Tarskis axiomatik (reella tal)

Tarskis axiomatik av reella tal är en variant av det system av aritmetiska baser för reella tal som föreslogs av Alfred Tarski 1936 [1] .

Funktioner

Denna axiomatik av Tarski kan betraktas som en version av den mer vanliga definitionen av uppsättningen av reella tal som ett enda ordnat fält komplett i betydelsen Dedekind [2] (se även Minst upper-bound-egenskap ).

Tarskis tillvägagångssätt, till skillnad från vanligare analoger (se artikeln Reella tal ), innehåller endast 9 axiom som förbinder fyra primitiva begrepp [3] .

Det bör noteras att Tarskis axiomatik inte använder logik av den första utan av den andra ordningen , vilket också skiljer den från analoger. Axiomatens korthet uppnås genom användning av oortodoxa varianter av vanliga algebraiska axiom och andra subtila knep (se till exempel axiom 5 och 6, som kombinerar de vanliga fyra axiomen för abelska grupper ). Dessutom kräver kompaktheten i listan av axiom det tråkiga beviset på en lång rad satser som "tar" teorin till en praktisk nivå [4] .

Axiomatics

Tarskis axiomatik använder fyra primitiva (odefinierade) begrepp.

  1. En uppsättning siffror, betecknad R .
  2. En binär relation av hela ordningen av elementen i R , betecknad med infixsymbolen < .
  3. Den binära additionsoperationen på R , betecknad med infixsymbolen +.
  4. Konstant 1.

Dessa begrepp är förbundna med följande nio axiom [3] .

Ordningsaxiom för R
  1. ( linjäritet ): om x ≠ y , då antingen x < y eller y < x .
  2. ( asymmetri ): om x < y är y < x falskt .
  3. (ordningstäthetslag): om x < z , så finns det ett y så att x < y och y < z .
  4. (Dedekinds kontinuitetsaxiom): för alla delmängder X , Y ⊆ R , om x  <  y för alla x  ∈  X och y  ∈  Y , så finns det ett element z så att för alla x  ∈  X och y  ∈  Y gäller följande egenskap : om z  ≠  x och z  ≠  y , då x  <  z och z  <  y .

Det sista axiomet betyder tydligt att om alla element i mängden X är placerade på den numeriska axeln till vänster än alla element i mängden Y, så finns det åtminstone ett reellt tal mellan dessa mängder. Det är detta axiom, som innehåller två delmängder kvantifierare , som gör att Tarskis axiom inte tillhör den första, utan till den andra ordningen av logik. Genom att använda kontinuitetsaxiomet kan man (efter att ha definierat multiplikation) introducera först rationella tal [5] , och sedan godtyckliga reella tal som Dedekind-sektioner [2] .

Additionsaxiom
  2. x  +( y  +  z ) =( x  +  z )+  y .
  3. (möjlighet till subtraktion ): för alla x , y , finns det ett z så att x  +  z  =  y . En av konsekvenserna av detta axiom är att det finns noll som en lösning på ekvationen 1 +  x  = 1.
  4. om x  +  y  <  z  +  w , då x  <  z eller y  <  w .
Axiom för enhet
  2. (existens): 1 ∈ R .
  3. 1 < 1 + 1.

Tarski bevisade att alla axiom utom det första är oberoende (det första kan härledas från de andra [4] ). Det kan härledas från axiomen att R är en linjärt ordnad abelisk delbar grupp med avseende på addition med ett positivt distingerat element 1. Förekomsten av multiplikation , division och deras vanliga egenskaper bevisas också. R är komplett i betydelsen Dedekind .

Notera

Det första axiomet ( ordningens linjäritet ) följer av resten av axiomen [6] .

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Tarski, Alfred. Introduktion till logik och till metodik för deduktiva  vetenskaper . - 4. - Oxford University Press , 1994. - ISBN 978-0-19-504472-0 .
  2. ↑ 1 2 Se Dedekinds synsätt i boken: Fikhtengolts G. M. The course of differential and integral calculus. - Ed. 6:a. - M . : Nauka, 1966. - T. I.
  3. ↑ 1 2 Tarski. Introduktion till logik, 1948 , sid. 275.
  4. ↑ 1 2 Tarski. Introduktion till logik, 1948 , sid. 278.
  5. ↑ Tarsky. Introduktion till logik, 1948 , sid. 285.
  6. ↑ Ucsnay, Stefanie. A Note on Tarski's Note  //  The American Mathematical Monthly  : journal. - 2008. - Januari ( vol. 115 , nr 1 ). - S. 66-68 . — .

Litteratur