Booleskt axiom

Axiomet för förekomsten av en boolesk ( axiom för mängden delmängder ) formuleras på följande sätt: "från vilken mängd som helst är det möjligt att bilda en boolesk , det vill säga en mängd som består av alla korrekta och olämpliga delmängder av en given mängd ." Enligt mängdteorin skrivs detta axiom matematiskt på följande sätt: $d$ $b$ $a$

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow \forall c\ (c\in b\to c\in a)\ )

Det booleska axiomet anger typen av uppsättningar (delmängder av en uppsättning ) som måste vara element i den genererade uppsättningen . Samtidigt innehåller det booleska axiomet inte en algoritm för att hitta alla element i den bildade mängden . $a$ $d$ $d$

Det booleska axiomet kan härledas från följande påståenden:

$\exists d\forall b\ (b\subseteq a\to b\in d)$

$\forall d\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in d\land b\subseteq a)$

Det första av dessa uttalanden är en av konsekvenserna av det booleska axiomet, och det andra är en av specifikationen av urvalsschemat .

Med ledning av volymaxiomet kan man bevisa det unika med booleska för varje uppsättning . Med andra ord kan man bevisa att det booleska axiomet är ekvivalent med påståendet $a$

\forall a\exists !d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

vad är .

\forall a\exists d\ (d=\{b:b\subseteq a\}\quad \land \quad \forall d'\ (d'\neq d\to d'\neq \{b: b\subseteq a\})\ )

Alternativa formuleringar av axiomet

$\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ , var $b\subseteq a\Leftrightarrow \forall c\ (c\in b\to c\in a)$

$\forall a\exists d\ (d=\{b:b\subseteq a\})$

$\forall a\exists d\forall b\ (b\notin d\leftrightarrow \exists c\ (c\in b\land c\notin a))$

Booleskt axiom

Alternativa formuleringar av axiomet

Se även