0,(9)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 22 februari 2022; kontroller kräver 18 redigeringar .

0, (9) eller 0,999 ... ( , ) ("noll och nio i perioden") är ett periodiskt decimalbråk som representerar talet 1 . Med andra ord, $0.{\bar {9}}$ $0.{\dot {9}}$

1=0{,}(9).

Det finns många bevis på denna jämlikhet.

Trots det faktum att riktigheten av denna jämlikhet är ett bevisat faktum och inte är tvivelaktigt i det vetenskapliga samfundet, försöker många att bevisa motsatsen. I sådana bevis görs vanligtvis aritmetiska och logiska fel. En sådan brinnande oenighet orsakas av det faktum att denna jämlikhet strider mot intuitionen. På grund av detta har det vunnit stor popularitet.

Förklaring

När man använder matematisk notation bör man förstå att notation inte är föremål för diskussion i sig, utan endast dess beteckning. Två beteckningar kan mycket väl beteckna samma sak. Till exempel posten och beteckna samma nummer. Även om dessa är olika poster definierar de samma objekt. Ett annat exempel är och . Det här exemplet visar att olika vanliga bråk mycket väl kan ge samma tal, och därför är notationen som ett gemensamt bråk tvetydig. ${\frac {1}{10))$ $0{,}1$ ${\frac {1}{2))$ ${\frac {2}{4))$

Att notationen i form av ett slutligt decimalbråk är entydigt är ett kännetecken för decimalbråk. Olika slutbråk står för olika tal. Men den här egenskapen fungerar bara för det sista fallet. I det allmänna fallet (där både ändliga och oändliga decimaler är tillåtna) kan två olika decimaler representera samma tal. Detta beror på det faktum att oändliga bråk är ett mycket komplext objekt, och många egenskaper hos ändliga bråk fungerar inte eller fungerar inte på dem. Ett exempel på en sådan tvetydig representation är och . Trots att deras notation är olika representerar de samma nummer, precis som de representerar samma nummer. $ett$ $0{,}(9)$ ${\frac {1}{2))$ ${\frac {2}{4))$

Elementära bevis

Kolumnindelning

Ett vanligt bråk (till exempel ) kan representeras i decimalform som ett sista eller periodiskt decimalbråk . Omvandling från ett vanligt bråktal till ett decimaltal kan göras genom att dividera med en kolumn . Efter att ha dividerat kolumnen för heltal 1 med heltal 3, får vi talet 0,333 ... (i decimalnotation), där siffrorna 3 upprepas oändligt: ${\frac {1}{3))$

{\frac {1}{3}}=0{,}333\ldots

Multiplicera vänster sida med 3.

{\frac {1}{3}}\cdot 3=1

Multiplicera den högra sidan med 3. Observera att multiplicera varje trippel med 3 ger en nia:

0{,}333\ldots \cdot 3=0{,}999\ldots

På det här sättet,

1=0{,}999\ldots

[1] .

På samma sätt kan du bevisa denna likhet genom att bryta ner till en decimalbråk, inte , utan till exempel : ${\frac {1}{3))$ ${\frac {1}{9}}$

{\frac {1}{9}}=0{,}111\ldots

{\frac {1}{9}}\cdot 9=1

0{,}111\ldots \cdot 9=0{,}999\ldots

1=0{,}999\ldots

Nummermanipulationer

Det tidigare beviset erhölls med långdivision, som är en algoritm för att omvandla ett gemensamt bråktal till en decimal. Du kan gå åt andra hållet och använda algoritmen för att omvandla ett periodiskt decimaltal till ett vanligt.

Låt oss beteckna numret som . När du multiplicerar ett decimaltal med ett tal, ändras inte siffrorna, kommatecken flyttas en siffra till höger: $0{,}(9)$ $x$ $tio$

0{,}999\ldots \cdot 10=9{,}999\ldots

Det är,

10x=9{,}999\ldots

Om du subtraherar från talet kommer alla nio efter decimalkomma att subtraheras och nollor kvarstår: $9{,}999\ldots$ $0{,}999\ldots$

9{,}999\ldots -0{,}999\ldots =9{,}000\ldots =9

Kom ihåg den introducerade notationen och ersätt den vänstra sidan av likheten med dem: $x$

10x-x=9

Sedan,

9x=9

och

x=1

Tja, eftersom vi betecknade med , alltså $x$ $0{,}999\ldots$

0{,}999\ldots =1

Rigorös motivering

Trots enkelheten och klarheten i ovanstående bevis har de inte tillräcklig matematisk rigoritet och formalitet. Det första beviset bygger på det faktum att

