Principia Mathematica

Principia Mathematica
engelsk  Principia Mathematica
Författare Bertrand Russell och Whitehead, Alfred North
Originalspråk engelsk
Original publicerat 1910 (volym I), 1912 (volym II), 1913 (volym III)
Utgivare Cambridge University Press
 Mediafiler på Wikimedia Commons

Principia Mathematica  är ett tredelat verk om matematikens logik och filosofi av Alfred North Whitehead och Bertrand Russell , publicerat 1910, 1912 och 1913. Monografin är skriven på engelska, men titeln är på latin. Titeln översattes till ryska som "Matematikens principer", "Matematikens principer" och "Matematikens grunder".

Tillsammans med Aristoteles' Organon ( grekiska : Ὄργανον ) och Gottlob Freges Grundläggande aritmetikslagar ( tyska: Grundgesetze der Arithmetik ) är det ett av historiens mest inflytelserika verk om logik [1] . Volymen av Principia Mathematica är totalt cirka 2000 sidor [2] .  

I sitt arbete försökte Russell och Whitehead visa att all matematik kan reduceras till logik genom en uppsättning axiom och några grundläggande begrepp, det vill säga att motivera logicism . För detta introducerades typteori , inom vilken det var omöjligt att formulera begreppet "mängden av alla uppsättningar", vilket ledde till Russells paradox . Dessutom introducerades två axiom: oändlighetens axiom (det finns ett oändligt antal objekt) och axiomet för reducerbarhet (för varje mängd finns en första ordningens uppsättning av lika volym) [3] .

Historik

Principia Mathematicas centrala idé om matematikens reducerbarhet till logik (logicism) angavs implicit av Leibniz på 1600-talet, senare uttrycktes den uttryckligen av Frege , som utvecklade den logisk-matematiska apparatur som var nödvändig för den tekniska motiveringen av logicism [1] .

År 1898 publicerade Whitehead sitt arbete om logicism, A Treatise on Universal Algebra , och 1903 skrev Russell The Principles of Mathematics . Eftersom båda matematikerna kom till liknande slutsatser, och ämnena för deras arbete överlappade, började de snart samarbeta om ett gemensamt arbete, som kallades Principia Mathematica . Valet av namnet hade mindre att göra med Newtons Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , men med Moores Principia Ethica [4] [5] .

Russell ansvarade för den filosofiska delen av arbetet, medan de tekniska aspekterna skrevs gemensamt. Som Russell skrev:

När det gäller matematiska problem utvecklade Whitehead det mesta av notationen, förutom vad Peano redan hade ; Jag jobbade med raderna och Whitehead gjorde nästan allt annat. Men detta gäller bara första utkast. Varje del gjordes om 3 gånger. En av oss gjorde det första utkastet av texten och skickade det till den andra, som vanligtvis modifierade det väsentligt och skickade tillbaka det. Sedan förde författaren till det ursprungliga utkastet texten till sin slutgiltiga form. Det finns knappast en enda rad i alla tre volymerna som inte är resultatet av en gemensam ansträngning.

Originaltext  (engelska)[ visaDölj] När det gäller de matematiska problemen, uppfann Whitehead det mesta av notationen, förutom i den mån det togs över från Peano; Jag gjorde det mesta av arbetet med serier och Whitehead gjorde det mesta av resten. Men detta gäller bara första utkast. Varje del gjordes tre gånger om. När en av oss hade tagit fram ett första utkast skickade han det till den andra, som vanligtvis modifierade det avsevärt. Därefter skulle den som hade gjort det första utkastet sätta det i slutgiltig form. Det finns knappt en rad i alla tre volymerna som inte är en gemensam produkt. — Bertrand Russell. Min filosofiska utveckling . - London: Allen och Unwin, 1959. - S.  74 . — 279 sid. — ISBN 0041920155 .

Matematikerna planerade att avsluta arbetet om ett år, men efter nästan tio år var arbetet ännu inte avslutat. Dessutom beslutade Cambridge University Press att publiceringen av detta arbete skulle orsaka en förlust på 600 pund sterling , varav 300 förlaget var redo att ta på sig, 200 donerade av Royal Society of London , och betalade 50 vardera till Russell och Whitehead från personliga medel. För närvarande finns det inte ett enda akademiskt bibliotek som inte har en Principia Mathematica- utgåva [1] .

Innehåll

Principia Mathematica består av 3 volymer, som är uppdelade i 6 delar.

Volym I publicerades 1910 och innehöll grundläggande axiom och regler för härledning av axiom av högre ordning, elementära operationer på mängder och binära relationer , definitionen av ett och två som tal. Volym I behandlade Zermelos teorem , valets axiom och Cantor-Bernsteins teorem .

Volym II publicerades 1912. Den behandlade kardinaltal och aritmetiska operationer på dem, finita tal, binär relationsaritmetik, linjärt ordnade mängder , ordnade Dedekind- mängder , gränspunkter och kontinuerliga funktioner .

Volym III släpptes 1913. Den betraktade välordnade mängder , helt ordnade mängder, uppsättningar av heltal, rationella, reella tal och deras mätning. Frågan om likvärdigheten mellan valets axiom och välordningsprincipen berördes också.

