cantor (det användes redan i [40] av Dubois-Reymond på kalkyl 1875) [41] . Men i Russells paradox är det diagonala argumentet tydligast utkristalliserat.

Det diagonala argumentet har använts inom många områden av matematiken. Således är det till exempel det centrala argumentet i Gödels ofullständighetsteorem , i beviset på existensen av en oavgörlig uppräknad mängd , och i synnerhet i beviset för det oavgjorda problemet med att stoppa problemet [42] .

Relaterade paradoxer

Självtillämpbarhet används i många andra paradoxer förutom de som diskuterats ovan:

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Godehard Link (2004), Hundra år av Russells paradox , s. 350, ISBN 9783110174380 , < https://books.google.com/?id=Xg6QpedPpcsC&pg=PA350 >  .
  2. ↑ 1 2 Russell's Antinomy // Dictionary of Logic. Ivin A. A., Nikiforov A. L.  - M .: Tumanit, VLADOS, 1997. - 384 sid. — ISBN 5-691-00099-3 .
  3. ↑ 1 2 Andrew David Irvine, Harry Deutsch. Russells paradox  // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. — 2014-01-01. Arkiverad från originalet den 18 mars 2019.
  4. ↑ 1 2 Antinomy - en artikel från Encyclopedia of Mathematics . A. G. Dragalin
  5. ↑ 1 2 3 A. S. Gerasimov. En kurs i matematisk logik och beräkningsbarhetsteori . - Tredje upplagan, reviderad och förstorad. - St. Petersburg: LEMA, 2011. - S. 124-126. — 284 sid. Arkiverad 17 augusti 2016 på Wayback Machine
  6. ↑ 1 2 3 4 Russell, Bertrand . Filosofin för logisk atomism . - S. 101-104. — ISBN 0-203-86477-8 . Arkiverad 4 januari 2014 på Wayback Machine
  7. ↑ Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , sid. 17-18.
  8. ↑ 1 2 Gardner M. Kom igen, gissa!: Per. från engelska. = Ah! fick dig. Paradoxer att pussla och glädja. - M .: Mir , 1984. - S. 22-23. — 213 sid.
  9. ↑ I. V. Jasjtjenko. Paradoxer i mängdteorin . - M . : Förlag för Moscow Center for Continuous Mathematical Education, 2012. - P. 5. - (Bibliotek "Mathematical Education" nummer 20). — ISBN 5-94057-003-8 . Arkiverad 17 augusti 2016 på Wayback Machine
  10. ↑ J. Bell. The Art of the Intelligible: En elementär undersökning av matematik i dess konceptuella utveckling . — Springer Science & Business Media, 2012-12-06. - S. 200. - 260 sid. — ISBN 9789401142090 .
  11. ↑ Bertrand Russell. Introduktion till matematisk filosofi . - 1920. - S. 136. Arkivexemplar daterad 17 maj 2017 på Wayback Machine
  12. ↑ Bertrand Russell. Min filosofiska utveckling . - Psychology Press, 1995. - S. 58. - 228 s. — ISBN 9780415136013 . Arkiverad 7 april 2022 på Wayback Machine
  13. ↑ 12 Michael Beaney . Frege-läsaren . — Wiley, 1997-07-07. - S. 253. - 430 sid. — ISBN 9780631194453 . Arkiverad 9 maj 2016 på Wayback Machine
  14. ↑ Briefwechsel mit Bertrand Russell . Bibliotheca Augustana. Hämtad 28 juni 2016. Arkiverad från originalet 5 mars 2016.
  15. ↑ E. Sinitsyn, O. Sinitsyna. Hemligheten bakom geniernas kreativitet . Arkiverad 15 augusti 2016 på Wayback Machine
  16. ↑ Gottlob Frege: Grundlagen der Arithmetik , II, 1903, Anhang S. 253-261.
  17. ↑ John P. Burgess. Fixar Frege . - Princeton University Press, 2005. - S. 32-33. — 276 sid. — ISBN 0691122318 .
  18. ↑ E. Zermelo. Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung  (tyska)  // Mathematische Annalen. - 1908. - Bd. 65 . - S. 118-119 . — ISSN 0025-5831 . Arkiverad från originalet den 7 augusti 2016.
  19. ↑ B. Rang och W. Thomas. Zermelos upptäckt av "Russell Paradox"  (engelska)  // Historia Mathematica. - 1981. - Vol. 8 , nr. 1 . - S. 15-22 . - doi : 10.1016/0315-0860(81)90002-1 . Arkiverad från originalet den 11 april 2019.