0{,}333\ldots \cdot 3=0{,}999\ldots

tvåa på

0{,}999\ldots \cdot 10=9{,}999\ldots

Dessa uttryck ser uppenbara ut, men självklarheten är vilseledande, vilket framgår av exemplet med jämlikhet i sig . Med en strikt presentation kräver även dessa fakta bevis. Ja, om sådana märkliga likheter kan gälla för oändliga decimalbråk, hur kan vi vara säkra på att multiplikationsreglerna för dem fungerar på samma sätt som för ändliga? Enkelheten och självklarheten i bevisen ovan uppnås på grund av slappheten i resonemanget, vilket är väsentligt för kontraintuitiva påståenden. $1=0{,}(9)$

För att införa rigoritet i resonemanget måste du först förstå vad notationen generellt betyder . Låt oss överväga ett sista decimaltal, till exempel . Vad betyder denna post? Denna post är en förkortning för följande uttryck: $0{,}(9)$ $127{,}98765$

1\cdot 100+2\cdot 10+7\cdot 1+{\frac {9}{10}}+{\frac {8}{100}}+{\frac {7}{1000}} +{\frac {6}{10000}}+{\frac {5}{100000}}

Siffran som denna post står för är resultatet av detta uttryck. Så i matematik definieras själva begreppet decimalbråk. Enligt denna definition är en oändlig decimal exakt samma förkortning för en sådan summa, och skiljer sig från det sista fallet endast genom att antalet termer i den är oändligt. Det vill säga att till exempel ett bråk är en stenografi för $21{,}5(23)$

2\cdot 10+1\cdot 1+{\frac {5}{10}}+{\frac {2}{100}}+{\frac {3}{1000}}+{\frac { 2}{10000}}+{\frac {3}{100000}}+\ldots

Bråket som tas upp i den här artikeln är en stenografi för summan $0{,}(9)$

{\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+{\frac {9}{1000}}+{\frac {9}{10000}}+{\frac {9}{100000}}+\ldots

Antalet som anges av notationen är per definition summan av ett oändligt antal termer som presenteras ovan. Det bör förstås att det endast finns en formell notering för resultatet av ovanstående belopp, som inte krävs för att tillgodose några andra egenskaper än att vara lika med det beloppet. Oavsett vad denna summa visar sig vara lika med, kommer den siffran att vara lika, oavsett hur intuitivt det är eller huruvida det överensstämmer med våra förväntningar. $0{,}(9)$ $0{,}(9)$

Resultatet av att summera ett oändligt antal termer i matematisk analys bestäms med begreppet gräns . Egenskaperna hos oändliga summor skiljer sig på många sätt från egenskaperna hos ändliga summor och kräver särskild omsorg vid tillämpningen.

Sekvensen är en geometrisk progression vars nämnare är , och den första termen är . Enligt den välkända formeln inom matematisk analys är summan av en geometrisk progression , där är den första termen och är nämnaren. Sedan ${\frac {9}{10)),{\frac {9}{100)),{\frac {9}{1000)),{\frac {9}{10000)),\ldots$ $0{,}1$ ${\frac {9}{10}}$ ${\frac {b_{1}}{1-q}}$ $b_{1}$ $q$

0{,}(9)={\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+\ldots ={\frac {\dfrac {9}{10}}{ 1-{\dfrac {1}{10}}}}={\frac {\dfrac {1}{9}}{\dfrac {1}{9}}}=1

Detta bevis är endast baserat på den formella definitionen av ett decimalbråk och innehåller inte användningen av några obevisade egenskaper hos oändliga decimalbråk.

Ett sådant bevis (om likvärdigheten mellan siffrorna 10 och 9.999...) publicerades 1770 av Leonhard Euler i publikationen " Elements of Algebra " [2] .

Formeln för summan av en konvergent geometrisk progression var känd före Euler. Läroboken från 1811 An Introduction to Algebra använder också en geometrisk progression för talet 0,(9) [3] . På 1800-talet resulterade reaktionen på en sådan summeringsregel i påståendet att summan av en serie måste vara gränsen för en sekvens av delsummor [4] .

Strikt av elementära bevis

Med hjälp av den formella definitionen av ett decimaltal kan man försöka uppnå tillräcklig rigor för de två första bevisen.