Volym IV var planerad att publiceras, men skrevs aldrig. Det var tänkt att vara tillägnad geometri [1] [6] .

Kritik och inflytande

Boken Principia Mathematica var en stor bedrift i två avseenden: den avsevärt avancerade utvecklingen av matematisk logik och visade hur man kan bli av med alla kända paradoxer inom mängdläran . Men dess författare hävdade mer - för att klargöra essensen av matematisk kunskap. I detta avseende fick deras ståndpunkt lite stöd. Bland anhängarna av logicism finns Alonzo Church och Willard Van Orman Quine , i motståndarnas läger finns sådana framstående matematiker som A. Poincaré , D. Hilbert , G. Weyl och många andra.

Kritiker har attackerat både logicismens ideologi och dess specifika inkarnation i boken. De påpekade att konsistensen av Russell-Whitehead-konstruktionen inte hade bevisats, och det fanns ingen garanti för att nya paradoxer inte skulle dyka upp. Två nya axiom föreslagna av författarna, oändlighetens axiom och reducerbarhetens axiom, orsakade särskilt avslag. Många matematiker har hävdat att dessa axiom inte är rent logiska [7] . Således, enligt kritiker, är oändlighetens axiom empiriskt , men inte logiskt. Och axiomet för reducerbarhet saknar intuitiva bevis och introducerades ad hoc för att kringgå de obekväma effekterna av typteorin. Således förblev frågan om logicismens vetenskapliga värde öppen [1] .

När K. Gödel gick med i arbetet med att bevisa överensstämmelsen i de formella systemen i Principia Mathematica kom en vändpunkt. År 1931 bevisade Gödel omöjligheten att rättfärdiga konsistensen av formell aritmetik med egna medel, och antagandet om dess konsistens innebär att det är omöjligt att bevisa alla första ordningens axiom om naturliga tal (se Gödels ofullständighetssats ). I det vetenskapliga samfundet uppfattades denna Gödel-sats som omöjligheten av en fullskalig implementering av både logicism och formalism . Resultaten av Gödels arbete med de formella systemen i Principia Mathematica påverkade inte bara logik, matematik och filosofi, utan också frågor som ligger inom sådana områden av mänsklig kunskap som epistemologi , psykologi och metodiken för artificiell intelligens [3] .

Trots kritik fortsätter Principia Mathematica att vara ett av de mest inflytelserika logiska verken i världen. Tack vare detta arbete fick en ny matematisk logik mycket större popularitet. En av Russells och Whiteheads förtjänster här är att de lyckades, som ingen annan hade tidigare, med att demonstrera predikatslogikens kraft. De visade också hur rik och mångsidig idén om formella system kan vara, och öppnade därmed upp en ny linje av forskning - metalogik . Principia Mathematica hade ett stort inflytande på logikens fortsatta utveckling och markerade början på många metalogiska studier. Så 1920 bevisade E. Post den deduktiva och funktionella fullständigheten av propositionell logik , och 1930 bevisade K. Gödel predikatslogikens deduktiva fullständighet [3] . Begreppen i boken påverkade också arbetet av sådana logiker och matematiker som A. Turing och A. Church [1] .

Dessutom visade Russell och Whitehead ett tydligt samband mellan logicism och filosofins två huvudgrenar: metafysik och epistemologi . Principia Mathematica har sporrat forskning i båda riktningarna och fortsätter att påverka matematik och logik [2] .

Även om försöken att återuppliva Russells och Whiteheads logicism fortsätter till denna dag, tror många författare att de formella systemen i Principia Mathematica är för svaga eller förvirrade för att verkligen motivera möjligheten till logicism [1] .

Översättningar till andra språk

Översättningen av den första volymen av boken till ryska publicerades 2004, den andra volymen - 2005, den tredje volymen - 2006. Översättningen gjordes under redaktion av G. P. Yarovoy och Yu. N. Radaev [2] .

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Irvine, AD Principia Mathematica  // The Stanford Encyclopedia of Philosophy. — 2010.
  2. ↑ 1 2 3 Samara State University (otillgänglig länk) . Tillträdesdatum: 7 augusti 2013. Arkiverad från originalet 26 januari 2007. 
  3. ↑ 1 2 3 A. S. Karpenko. Principles of Mathematics // Encyclopedia of Epistemology and Philosophy of Science. - M . : "Kanon +", ROOI "Rehabilitering". I.T. Kasavin, 2009.
  4. ↑ Nicholas Griffin. Cambridge-följeslagaren till Bertrand Russell . - Cambridge University Press, 2003. - S. 66. - 550 sid. — ISBN 0521636345 .
  5. ↑ I. Grattan-Guinness. The Search for Mathematical Roots, 1870–1940: Logics, Set Theories and the Foundations of Mathematics from Cantor through Russell to Godel . — Princeton University Press. - 2011. - S. 380. - 624 sid. — ISBN 1400824044 .
  6. ↑ Stanley Burris. Principia Mathematica: Whitehead och  Russell . — 1997.
  7. ↑ Kline M., 1984 , sid. 260-267.

Litteratur

Upplaga på ryska

Länkar

  Gå till Wikidata-objektet  Ordböcker och uppslagsverk
I bibliografiska kataloger