  20. ↑ 1 2 Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , sid. arton.
  21. ↑ Samling (Java Platform SE 8) . Orakel. Hämtad 23 september 2016. Arkiverad från originalet 18 november 2016.
  22. ↑ Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , sid. 180.
  23. ↑ Surovtsev, Valery Alexandrovich. Om B. Russells enkla typteorin (förord ​​till publikationen)  // Tomsk State University Bulletin. Filosofi. Sociologi. Statsvetenskap. - 2008. - Utgåva. 1 (2) . — ISSN 1998-863X . Arkiverad från originalet den 17 augusti 2016.
  24. ↑ 1 2 3 X. Logicism vs. Intuitionism Arkiverad 14 augusti 2016 på Wayback Machine // Kline M. Mathematics: The Loss of Certainty  (engelska) - 1980. - ISBN 978-0-19-502754-9
  25. ↑ Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , sid. 175.
  26. ↑ Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , sid. 139.
  27. ↑ Monk, JD Introduktion till uppsättningsteori. - McGraw-Hill, 1969. - 193 sid.
  28. ↑ Abhijit Dasgupta. Mängdlära: Med en introduktion till verkliga poängmängder . — Springer Science & Business Media, 2013-12-11. - S. 396. - 434 sid. — ISBN 9781461488545 .
  29. ↑ Kelly, J.L. Allmän topologi . - Nauka, 1968. - S. 327-328,333. — 383 sid. Arkiverad 18 september 2016 på Wayback Machine
  30. ↑ Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker. Abstrakta och konkreta kategorier: The Joy of  Cats . - Dover Publications , 1990. - S. 15-16. — ISBN 978-0-486-46934-8 .
  31. ↑ M. Foreman, A. Kanamori. Handbok för mängdlära.
  32. ↑ P. S. Novikov Axiomatic method. Matematisk uppslagsverk.
  33. ↑ D.C. Goldrei. Klassisk uppsättningsteori: en guidad oberoende studie
  34. ↑ Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , sid. 250.
  35. ↑ Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , sid. 17.
  36. ↑ 12 Antonius JC Hurkens . En förenkling av Girards paradox // Typed Lambda Calculi and Applications  (engelska) . — 1995-04-10. — Vol. 902.—S. 266-278. — ( Lecture Notes in Computer Science ). - doi : 10.1007/BFb0014058 .
  37. ↑ Gray, Robert (1994), Georg Cantor and Transcendental Numbers , American Mathematical Monthly vol. 101: 819–832, doi : 10.2307/2975129 , < http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/ upload_library/22/Ford/Gray819-832.pdf > Arkiverad 21 januari 2022 på Wayback Machine 
  38. ↑ N. Griffin. The Prehistory of Russell's Paradox // One Hundred Years of Russell's Paradox: Mathematics, Logic, Philosophy / redigerad av Godehard Link. - Walter de Gruyter, 2004. - S. 522. - 673 sid. — ISBN 9783110199680 . Arkiverad 7 april 2022 på Wayback Machine
  39. ↑ Du Bois-Reymond, Paul (1875), Über asymptotische Werte, infinitäre Approximationen und infinitäre Auflösungen von Gleichungen , Mathematische Annalen vol. 8: 363–414, doi : 10.1007/bf01444487d , http://unigz. goettingen.de/dms/load/img/?PID=GDZPPN002243067 > 
  40. ↑ DC McCarty. Hilbert och Paul Du Bois-Reymond // Hundra år av Russells paradox: matematik, logik, filosofi / redigerad av Godehard Link. - Walter de Gruyter, 2004. - S. 522. - 673 sid. — ISBN 9783110199680 . Arkiverad 7 april 2022 på Wayback Machine
  41. ↑ John B. Bacon, Michael Detlefsen, David Charles McCarty. Diagonal argument // Logik från A till Ö: The Routledge Encyclopedia of Philosophy Ordlista över logiska och matematiska termer . — Routledge, 2013-09-05. — 126 sid. — ISBN 9781134970971 .

Litteratur

  Gå till Wikidata-objektet  Ordböcker och uppslagsverk