Beviset via lång division använder det icke-triviala faktum att lång division ger den korrekta representationen som ett periodiskt bråk, vilket i sin tur kräver ett bevis. Egenskapen bevisas mycket enkelt med hjälp av operationen att multiplicera nummerserier med ett tal: $0{,}(3)\cdot 3=0{,}(9)$

0{,}(3)\cdot 3=\left({\frac {3}{10}}+{\frac {3}{100}}+\ldots \right)\cdot 3={\ frac {3}{10}}\cdot 3+{\frac {3}{100}}\cdot 3+\ldots ={\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}} +\ldots =0{,}(9)

Beviset genom manipulation av siffror använder två enkla egenskaper. Först: $0{,}(9)\cdot 10=9{,}(9)$

0{,}(9)\cdot 10=\left({\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+\ldots \right)\cdot 10={\ frac {9}{10}}\cdot 10+{\frac {9}{100}}\cdot 10+\ldots =9\cdot 1+{\frac {9}{10}}+\ldots =9{ ,}(9)

För det andra: . $9{,}(9)-0{,}(9)=9$

9{,}(9)-0{,}(9)=\left(9\cdot 1+{\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}\ldots \right)-\left({\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+\ldots \right)=\left(9\cdot 1+{\frac {9}{ 10}}+{\frac {9}{100}}\ldots \right)-\left(0\cdot 1+{\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+ \ldots \right)=(9\cdot 1-0)+\left({\frac {9}{10}}-{\frac {9}{10}}\right)+\left({\frac { 9}{100}}-{\frac {9}{100}}\right)+\ldots =9+0+0+0+\ldots =9

I vilket fall som helst kommer jakten på rigor antingen att leda till behovet av manipulationer med nummerserier, eller till en annan mer artificiell definition av periodiska bråk. Implementeringen av det andra tillvägagångssättet kan till exempel vara att bestämma värdet av periodiska bråk med hjälp av en algoritm för att omvandla dem till vanliga. Alla egenskaper kommer fortfarande att kräva bevis, men utan att behöva tillgripa teorin om nummerserier. Ett försök att implementera det andra tillvägagångssättet genom att definiera periodiska fraktioner genom uppdelning i en kolumn kommer inte att leda till det önskade resultatet, eftersom det genom uppdelning i en kolumn är omöjligt att få en fraktion med en period . $9$

Andra efterföljande decimaler

En liknande likhet kan erhållas för vilken ändlig decimalbråk som helst. Låt vara några sista decimalbråk, . Sedan: ${\displaystyle a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots a_{-m))$ $a_{-m}\neq 0$

a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots a_{-m}=a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots [ a_{-m}-1](9)

Hakparenteserna här betyder att vi skriver ett tal lika med . Till exempel , , . Sålunda, för varje efterföljande decimalbråk, kan en andra decimalpost med nio i perioden erhållas. Detta fungerar också tvärtom: för varje bråkdel med nio i perioden kan du få ett ändligt rekord. $a_{-m}-1$ $3=2{,}(9)$ $20=19{,}(9)$ $0{,}5=0{,}4(9)$ $0{,}01=0{,}00(9)$

Intressant är det faktum att alla oklarheter i decimalnotationen är uttömda av detta fall. Låt oss ge en rigorös formulering av detta faktum. Först och främst måste vi strikt definiera vilka poster vi anser vara lika och vilka som är olika (för att inte räkna poster som olika, till exempel och , eller och ). Vi kommer att betrakta två decimalposter som samma om de har samma siffror i alla siffror (om det inte finns någon siffra i posten kommer vi att betrakta dess värde som noll). Sedan: $2{,}3$ $2{,}30$ $0{,}(3)$ $0{,}(33)$

om talet är icke-noll och kan representeras som ett ändligt decimalbråk, då kan det representeras med 9 i perioden
om talet inte är noll och kan representeras med 9 i perioden, kan det också representeras som ett sista decimalbråk

och dessa representationer är relaterade av relationen

a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots a_{-m}=a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots [ a_{-m}-1](9)

det finns inga andra decimalrepresentationer för sådana tal.

Alla andra reella tal har bara en decimalrepresentation.

Jämförelse av decimaler

För efterföljande decimaler finns det en enkel algoritm för att jämföra dem. Vi går från vänster till höger tills den första felaktiga siffran. Antalet som har detta lite mer är det större. Om alla siffror är lika, då är siffrorna lika.

Denna algoritm fungerar inte längre med oändliga bråk. Enligt denna algoritm ska antalet vara större än , men dessa siffror är lika. Algoritmen fungerar dock fortfarande för icke-strikt jämförelse: om vi ersätter alla strikta ojämlikheter i den med icke-strikta, kommer den att fungera för oändliga bråk också. Alltså, för och det kommer att producera vilket är sant. $ett$ $0{,}(9)$ $ett$ $0{,}(9)$ $1\geq 0{,}(9)$

Om det är nödvändigt att jämföra oändliga decimalbråk, måste man ta hänsyn till att fallet nio i en period uttömmer alla tvetydiga representationer av tal. Således kan du helt enkelt ta med alla siffror med en nio i perioden till den slutliga posten i förväg och tillämpa den vanliga jämförelsealgoritmen.

Andra nummersystem

En liknande likhet kan erhållas för alla positionsnummersystem . För ett talsystem med en bas och en inledande siffra , kan det slutliga bråket representeras som $k$ $c=k-1$ ${\displaystyle a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots a_{-m))$ $a_{-m}\neq 0$

a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots a_{-m}=a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots [ a_{-m}-1](c)

Till exempel: , , , . $0{,}(1)_{2}=1$ $0{,}(3)_{4}=1$ $0{,}(F)_{16}=1$ $0{,}0(1)_{2}=0{,}1_{2}=0{,}5$

Alla fastigheter är bevarade för andra nummersystem. På samma sätt kan varje ändlig bråkdel representeras som ett bråk med en period och vice versa, och alla representationer av ett tal är uttömda av dessa två representationer. Resten av bråken har bara en representation. Samma anmärkningar gäller för bitvis jämförelse av fraktioner. $c$

En egenskap hos andra talsystem är att bråk representerade i decimaltalsystemet av ett slutbråk kan representeras som periodiska i ett annat talsystem, och vice versa. Så ett bråk , som inte representeras i decimaltalssystemet som ett sista bråktal, representeras i det ternära som . En bråkdel i det ternära systemet representeras som . Således beror antalet representationer av ett visst tal som en n-är bråkdel på talsystemet. Ett tal i form av ett decimalbråk har två representationer: och , och i form av en ternär endast en: . Ett tal i form av ett decimalbråk har en representation: , och i form av en ternär två: och . $0{,}(3)$ $0{,}1_{3}$ $0{,}5$ ${\displaystyle 0{,}(1)_{3))$ ${\frac {1}{2))$ $0{,}5$ $0{,}4(9)$ ${\displaystyle 0{,}(1)_{3))$ ${\frac {1}{3))$ $0{,}(3)$ $0{,}1_{3}$ ${\displaystyle 0{,}0(2)_{3))$

Beroendet av antalet n-ära representationer av talsystemet manifesteras endast för rationella tal som inte är heltal. Alla heltal utom noll har två representationer i valfritt talsystem, alla irrationella och - en. $0$

Applikation

Jämlikhet har tillämpningar, till exempel i elementär talteori . År 1802 publicerade H. Goodwin en observation som han hade upptäckt när han dividerade tal med primtal . Till exempel:

${\frac {1}{7))$ = 0,142857142857 ... och _ _

142 + 857 = 999;

${\frac {1}{73}}$ = 0, 0136 9863 0136 9863 ... och

0136 + 9863 = 9999.

Midi (ME Midy) generaliserade 1836 observationsdata till Midis teorem .

I populärkulturen

Författaren till nyhetskolumnen " The Straight Dope " bevisar ekvationen 1 = 0,999... med 1 ⁄ 3 och gränser, talar om ett missförstånd:

Det lägre primatet vilar mot oss och säger: ,999~ representerar faktiskt inte ett tal , utan en process . För att hitta numret måste vi stoppa denna process. Och vid denna tidpunkt faller jämställdheten ,999~ = 1 bara isär.

- Struntprat [5] .

Frågan om jämlikhet 1 = 0,999... blev ett så hett ämne under de första sju åren av Battle.net- forumen att Blizzard Entertainment gav ut ett "pressmeddelande" för aprilskämtdagen 2004:

Vi är mycket glada att avsluta boken om detta ämne en gång för alla. Vi har bevittnat ångesten och oron över huruvida .999~ är lika med 1 eller inte, och vi är stolta över att kunna presentera följande bevis som löser detta problem för våra kunder [6] .

Det som följer är bevis baserade på gränser och multiplikation med talet 10.

Se även

Anteckningar

↑ Jämför med den binära versionen av samma argument i Calculus som gjorts lätt av Silvanus P. Thompson (St. Martin 's Press, New York, 1998, ISBN 0-312-18548-0 ).
↑ Sida 179 i Eulers bok.
↑ Grattan-Guinness, sidan 69; sida 177 i Bonnycastle-boken.
↑ Se till exempel sidan 706 av J. Stewart, sidan 61 av Rudin, sidan 213 av Protter och Morrey, sidan 180 av Pugh, sidan 31 av JB Conway.
↑ Cecil Adams . En oändlig fråga: Varför är inte .999~ = 1? (engelska) (otillgänglig länk) . The Straight Dope . Chicago Reader (11 juli 2003). Hämtad 6 september 2006. Arkiverad från originalet 18 februari 2012.
↑ Blizzard Entertainment: Pressmeddelanden . Hämtad 17 juni 2015. Arkiverad från originalet 17 juni 2015.